1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 29
Текст из файла (страница 29)
3. а) Пусть Е-множество меры нуль в смысле Лебега, а у: Š— ~ К— непрерывная и ограниченная функция на Е. Всегда ли у интегрируема на Е? Ь) Ответьте на вопрос а), считая Е множеством меры нуль в смысле Жордана. с) Чему равен интеграл от указанной в а) функции 1, если он существует? 4. Неравенство Брунна — Минковского. Непустым множествам А,В С К" сопоставим их (векторную) сумму (в смысле Минковского) А+В:= (а+Ь | а е А, Ь е В). Пусть И(Е) — обозначение для объема множества Е С К" . а) Проверьте, что если А и В стандартные и-мерные промежутки (параллелепипеды), то Ъ'?" (А + В) ) Ъ'?" (А) + Ъ'?" (В). Ь) Докажите теперь предыдущее неравенство (оно называется неравенством Брунна — Минковского) для произвольных измеримых компактов А и В.
с) Покажите, что неравенство Брунна -Минковского переходит в равенство лишь в следующих случаях: когда У'(А+В) = 0; когда А и В одноточечны; когда А и В выпуклые гомотетичные тела. 2 3. Общие свойства интеграла 1. Интеграл как линейный функционал Ъ"тверждение 1. а) Множество Я(Е) 4ункиий интегрируемых по Риману на ограниченном множестве Е С К", является линейным 13. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА 147 пространством относительно стандартных операций сложения функций и умножения функции на число. Ь) Интеерал является линейным функционалом Г : )с(Е) -г К на пространстве Я(Е).
Е м Если учесть, что объединение множеств меры нуль также является множеством меры нуль, то утверждение а) вытекает непосредственно из определения интеграла и критерия Лебега существования интеграла от функции на промежутке. Учитывая линейность интегральных сумм, предельным переходом получаем линейность интеграла. > Замечание 1. Если вспомнить, что один и тот же предел интегральных сумм должен существовать при Л(Р) — 1 О независимо от выбора отмеченных точек С, то можно заключить, что (у б Я(Е)) /~(у (х) = = О почти всюду на Е) =к ( ) 7'(х)дх = О )э Е Таким образом, если две интегрируемые функции совпадают почти во всех точках множества Е, то их интегралы по Е тоже совпадают. Значит, если профакторизовать линейное пространство Я.(Е), относя в один класс эквивалентности функции, совпадающие почти во всех точках множества Е, то получится линейное пространство )с(Е), на котором интеграл тоже будет линейным функционалом. 2.
Аддитивность интеграла. Хотя мы всегда будем иметь дело с допустимыми множествами Е С Й", в п. 1 можно было этого и не предполагать (что мы и сделали). Теперь же речь будет идти только о допустимых множествах. Утверждение 2. Пусть Е1, Е2 — допустимые множества в Р', а )' — функция, определенная на Е1).) Ег. а) Имеют место соотношения э 1э э') )э* э1ээ") )э Л э1ээ") )э* э1э э)*)э*. ЕэОЕг Е, Ег Е) )эЕг ГЛ. Х1.
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 148 Ь) Если еще известно, что 1г(Е1 й Ег) = О, то нри условии существования интеералов имеет место равенство |'(х) дх = |'(х) дх + |'(х) дх. Е,ОЕг < Утверждение а) следует из критерия Лебега существования интеграла Римана по допустимому множеству (теорема 1, ~ 2). При этом надо только вспомнить, что объединение и пересечение допустимых множеств также являются допустимыми множествами (лемма 2, ~ 2). Для доказательства утверждения Ь) заметим сначала, что ХЕ „Е,( ) — ХЕ,( )+ХЕ,( ) — ХЕ,„Е,( ) Значит, г (х) дх = г Хе ое (х) ~~х ЕгоЕг 1ЭЕгОЕг ~„, (х)1Х + Ь (х) 1Х - уХе..е,(х)1Х = 1 1 ~(х) г1Х + |'(х) дх Дело в том, что интеграл |'Хе„е,(х) 1Х = У(х) 1Х Е | и Е 2 Ег ОЕг как нам известно из а), существует, а поскольку 1г(Е, П Ег) = О, то он равен нулю (см.
замечание 1). ~ 3. Оценки интеграла а. Общая оценка. Начнем с одной общей оценки интеграла, справедливой и для интегралов от функции со значениями в любом полном линейном нормированном пространстве. в 3. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА 149 'Утверждение 3. Если 1' е Я(Е), то ~Д е п.(Е) и имеет место неравенство < й( )дх. у(х) дх ~ То, что ф б Я.(Е), вытекает из определения интеграла по множеству и критерия Лебега интегрируемости функции на промежутке. Указанное неравенство получается теперь предельным переходом из соответствующего неравенства для интегральных сумм. ~ Ь, Интеграл от неотрицательной функции.
Следующие утверждения относятся уже только к вещественнозначным функциям. Утверждение 4. Для функпии ~: Е + 1к справедливо следующее предложение: ((' б Я(Е)) А (Чх Е ЕЦ(х) > 0)) ~ )(х)дх > О. ~ Действительно, ведь если 1'(х) > 0 на Е, то 1".Х (х) > 0 в К". Далее, по определению ,1 (х) их = УХЕ(х) дх. Е 1ЗЕ Последний интеграл по условию существует. Но он является пределом неотрицательных интегральных сумм, значит, он неотрицателен.
в Из доказанного утверждения 4 последовательно получаем Следствие 1. (~,д Е Я.(Е)) А (~ < д на Е) =" )'(х) дх < д(х) дх Е Е Следствие 2. Если 1' Е н.(Е) и в любой точке допустимоео множества Е выполнены неравенства т < ~(х) < М, то тд(Е) < ~(х) дх < Мр(Е). ГЛ. Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 150 Следствие 3. Если 1" Е 1с(Е), т = 1п1 1(х), М = впр1(х), то яеЕ хее найдется такое число д е [т, М], что 1(х) дх = Вр(Е). Следствие 4.
Если Š— связное допустимое множество и функция 1: Е -+ К непрерывна, то найдется такая точка ( Е Е, что 1(х) дх = 1 Яр(Е). Следе гвие 5. Если в дополнение к условиям следствия 2 имеетсл функция д Е Я.(Е), неотрицательная на Е, то т д(х) дх < 1д(х) дх < М д(х) дх.
Последнее утверждение является обобщающим и обычно называется, как и в случае одномерного интеграла, теоремой о среднем длл интеграла. М Оно вытекает из неравенств тд(х) < 1(х)д(х) < Мд(х) с учетом линейности интеграла и следствия 1. Его можно доказать и непосредственно, если перейти от интегралов по Е к соответствующим интегралам по промежутку, проверить неравенства для интегральных сумм, а затем перейти к пределу. Поскольку все зти рассуждения уже подробно проводились в одномерном случае, мы на деталях не останавливаемся. Отметим лишь, что интегрируемость произведения 1 д функций 1 и д, очевидно, вытекает из критерия Лебега.
ь Продемонстрируем теперь полученные соотношения в работе, проверив с их помощью, что справедлива следующая полезная Лемма. а) Если интеграл от неотрицательной на промежутке1 функции 1: 1 — + Ж равен нулю, то 1'(х) = 0 почти во всех точках промежутка 1. Ь) Утверждение а) остается в силе, если промежуток 1 в нем заменить любым допустимым (т. е. измеримым по Жордану) множеством Е. 13.
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА ~ По критерию Лебега функция / Е Я(Е) непрерывна почти во всех точках промежутка 1, поэтому доказательство утверждения а) будет закончено, если мы покажем, что /(а) = О в любой точке а е 1, в которой функция / непрерывна. Предположим, что /(а) > О. Тогда /(х) > с > О в некоторой окрестности У1(а) точки а (окрестность У1(а) можно считать промежутком). Значит, по доказанным свойствам интеграла 1(х) с(х = /(х) с(х+ 1(х) с(х > 1(х) с(х > с)е((11(а)) > О. на 1 Уу(а) 11Уу (а) ЕУу (а) Полученное противоречие проверяет справедливость утверждения а). Если применить зто утверждение к функции /)с и учесть, что )а(дЕ) = О, то получим утверждение Ь). > Замечание 2.
Из доказанной леммы следует, что если Š— измеримое по Жордану множество в К", а Я.(Е) — рассмотренное в замечании 1 линейное пространство классов эквивалентных функций, интегрируемых на Е и различающихся лишь на множествах меры нуль в смысле Лебега, то величина ))П = 1 (1((х) с(х является нормой на Я(Е). Е ~ Действительно, ведь из равенства 1 )1)(х) дх = О, теперь можно Е заключить, что 1 лежит в том же классе эквивалентности, что и функция, тождественно равная нулю. ° Задачи и упражнения 1.
Пусть Š— измеримое по Жордану множество ненулевой меры, а 1: Е -+ К вЂ непрерывн, неотрицательная интегрируемая функция ва Е и М = = вор 1(х). Покажите, что авЕ 'о' и в (/е(еа =м. 2. Докажите, что если 1, д В И(Е), то справедливо а) неравенство Геаьдера з4. СВЕДЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ 153 будет доказана теорема, которая наряду с теоремой о замене переменных является инструментом для вычисления кратных интегралов. Теорема1). Пусть Х х У вЂ” промежуток в К +", являющийся прямым произведением промежутков Х С К™ и У С Ко. Если функция у: Х х У + К интегрируема на Х х У, то интеералы сущестпвуют одновременно и равны между собой.
Прежде чем браться за доказательство теоремы, расшифруем смысл входящих в ее формулировку символов. Интеграл ) ~(х, у) дх ду— ХхУ это записанный в переменных х б Х, у Е У знакомый нам интеграл от функции ~ по промежутку Х х У. Символ ( дх ) Дх, у) ду следует понимать следующим образом: при х фиксированном значении х е Х вычисляется интеграл Г(х) = ( ~(х,у) Ыу по промежутку У, азатем полученная функция Г: Х вЂ” > К У интегрируется на промежутке Х.
При этом, если для некоторого х Е Х интеграл ( ~(х, у) ду не существует, то Г(х) полагается равным любо- У му числу между,7(х) = )'~(х, у) ау и 7(х) = )' ~(х, у) ау, не исключая р У и самих значений .7(х), У(х) нижнего и верхнего интегралов. Будет показано, что тогда Г Е Я(Х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
