Главная » Просмотр файлов » 1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6

1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 25

Файл №824703 1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (Зорич том 2 2012u) 25 страница1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703) страница 252021-01-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

В менее подробной, но более обозримой записи зто означает, что у (х)(Ь1, Ь2) (Р„) [((Р„+ Р„„~ )Ь2)(Р„) Р Ь1 — ((Р.". + Р„"„У')Ь1)Ь2). (10) Так можно было бы в принципе получить выражение для производной любого порядка от неявной функции, однако, как видно уже из формулы (10), зти выражения в общем случае слишком громоздки, чтобы быть удобными в употреблении. Посмотрим теперь, как конкретизируются полученные результаты в важнейшем частном случае, когда Х = К , У = И", л" = К". ГЛ. Х.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 124 В этом случае отображение я = г (х, у) имеет координатное представление Р1( .1 .т у1 уп) я" = Г" (х1,..., х™, у,..., у"). Частные производные отображения ~' Е,С(К™; К"), гу' Е Е(К"; К") задаются матрицами > ДР1 ДР' ду' Ду р/ у ДР~ ДР" дут ду с ДР1 дЯ' дх~ Дя ДРп ДР дат дя"' 2) г"(х1,...,х ',у',...,у"), 4 = 1,...,и,— функции, непрерывные в ДРь' 3) все частные производные д— ". (х1,...,х ',у1,..., у"), г = 1,...,и, Ду 1 = 1,..., и, опРеДелены в окРестности точки (хе,..., хд, Уе,..., Уе) и непрерывны в самой этой точке; 4) в точке (хоо,..., хо,ус~,...,уо) определитель ДР! дуг дР' Ду П ДРп дЕ~ ду~ ДуП матрицы Г' отличен от нуля, то найдутся окрестность У точки хо = у = (хд1,..., хд ) в К™, окрестность у' точки уд = (уе1,..., уд ) в К" и отображение 1: У -+ У, имеющее в данном случае координатное предста- вычисленными в соответствующей точке (х, у).

Непрерывность Р' и гу', как нам известно, равносильна непрерывности всех элементов указанных матриц. 0бРатимость линейного пРеобРазованиЯ гу'(хд, Уо) Е Е(К"; К") Равносильна невырожденности матрицы, задающей это преобразование. Таким образом, в рассматриваемом случае теорема о неявной функции утверждает, что если 1) г'1(х1 х~ у1 у") = 0 5 7. ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 125 вление у1 = (1(Х1,..., Хх'), (12) у7$ — уп(Х1 Хт) такие, что: 1') в пределах окрестности 11 х Ъ' точки (хе,...,хе, уе,...,уе) Е е ж"' х 1х" система уравнений Г1(х1, ., х™, у1,..., у") = О, ( Х 1 Х у 1 у и ) равносильна функциональной зависимости ): У -+ $', выраженной равенствами (12); 2Р) ~1 х1( 1 .1х) уп хп( .1 3п).

3') отображение (12) непрерывно в точке (хе~,..., хе™, уе,..., уе ). Если же, сверх того, известно, что отображение (11) принадлежит классу гладкости С1~), то, как следует из приведенного выше утверждения, отображение (12) также будет принадлежать классу С("), разумеется, в соответствующей своей области определения. Формула (9) в рассматриваемом случае конкретизируется, превращаясь в матричное равенство ДР' д~' ду1 ду" д~т1 д1' дх дх Д1х Д~ дх ''' дх ДР" дн" ду1 ду ' в котором левая часть вычисляется в точке (х',..., х™), а правая — в соответствующей точке (х1,...,х™",у',...,у"), где у' =,1'(х~,...,х™), 1=1,...,п. Если п = 1, т.

е. когда решается относительно у уравнение г(х,...,х™,у) = О, матрица гу' состоит из одного элемента — числа ~~(х1,...,х™,у). В этом случае у = 1(х1,..., х ) и дУ„..., дУ = др д';,..., дг . (13) ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Формула (10) в этом случае также несколько упрощается, точнее, может быть переписана в следующем более симметричном виде: Если же и п = 1, и т = 1, то у = 1(х) есть вещественнозначная функция одного числового аргумента, и формулы (13), (14) предельно упрощаются, превращаясь в знакомые числовые равенства У'(х) = -~„(х,р), (Рл ~ Ел У1)Я1 (Рл 1 Е«Л)Р! для первых двух производных неявной функции, задаваемой уравнением Р(х,у) = О. Задачи и упражнения 1. а) Предположим, что наряду с указанной в теореме функцией 1: У вЂ” э У нашлась функция ): Π— + У, определенная в некоторой окрестности О точки хе и удовлетворяющая условиям уе = 1(хе) и Е(х, 1(х)) = 0 в О.

Докажите, что если 1 непрерывна в хш то в некоторой окрестности точки хе функции у и 1 совпадают. Ь) Покажите, что без предположения о непрерывности 1 в хе утверждение а, вообще говоря, неверно. 2. Проанализируйте еще раз доказательство теоремы о неявной функции и дополнений к ней и покажите, что: а) Если г = Г(х,у) непрерывно дифференцируемзя комплекснозначная функция комплексных переменных х, у, то определяемая уравнением г'(х, у) = = 0 неявная функция у = у(х) будет дифференцируемой по комплексному переменному х.

Ь) В условиях теоремы пространство Х не обязано быть нормированным, а может быть любым топологическим пространством. 3. а) Выясните, симметрична ли форма у" (х)(йы Ьг), заданная соотношением (10). Ь) Запишите в матричном виде формы (9) и (10) для случая числовых функций г"(х',х,у) и г"(х,у',у ). с) Покажите, что если К Э 1 «+ А(1) Е Е(Н"; И") есть бесконечно гладко зависящее от параметра г семейство невырожденных матриц А(1), то дгА ', (ИА,'~, ~1гА ,11г ~ лгу,11г =2А — А — А — А, где А =А (1) з 7. ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 127 — символ матрицы, обратной к матрице А = А(1). 4.

а) Покажите, что дополнение 1 к теореме является прямым следствием условий устойчивости неподвижной точки семейства сжимающих отображений, рассмотренных в 2 7 главы 1Х. Ь) Пусть (А,; Х -+ Х) — семейство сжимающих отображений полного нормированного пространства Х в себя, зависящих от параметра 1, который изменяется в области П нормированного пространства Т, Покажите, что если Аг(х) = ~р(1,х) является функцией класса С1"1(П х Х,Х), то неподвижная точка х(1) отображения Аг как функция 1 принадлежит классу СОО(й, Х). 5.

а) Опираясь на теорему о неявной функции, докажите следующую теорему об обратном отображении. Пусть д: С вЂ” г Х вЂ” отображение окрестности С точки уо полного нормированного пространства У в нормированное пространство Х. Если отображение х = д(у) 1' дифференцируемо в С, 2' д'(у) непрерывно в до, 3' д'(уо) обратимый оператор, то найдутся окрестность У С У точки уо в У и окрестность г7 С Х точки хо в Х такие, что д: У -+ 17 биективно, а обратное к нему отображение 7: с7 -1 У непрерывно в (7 и дифференцируемо в хо, причем 7 (хо) = (д (до)) Ь) Покажите, что если сверх приведенных в а) условий известно, что отображение д принадлежит классу С1"1(Ъ; 77), то обратное отображение 7' принадлежит классу С1 "1 ((7, У).

с) Пусть 7': К" -+ К" — гладкое отображение, у которого в любой точке х Б К" матрица у (х) невырожденаиудовлетворяетнеравенству О(7 ) (х)!) > > С > О с константой С, не зависящей от х. Покажите, что 7' — биективное отображение. г1) Используя опыт решения задачи с), попробуйте дать некоторую оценку радиуса той шаровой окрестности 77 = В(хо,г) точки хо, в которой заведомо определено рассматриваемое в теореме об обратной функции отображение 7": (7 -+ У. 6.

а) Покажите, что если линейные отображения А 6 Е(Х;У) и В Б 6 ь(Х;К) таковы, что кегА С кегВ (йег, как обычно, символ, обозначающий ядро оператора), то найдется такое линейное отображение Л Б ь(У; К), что В = Л . А. Ь) Пусть Х и У вЂ” нормированные пространства, а 7: Х вЂ” г К и д: Х вЂ” г -+ У вЂ” гладкие функции на Х со значениями в К и У соответственно.

Пусть  — гладкая поверхность, задаваемая в Х уравнением д(х) = уо. Покажите, что если хо Б Б — точка экстремума функции Дя, то любой вектор Ь, касательный к В в точке хо, одновременно удовлетворяет двум условиям: ~'(хо)Ь = О н д'(хо)Ь = О. 128 ГЛ, Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ с) Докажите, что если хо Е Я точка экстремума функции Дз, то ь '(хо) = = Л д'(хо), где Л 6 ь(У; К). ь)) Покажите, как из предыдущего результата получается классический пеобходимььй признак Лагранжа условного экстремума функции на гладкой поверхности в К". Т.

а) Вслед за Адамаром покажите, что непрерывное локально обратимое отображение у: К" -+ К" обратимо глобально, (т.е. является биективным) тогда и только тогда, когда при х -+ ао также у(х) + со. Убедитесь, что вместо Н" здесь можно поставить любое нормированное пространство. Как надо понимать (или переформулировать) условия Адамара, если от Н" или нормированного пространства перейти к любому их гомеоморфному образу? Ь) Пусть г'; Х х У -+ Я вЂ” непрерывное отображение, определенное на прямом произведении нормированных пространств Х и У. Покажите, что уравнение г (х, у) = О относительно у разрешимо глобально (в том смысле, что локальное непрерывное решение у = З (х) распространяется как таковое на все пространство Х) в точности при выполнении двух условий: уравнение имеет непрерывное решение в окрестности любой точки (хв, уо), удовлетворяющей условию г'(хв, ув) = О; и в паре (х, у), удовлетворяющей условию Е(х, у) = О, вторая координа может, непрерывно изменяясь, стремится к бесконечности лишь если первая координата в своем пространстве тоже стремится к бесконечности.

с) Вслед за Джоном покажите, что если непрерывное локально обратимое отображение у: В -+ Н единичного шара В нормированного пространства Н таково, что локально (в каждой точке шара) оно меняет элемент длины не более чем в я > 1 раз (растягивая или сжимая), то в шаре радиуса я з зто отображение заведомо инъективно. (Внимание: бесконечномерное нормированное пространство сдвигом координат можно изометрично вложить в себя в качестве собственного подпространства, но это отображение не является обратимым или локально обратимым. Оно обратимо только как отображение на свой образ.) ГЛАВА Х1 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2 1.

Интеграл Римана на и-мерном промежутке 1. Определение интеграла а. Промежуток в йп и его мера Определение 1. Множество 1 = 1х Е Ь" ~ а' < х' < Ь', г' = = 1,..., пХ называется промежутком или координатным параллелепипедом в К". Если желают отметить, что промежуток определяется точками а = = (а",..., а") и 6 = (6",...,6"), то его часто обозначают символом 1, я или, по аналогии с одномерным случаем, записывают в виде а ( х < Ь. Определение 2. Промежутку 1 = 1х Е К" ~ а' < х' < Ь', г' = п = 1,..., и) ставится в соответствие число ~1~:= П (Ь' — а'), называемое а=1 объемом или мерой промежутка.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
5,28 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6367
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее