1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 33
Текст из файла (страница 33)
)эс Я о (о о ф) ! ЙеС у' о ф/ / деС ф() (7) йт = Я о (у о Сб)) / с)еС(~р о ф)'!)) (7) дт. в. ГЛ. ХЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 172 6. Аддитивность интеграла и завершение доказательства формулы замены переменных в интеграле. Леммы 3 и 4 наводят на мысль воспользоваться возможностью локального разложения любого диффеоморфизма в композицию простейших (см. утверждение 2 из п.4 26 гл. ЧП1 часть 1) и на этом пути получить в общем случае формулу (3). Сводить интеграл по множеству к интегралам по малым окрестностям его точек можно по-разному.
Например, можно воспользоваться аддитивностью интеграла. Так мы и поступим. Опираясь на леммы 1, 3, 4, проведем теперь доказательство теоремы 1 о замене переменных в кратном интеграле. ~ Для каждой точки С компакта Кс — — впрр((~ о ~р)(с1еС ~р'() С Рс построим такую ее б(С)-окрестность У(С), в которой диффеоморфизм ~о раскладывается в композицию простейших.
Из — ~2 -окрестностей б(Н О(С) С У(С) точек С Е Кс выделим конечное покрытие и У(Сс),..., У(СЬ) компакта Кь Пусть д = 2 ппп(б(Сс),...,б(Сь)). Тогда любое множество, диаметр которого меньше чем д, и которое пересекается с Кь очевидно, содержится вместе со своим замыканием хотя бы в одной иэ окрестностей системы У(Сс),..., У(Сь). Пусть теперь 1 — промежуток, содержащий множество Р„а Р— такое разбиение промежутка 1, что А(Р) < ш1п(д, 41, где число б найдено выше, а д — расстояние от Кс до границы множества Р,.
Пусть Х:= (1;) — те промежутки разбиения Р, которые имеют с Кс непустое пересечение. Ясно, что если 1; Е Х, то 1, С Рс и ( С' о ~р! С1еС Сг'))(С) й = Я о у( с1еС ~р'))Х, )(С) М = п~ =~~з.р)~ ~Ф1)(Й)м. (6~ Образ Е, = ~р(1,) промежутков 1, по лемме 1 является измеримым множеством. Тогда и множество Е = ) ) Е; измеримо, и ларри С Е = = Е С Р .
Используя аддитивность интеграла, отсюда выводим, что 15. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ (7) По построению любой промежуток 1, Е Х содержится в некоторой окрестности П(х ), в пределах которой диффеоморфизм ср раскладывается в композицию простейших. Значит, на основании лемм 3 и 4 можно записать,что (8) Еь Сопоставляя соотношения (6), (7), (8), получаем формулу (3). > 7.
Некоторые следствия и обобщения формулы замены переменных в кратных интегралах а. Замена переменных при отображениях измеримых множеств Утверждение 1. Пусть со: Рс -+ Р, — дс4среоморусизм открытого ограниченного множества Рс С Й" на такое же множество Р С К"; Ес и Š— подмножества Рс и Р соответственно, причем такие, что Ес С Рс, Еи = Ре и Ел = ~р(Ес). Если с Е Я(Ее), то 7 о ф с1еь у') б 7ь(Ес) и имеет место равенство (9) Ес ~ Действительно, 7(х) ах = Их )(х)ах = Яух ) о Ю)~ )есор'~)(с)дЖ = Е~ 77с (() о у)) С(ЕФ~р ~7С )(ь) Ссс = ((С'о у)!с1Еь ~р'!)(ь) ас.
В этой выкладке мы испольэовали определение интеграла по множеству, формулу (3) и то обстоятельство, что Х = 7С о у. ~ ГЛ. ХЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 174 Ь. Инвариантность интеграла. Напомним, что интеграл по множеству Е от функции 1: Е -+ К сводится к вычислению интеграла от фУнкции ~ХЕ по пРомежУткУ 1 З Е. Но сам пРомежУток 1 был по опРеделению связан с системой декартовых координат в К". Теперь мы в состоянии доказать з'твержденне 2. Величина интеграла отп функиии 1' по множестпву Е С К" не зависит отп выбора декартовых координатп в К".
< Действительно, переход от одной системы декартовых координат в К' к другой такой же системе имеет якобиан, по модулю равный единице. В силу утверждения 1 отсюда следует равенство ~(х) дх = (1' о ат)(~) сК. Но зто и означает, что интеграл определен инвариантно: ведь если р — точка множества Е, х = (х~,..., х") — ее координаты в первой системе, Ф = ф,...,1") — во второй, а х = ~о(1) — функция перехода от одних координат к другим, то ~(р) = 1 (х,...,х") = Я1,...,1"), где 1т =,7х о ~Р. Значит, мы показали, что где Е, и Ет — запись множества Е в системе координат х и Ф соответ- ственно. я Из утверждения 2 и определения 3 ~ 2 меры (Жордана) множества Е С К" можно заключить, что зта мера не зависит от выбора системы декартовых координат в К", или, что то же самое, мера Жордана инвариантна относительно группы движений евклидова пространства ж".
с. Пренебрежимые множества. Используемые на практике замены переменных или формулы преобразования координат иногда имеют те или иные особенности (например, где-то может быть нарушение взаимной однозначности, обращение в нуль якобиана или отсутствие 15. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ дифференцируемости). Как правило, эти особенности бывают на мно- жествах меры нуль и потому для потребностей практики весьма полез- на следующая Теорема 2.
Пусть 1о: Р1 — 1 Р— отображение измеримого (по Жордану) множества Р~ С Щ' на такое же множество Р С К". Предположим, что в Р1 и Р можно указать такие множества Б1, Б меры нуль (в смысле Лебега), что Р1 '1 Б1 и Р 1 Бь — открытые множества, а у отображает диунреомор4но и с ограниченным лкобианом первое из них на второе. Тогда длл любой 4ункиии ~ е Я(Р ) также (1' о 1о) ! с1еС 1о'! Е Я(Рс '1 Б1 ) и 1'(х) дх = Я о 1о)/ де$ 1о'/)(й) сМ.
В гч~яс (10) Если, кроме того, величина ~с1еФ~р'~ определена и ограничена в Рб то ,1(х) дх = Я о ~рИде11о'~)(~) Ю. ~ По критерию Лебега функция У может иметь разрывы в Р, а значит, и в Р 1 Б, лишь на множестве меры нуль. Образ этого множества точек разрыва при отображении ~р ": Р 1Б — > Р, ~1 Б, по лемме 1 является множеством меры нуль в Р1 '1 Бь Таким образом, соотношение (1' о 1о) ~ де$ у'~ Е Я.(Р1 '1 Б1) будет немедленно следовать из того же критерия Лебега интегрируемости функции, если мы установим, что множество Р, 1 Б1 измеримо. То, что это действительное измеримое по Жордану множество, будет побочным продуктом проводимых ниже рассуждений.
По условию Р '1Б — открытое множество, поэтому (Р 1Б ) Г~дБ = ю', значит, дБя С дР 0 Ба и, следовательно, дР О Б, = дР, О Б„ где Б = Б О дБ — замыкание в Я" множества Б . Получается, что дР О Б, есть замкнутое ограниченное множество, т.е. компакт в К", который, как объединение двух множеств меры нуль, сам является множеством меры нуль в смысле Лебега. Из леммы 3 ~ 1 нам известно, что тогда множество дР ОБ, (а вместе с ним и Б ) имеет объем нуль, т.е. для любого е > 0 найдется такое конечное покрытие 11,..., 1ь этого ь множества промежутками, что 1 ~Ц ( е. Отсюда, в частности, следу1=1 ГЛ. Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ет, что множество Р 1 Я (и аналогично множество Рс '1 Яс) измеРимо по Жордану: ведь д(Р '1 Я ) С ВР С.СВЯ С ВР С С Я . Покрытие 1с,..., 1ь, очевидно, можно выбрать еще и так, чтобы любая точках Е ВР 1Я была внутренней точкой по крайней мере одного из промежутков покрытия. Пусть У = Ц 1о Множество У измерисс мо, как и множество 7' = Р сс11 .
По построению множество сс таково, что 1с С Р '1 Я, и для любого измеримого множества Е с Р, которое содержит компакт 1с, справедлива оценка 1(х) дх — 1(х) сЬ 1(х) дх Р '(е < Мсс(Р ~Е ) < М е, (12) где М = япр 1(х). х е гс Прообраз Рс —— ссс с($' ) компакта 1', является компактом в Рс 1 Яс. РассУждаЯ как и выше, можно постРоить измеРимый компакт И'с, подчиненный Условилм Ъ'с С Псс С Рс '1 Вс и обладающий тем свойством, что для любого измеримого множества Ес такого, что И'"с С .Ес С Рс ~ Яс, выполняется оценка ((,с' о ср) / бес ср'/) (С) с1с — ((У о ссс) / с1еС ср'/) (С) Ю < е.
(13) ссс'~%с ПУсть тепеРь Е, = ср(Ес). ДлЯ множеств Е С Р 1 Я и Е, С Рс 1 Я по утверждению 1 имеет место формула (9). Сопоставляя соотношения (9), (12), (13) и учитывая произвольность величины е ) О, получаем равенство (10). Докажем теперь последнее утверждение теоремы 2. Если функция (1 о ~о)! с(естес) определена на всем множестве Рс, то, поскольку Р, 1 Яс открыто в Щ, все множество точек разрыва этой функции на Рс состоит из множества А точек разрыва функции (с' о ср) ~ с1ес ср'~~п,1я, (ограничения исходной функции на множество Рс '1 Яс) и, быть может, некоторого подмножества В множества Яс с с дРс.
Множество А, как мы видели, является множеством меры нуль по Лебегу (ведь интеграл в правой части равенства (10) существует), а по- 177 15. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ скольку Ят С1дРт имеет объем нуль, то это же можно сказать про множество В. Значит, достаточно знать, что функция (у о Ст) ~ ЙеС у'~ ограничена на Р„как по критерию Лебега получится, что она интегрируема на Р,. Но (У с тр((С) < М на Р„поэтому функция (у с ьт) ) ЙеС тд'( ограничена на Ям коль скоро функция ( с1еС ут') по условию ограничена на Яь Что же касается множества Р, 1 Б„то на нем функция (у о тр)( ЙеС трт) интегрируема и, значит, ограничена.
Итак, функция (у о тр)) с1еС тр') интегрируема на Рь Но множества Рт и Рт '1 Бт отличаются лишь на измеримое множество Ям объем которого, кэк было показано, равен нулю. Значит, в силу аддитивности интеграла и обращения в нуль интеграла по Ят можно заключить, что правые части равенств (10) и (11) в рассматриваемом случае действительно совпадают. ~ Пример.
Отображение прямоугольника 1 = ((г, Стт) Е Кз ~ 0 < т. < ( В Ц 0 ( ут ( 2я) на круг К = 1(х, у) б ж~ ( х~ + у~ ( Вэ), задаваемое формулами х = т соя ут, у = гя1пст, (14) не является диффеоморфизмом: вся сторона прямоугольника 1, на которой г = О, переходит при этом отображении в одну точку (О, 0); образы точек (г, 0) и (г,2тт) совпадают.
Однако если рассмотреть, например, множества 1'1 д1 и К 1Е, где Š— объединение границы дК круга К и радиуса, идущего в точку (О, А), то ограничение отображения (14) на область 1'1 д1 окажется ее диффеоморфизмом на область К 11Е. Значит, по теореме 2 для любой функции у Е тс(К) можно написать, что или, применяя теорему Фубини, 2я и Г у(х,у) Йхду = Йтр 1"(гсояут,гятптр)т Йг. 0 0 К Соотношения (14) суть хорошо известные формулы перехода от полярных координат к декартовым на плоскости. Сказанное можно, естественно, развить и применительно к общей полярной (сферической) системе координат в К", которую мы рассматривали в части 1, где был указан также якобиан перехода от полярных координат к декартовым в пространстве К" любой размерности.
Задачи и упражнения 1. а) Покажите, что лемма 1 справедлива для любого гладкого отображения ср: Рс -+ Р, (см. в этой связи также задачу 8). Ь) Докажите, что если Р— открытое множество в К, а ср Е СОВ(Р, К"), то р(Р) при т < и является множеством меры нуль в К". 2. а) Проверьте, что мера измеримого множества Е и мера его образа ср(Е) при диффеоморфизме р связаны соотношением сс(р(Е)) = Всс(Е), где О Е ) 1пс / с(еС ср'(С) ), епр / с1еС Со'(С) ) ссее Фее Ь) В частности, если Š— связное множество, то найдется такая точка т й Е, что рс(ср(Е)) = ~ с1еС ср'(т)(1с(Е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
