1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Объем (меру) промежутка 1 обозначают также символами и(1) или р(1). Лемма 1. Мера промежутка в К" а) однородна, т. е. если Л1,ь:= Хл ль, где Л 3 О, то !ЛХ.,,| = Л" 11.,,|; Ь) аддитиена, т. е, если промежутки Х,1п...,Хь такоеы, что 1 = ь = 0 1; и промежутки Хп...,Хь попарно не имеют обидах внутренних т=1 ь точек, то )1! = 2 ~1,~; 1=1 с) если промежуток 1 покрыт конечной системой промежутков 11,...,1ь, т. е. 1 С Ц 1;, то ~1~ < 2 ~1,~. Все зти утверждения легко вытекают из определений 1 и 2. Ь.
Разбиение промежутка и база в множестве разбиений. Пусть задан промежуток 1 = 1х Е К' ~ а1 < х1 < 6', 1 = 1,..., и). Разбиения координатных отрезков ~а', о1], 1 = 1,..., и, индуцируют разбиение промежутка 1 на более мелкие промежутки, получающиеся прямым произведением промежутков разбиения указанных координатных отрезков.
Определение 3. Описанное представление промежутка 1 (в виде ь объединения 1 = и 1 более мелких промежутков 1 ) будем называть 1=1 разбиением промежутка 1 и обозначать символом Р. Определение 4. Величина Л(Р) зм шах с1(1 ) (максимального из 1<1<а диаметров промежутков разбиения Р) называется параметром разбиения Р.
Определение 5. Если в каждом промежутке 1 разбиения Р фиксирована некоторая точка ( е 1, то говорят, что имеется разбиение с отмеченными точками. Набор Д1,...,Я, как и прежде, будем обозначать одним символом (, а разбиение с отмеченными точками — символом (Р, С). В множестве Р = ЦР, с)) разбиений с отмеченными точками промежутка 1 вводится база Л(Р) — + О, элементы Вл (о ) 0) которой, как и в одномерном случае, определяются соотношением Вл:= ((Р, (') е Р ~ Л1Р) < й). То, что В = (Вл) — действительно база, следует из существования разбиений с параметром Л(Р), сколь угодно близким к нулю. с. Интегральная сумма и интеграл.
Пусть 1: 1 -+  — вещест- веннозначнаяВ функция на промежутке 1, а Р = 111,..., 1ь) — разбие- '10братите внимание на то, что в последующих определениях можно было бы считать, что значения 1 лежат в любом линейном нормированном пространстве. Например, зто могут быть пространство С комплексных чисел, пространства К", С". Е 1. ИНТЕГРАЛ РИМАНА НА н-МЕРНОМ ПРОМЕЖУТКЕ 131 ние этого промежутка с отмеченными точками с = ((1,..., Я. Определение 6.
Сумма называется интегральной суммой (Римана) функции 1, соответствую- щей разбиению (Р, С) с отмеченными точками промежутка 1. Определение 7. Величина 1(х) йх:= 11ш о ЯР, С), Л1Р'1 — ~0 1 если указанный предел существует, называется интегралом (Римана) от функции 1' на промежутке 1. Мы видим, что данное определение и вообще весь процесс построения интеграла на промежутке 1 С К" дословно повторяет уже знакомую нам процедуру определения интеграла Римана на отрезке. Для большего сходства мы даже оставили прежний вид 1'(х) дх подынтегрального выражения.
Равносильные, но более развернутые обозначения интеграла таковы: Чтобы подчеркнуть, что речь идет об интеграле по многомерной области 1, говорят, что это кратный интеграл (двойной, тройной и т. д. в соответствии с размерностью 1). й. Необходимое условие интегрируемости Определение 8. Если для функции 1: 1 — + К указанный в определении 7 конечный предел существует, то 1 называется интегрируемой (по Риману) функцией на промежутке 1. Множество всех таких функций будем обозначать символом к.(1). Проверим следующее простейшее необходимое условие интегрируемости. ГЛ.
Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 132 Ъ'тверждение 1. 1' б 1с11) ~ 1 оераничена на 1. ~ Пусть Р— произвольное разбиение промежутка 1. Если функция 1 неограничена на 1, то она неограничена и на некотором промежутке 1;, разбиения Р. Если 1Р,~'), 1Р,Со) — разбиения Р с такими отмеченными наборами точек, что (' и (о отличаются только выбором точек 4,',, (,", в промежутке 1;„то Меняя одну из точек ~,',, ( ',, при неограниченности 1 в 1,„мы могли бы сделать правую часть последнего равенства сколь угодно большой.
В силу критерия Коши отсюда следует, что интегральные суммы функции 1 не имеют предела при Л1Р) — + О. > 2. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману. Изучая интеграл Римана в одномерном случае, мы уже познакомили читателя 1без доказательств) с критерием Лебега существования интеграла. Здесь мы напомним некоторые понятия и докажем этот критерий. а. Множество меры нуль в Н" Определение 9. Говорят, что множество Е С Кп имеет 1п-мерную) меру нуль или является множеством меры нуль (в смысле Лебега), если для любого с > О существует покрытие множества Е не более чем счетной системой 11,) и-мерных промежутков, сумма 1 ~Ц объемов которых не превышает е.
Лемма 2. а) Точка и конечное число точек суть множества меры нуль. Ь) Объединение конечного или счетнозо числа множеств меры нуль есть множество мерьь нуль. с) Подмножество множества меры нуль само есть множество меры нуль. й) Невырожденный иромежутокИ 1 ь С К" не лвллетсл множеством меры нуль. ОТо есть такой пРомежУток 1юь = 1х Е Е" ~ а* ( х* ( Ь', 1 = 1,..., и), что пРи любом значении ю Е 11,...,и) имеет место строгое неравенство о' ( 6'. 11. ИНТЕГРАЛ РИМАНА НА и-МЕРНОМ ПРОМЕЖУТКЕ 133 Доказательство леммы 2 ничем не отличается от доказательства ее одномерного варианта, рассмотренного в п. Зд, 3 1, гл.'Л, поэтому мы на нем не останавливаемся.
Пример 1. Множество рациональных точек в Н" (точек, все координаты которых рациональны) счетно и потому является множеством меры нуль. Пример 2. Пусть 1: 1 — ) Н вЂ” непрерывная вещественнозначная функция, определенная на (и — 1)-мерном промежутке 1 С К" ). Покажем, что ее график в К" есть множество и-мерной меры нуль. < Поскольку функция 1 равномерно непрерывна на 1, то по г > О найдем б > О так, чтобы для любых точек хм ха Е 1 при условии )х) — хг) < Б иметь ~1(х)) — 1(хг)! < г. если теперь взять разбиение Р промежутка 1 с параметром Л(Р) < б, то на каждом промежутке 1, такого разбиения колебание функции 1 будет меньше г.
Значит, если х,— произвольная фиксированная точка промежутка 1„то и-мерный промежуток 1, = 1, х (1(х,) — г, 1(х,)+ с), очевидно, содержит всю часть графика функции 1, которая лежит над промежутком 1„а объединение О1, промежутков 1; покрывает весь график функции 1 над 1. Но 2;)Ц = 2 )Ц 2с = 2сЩ (здесь )Ц вЂ” объем 1, в К" ", )Ц вЂ” объем 1, в К"). Таким образом, уменьшая г, действительно можно общий объем покрытия сделать сколь угодно близким к нулю. ~ Замечание 1. Сопоставляя утверждение Ь) леммы 2 с примером 2, можно заключить, что вообще график непрерывной функции 1: К" ' -+ К или непрерывной функции 1: М -+ Р„где М С К" ) является множеством и;мерной меры нуль в Н". Лемма 3.
а) Класс множеств меры нуль не изменится от того, пон мать ли в определении 9 покрытие множества Е системой промежутков Щ в обычном смысле, т. е. считая Е С ()1;, или в более жестком смысле, требуя, чтобы каждая точка множества была внутренней точкой по крайней мере одного из промежутков покрытия'). и ~Иными словами, нсе равно, иметь ли в виду в определении 9 замкнутые или открытые промежутки. ГЛ. Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 134 Ь) Компакт К в % является множестпвом меры нуль в том и только в том случае, если для любого г > О сушествуетп конечное покрытие К промежутками, сумма объемов которых меньше г. ~ а) Если (11) — покрытие множества Е, т.е. Е С 01„причем ',т ~Ц < г, то, взяв вместо каждого промежутка 11 гомотетичный ему т относительно его центра промежуток 1,, получим систему промежутков (1;) такую, что 2; (Ц < Л"г, где Л вЂ” общий для всех промежутков коэффициент гомотетии. Если Л > 1, то, очевидно, система (1,) будет покрывать множество Е так, что любая точка Е является внутренней точкой по крайней мере одного из промежутков покрытия.
Ь) Это следует из а) и возможности извлечь конечное покрытие из любого открытого покрытия компакта К. (В качестве такого покрытия может выступать система (11 '1 д1,) открытых промежутков, получаемая из рассмотренной в а) системы (1;).) ~ь Ь. Одно обобщение теоремы Кантора. Напомним, что колебанием функции 1': Е ь К на множестве Е мы назвали величину ат(1; Е):= впр ~ 1(хт) — ~(хг) ~, а колебанием функции в точке х Е Е— хпхьЕЕ величину ю(1; х):= 1пп ю(т'; У~~(х)), где У~~(х) — б-окрестность точки х 4 — то в множестве Е. Лемма 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
