1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 25
Текст из файла (страница 25)
В менее подробной, но более обозримой записи зто означает, что у (х)(Ь1, Ь2) (Р„) [((Р„+ Р„„~ )Ь2)(Р„) Р Ь1 — ((Р.". + Р„"„У')Ь1)Ь2). (10) Так можно было бы в принципе получить выражение для производной любого порядка от неявной функции, однако, как видно уже из формулы (10), зти выражения в общем случае слишком громоздки, чтобы быть удобными в употреблении. Посмотрим теперь, как конкретизируются полученные результаты в важнейшем частном случае, когда Х = К , У = И", л" = К". ГЛ. Х.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 124 В этом случае отображение я = г (х, у) имеет координатное представление Р1( .1 .т у1 уп) я" = Г" (х1,..., х™, у,..., у"). Частные производные отображения ~' Е,С(К™; К"), гу' Е Е(К"; К") задаются матрицами > ДР1 ДР' ду' Ду р/ у ДР~ ДР" дут ду с ДР1 дЯ' дх~ Дя ДРп ДР дат дя"' 2) г"(х1,...,х ',у',...,у"), 4 = 1,...,и,— функции, непрерывные в ДРь' 3) все частные производные д— ". (х1,...,х ',у1,..., у"), г = 1,...,и, Ду 1 = 1,..., и, опРеДелены в окРестности точки (хе,..., хд, Уе,..., Уе) и непрерывны в самой этой точке; 4) в точке (хоо,..., хо,ус~,...,уо) определитель ДР! дуг дР' Ду П ДРп дЕ~ ду~ ДуП матрицы Г' отличен от нуля, то найдутся окрестность У точки хо = у = (хд1,..., хд ) в К™, окрестность у' точки уд = (уе1,..., уд ) в К" и отображение 1: У -+ У, имеющее в данном случае координатное предста- вычисленными в соответствующей точке (х, у).
Непрерывность Р' и гу', как нам известно, равносильна непрерывности всех элементов указанных матриц. 0бРатимость линейного пРеобРазованиЯ гу'(хд, Уо) Е Е(К"; К") Равносильна невырожденности матрицы, задающей это преобразование. Таким образом, в рассматриваемом случае теорема о неявной функции утверждает, что если 1) г'1(х1 х~ у1 у") = 0 5 7. ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 125 вление у1 = (1(Х1,..., Хх'), (12) у7$ — уп(Х1 Хт) такие, что: 1') в пределах окрестности 11 х Ъ' точки (хе,...,хе, уе,...,уе) Е е ж"' х 1х" система уравнений Г1(х1, ., х™, у1,..., у") = О, ( Х 1 Х у 1 у и ) равносильна функциональной зависимости ): У -+ $', выраженной равенствами (12); 2Р) ~1 х1( 1 .1х) уп хп( .1 3п).
3') отображение (12) непрерывно в точке (хе~,..., хе™, уе,..., уе ). Если же, сверх того, известно, что отображение (11) принадлежит классу гладкости С1~), то, как следует из приведенного выше утверждения, отображение (12) также будет принадлежать классу С("), разумеется, в соответствующей своей области определения. Формула (9) в рассматриваемом случае конкретизируется, превращаясь в матричное равенство ДР' д~' ду1 ду" д~т1 д1' дх дх Д1х Д~ дх ''' дх ДР" дн" ду1 ду ' в котором левая часть вычисляется в точке (х',..., х™), а правая — в соответствующей точке (х1,...,х™",у',...,у"), где у' =,1'(х~,...,х™), 1=1,...,п. Если п = 1, т.
е. когда решается относительно у уравнение г(х,...,х™,у) = О, матрица гу' состоит из одного элемента — числа ~~(х1,...,х™,у). В этом случае у = 1(х1,..., х ) и дУ„..., дУ = др д';,..., дг . (13) ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Формула (10) в этом случае также несколько упрощается, точнее, может быть переписана в следующем более симметричном виде: Если же и п = 1, и т = 1, то у = 1(х) есть вещественнозначная функция одного числового аргумента, и формулы (13), (14) предельно упрощаются, превращаясь в знакомые числовые равенства У'(х) = -~„(х,р), (Рл ~ Ел У1)Я1 (Рл 1 Е«Л)Р! для первых двух производных неявной функции, задаваемой уравнением Р(х,у) = О. Задачи и упражнения 1. а) Предположим, что наряду с указанной в теореме функцией 1: У вЂ” э У нашлась функция ): Π— + У, определенная в некоторой окрестности О точки хе и удовлетворяющая условиям уе = 1(хе) и Е(х, 1(х)) = 0 в О.
Докажите, что если 1 непрерывна в хш то в некоторой окрестности точки хе функции у и 1 совпадают. Ь) Покажите, что без предположения о непрерывности 1 в хе утверждение а, вообще говоря, неверно. 2. Проанализируйте еще раз доказательство теоремы о неявной функции и дополнений к ней и покажите, что: а) Если г = Г(х,у) непрерывно дифференцируемзя комплекснозначная функция комплексных переменных х, у, то определяемая уравнением г'(х, у) = = 0 неявная функция у = у(х) будет дифференцируемой по комплексному переменному х.
Ь) В условиях теоремы пространство Х не обязано быть нормированным, а может быть любым топологическим пространством. 3. а) Выясните, симметрична ли форма у" (х)(йы Ьг), заданная соотношением (10). Ь) Запишите в матричном виде формы (9) и (10) для случая числовых функций г"(х',х,у) и г"(х,у',у ). с) Покажите, что если К Э 1 «+ А(1) Е Е(Н"; И") есть бесконечно гладко зависящее от параметра г семейство невырожденных матриц А(1), то дгА ', (ИА,'~, ~1гА ,11г ~ лгу,11г =2А — А — А — А, где А =А (1) з 7. ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 127 — символ матрицы, обратной к матрице А = А(1). 4.
а) Покажите, что дополнение 1 к теореме является прямым следствием условий устойчивости неподвижной точки семейства сжимающих отображений, рассмотренных в 2 7 главы 1Х. Ь) Пусть (А,; Х -+ Х) — семейство сжимающих отображений полного нормированного пространства Х в себя, зависящих от параметра 1, который изменяется в области П нормированного пространства Т, Покажите, что если Аг(х) = ~р(1,х) является функцией класса С1"1(П х Х,Х), то неподвижная точка х(1) отображения Аг как функция 1 принадлежит классу СОО(й, Х). 5.
а) Опираясь на теорему о неявной функции, докажите следующую теорему об обратном отображении. Пусть д: С вЂ” г Х вЂ” отображение окрестности С точки уо полного нормированного пространства У в нормированное пространство Х. Если отображение х = д(у) 1' дифференцируемо в С, 2' д'(у) непрерывно в до, 3' д'(уо) обратимый оператор, то найдутся окрестность У С У точки уо в У и окрестность г7 С Х точки хо в Х такие, что д: У -+ 17 биективно, а обратное к нему отображение 7: с7 -1 У непрерывно в (7 и дифференцируемо в хо, причем 7 (хо) = (д (до)) Ь) Покажите, что если сверх приведенных в а) условий известно, что отображение д принадлежит классу С1"1(Ъ; 77), то обратное отображение 7' принадлежит классу С1 "1 ((7, У).
с) Пусть 7': К" -+ К" — гладкое отображение, у которого в любой точке х Б К" матрица у (х) невырожденаиудовлетворяетнеравенству О(7 ) (х)!) > > С > О с константой С, не зависящей от х. Покажите, что 7' — биективное отображение. г1) Используя опыт решения задачи с), попробуйте дать некоторую оценку радиуса той шаровой окрестности 77 = В(хо,г) точки хо, в которой заведомо определено рассматриваемое в теореме об обратной функции отображение 7": (7 -+ У. 6.
а) Покажите, что если линейные отображения А 6 Е(Х;У) и В Б 6 ь(Х;К) таковы, что кегА С кегВ (йег, как обычно, символ, обозначающий ядро оператора), то найдется такое линейное отображение Л Б ь(У; К), что В = Л . А. Ь) Пусть Х и У вЂ” нормированные пространства, а 7: Х вЂ” г К и д: Х вЂ” г -+ У вЂ” гладкие функции на Х со значениями в К и У соответственно.
Пусть  — гладкая поверхность, задаваемая в Х уравнением д(х) = уо. Покажите, что если хо Б Б — точка экстремума функции Дя, то любой вектор Ь, касательный к В в точке хо, одновременно удовлетворяет двум условиям: ~'(хо)Ь = О н д'(хо)Ь = О. 128 ГЛ, Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ с) Докажите, что если хо Е Я точка экстремума функции Дз, то ь '(хо) = = Л д'(хо), где Л 6 ь(У; К). ь)) Покажите, как из предыдущего результата получается классический пеобходимььй признак Лагранжа условного экстремума функции на гладкой поверхности в К". Т.
а) Вслед за Адамаром покажите, что непрерывное локально обратимое отображение у: К" -+ К" обратимо глобально, (т.е. является биективным) тогда и только тогда, когда при х -+ ао также у(х) + со. Убедитесь, что вместо Н" здесь можно поставить любое нормированное пространство. Как надо понимать (или переформулировать) условия Адамара, если от Н" или нормированного пространства перейти к любому их гомеоморфному образу? Ь) Пусть г'; Х х У -+ Я вЂ” непрерывное отображение, определенное на прямом произведении нормированных пространств Х и У. Покажите, что уравнение г (х, у) = О относительно у разрешимо глобально (в том смысле, что локальное непрерывное решение у = З (х) распространяется как таковое на все пространство Х) в точности при выполнении двух условий: уравнение имеет непрерывное решение в окрестности любой точки (хв, уо), удовлетворяющей условию г'(хв, ув) = О; и в паре (х, у), удовлетворяющей условию Е(х, у) = О, вторая координа может, непрерывно изменяясь, стремится к бесконечности лишь если первая координата в своем пространстве тоже стремится к бесконечности.
с) Вслед за Джоном покажите, что если непрерывное локально обратимое отображение у: В -+ Н единичного шара В нормированного пространства Н таково, что локально (в каждой точке шара) оно меняет элемент длины не более чем в я > 1 раз (растягивая или сжимая), то в шаре радиуса я з зто отображение заведомо инъективно. (Внимание: бесконечномерное нормированное пространство сдвигом координат можно изометрично вложить в себя в качестве собственного подпространства, но это отображение не является обратимым или локально обратимым. Оно обратимо только как отображение на свой образ.) ГЛАВА Х1 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2 1.
Интеграл Римана на и-мерном промежутке 1. Определение интеграла а. Промежуток в йп и его мера Определение 1. Множество 1 = 1х Е Ь" ~ а' < х' < Ь', г' = = 1,..., пХ называется промежутком или координатным параллелепипедом в К". Если желают отметить, что промежуток определяется точками а = = (а",..., а") и 6 = (6",...,6"), то его часто обозначают символом 1, я или, по аналогии с одномерным случаем, записывают в виде а ( х < Ь. Определение 2. Промежутку 1 = 1х Е К" ~ а' < х' < Ь', г' = п = 1,..., и) ставится в соответствие число ~1~:= П (Ь' — а'), называемое а=1 объемом или мерой промежутка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
