1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 35
Текст из файла (страница 35)
~ 16. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 183 Совокупность всех исчерпаний любого сколь-нибудь обильного множества практически необозрима, да всеми исчерпаниями и не пользуются. Проверку сходимости несобственного интеграла часто облегчает Утверждение 1. Если функция Г: Š— + И неогприцательна и хотя бы для одного исчерпания (Е„) множества Е указанный в определении 2 предел существует, то несобственный интеграл от функции Г по множеству Е сходится.
< Пусть (ЕД вЂ” другое исчерпание множества Е, на элементах которого функция Г интегрируема. Множества Е~:= Е' ПЕ„, и = 1, 2,... образуют исчерпание измеримого множества Е', поэтому из утверждения Ь) леммы следует, что Г Г(х)дх = 1пп / Дх)дх < 1пп ( Г(х)дх = А.  — 2СЮ и-2ОО / Поскольку Г > О, а Е~ь с Е„', с Е, то В 1пп Г(х) г1х = В < А. Но теперь исчерпания (Е„), (Е ) равноправны, поэтому А < В и, значит, А = В. ~ х2г 2 Пример 1. Найдем несобственный интеграл Ое1х +Я 2 дхду. Н2 Будем исчерпывать плоскость К~ последовательностью кругов Е„= = ((х, у) Е ж~ ~ х + у < п~). После перехода к полярным координатам легко получаем, что Г х2 2 Г П2 е1х +У ) г1хг1у = гггр е г г Йг = гг(1 — е ) — + гг Е„ о о при и — 2 ОО. В силу утверждения 1 уже можно заключить, что рассматриваемый интеграл сходится и равен к.
Из полученного результата можно извлечь полезное следствие, если рассмотреть теперь исчерпание плоскости квадратами Е„ '= ((х,у) Е ГЛ. Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 184 Е й2 ) )х! < и А |у! < п). По теореме Фубини и и О 2 е~ +")ахау= ду е ~ +")Йх= е а1 Е' — и — п — и и В силу утверждения 1 последняя величина при и -+ оо должна стремиться к х. Таким образом, мы вслед за Эйлером и Пуассоном получаем, что -~-со е * дх=~/т Некоторые дополнительные не вполне очевидные на первый взгляд особенности определения 2 несобственного кратного интеграла будут указаны ниже в замечании 3. 2.
Мажорантный признак сходимости несобственного интеграла л'твержденне 2. Пусть 1 и д — определенные на множестве Е и интегрируемые на одних и тех же его измеримых подмножествах 4ункции, причем 11(х)~ < д(х) на Е. Тогда из сходимости несобственного интеграла ) д(х) дх вьппенает сходимость интегралов ) ф(х) дх Е Е и ) 1(х) ах. Е м Пусть (Е„) — исчерпание множества Е, на элементах которого обе функции д и У интегрируемы.
Из критерия Дебега вытекает интегрируемость функции ~Д на множествах Е„, и б 1Ч, поэтому можно записать,что 1У1(х) ах — )У((х) дх = ф(х) дх < Е .~.ь Е„ Е +ьМ < д(х) дх = д(х) дх — д(х) дх, Е„еь~, Е Е„ где й и и — любые натуральные числа. Эти неравенства с учетом утверждения 1 и критерия Коши существования предела последовательности позволяют заключить, что интеграл ) ~Д(х) дх сходится. Е 18. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 185 Рассмотрим теперь функции (~..— — 1()Д + 1), у':= ~ 011 — у). Очевидно, 0 < У~ < )Х! и 0 < У < Щ.
В силу уже доказанного несобственные интегралы от функций ~+ и 1 по множеству Е сходятся. Но ,( = (+ — ~, значит, сходится и несобственный интеграл от функции ~ по этому же множеству (и он равен разности интегралов от функций Д~.и~ ).1» Для того, чтобы утверждением 2 можно было эффективно пользоваться при исследовании сходимости несобственных интегралов, полезно иметь некоторый набор эталонных функций для сравнения. Рассмотрим в этой связи Пример 2.
В и-мерном единичном шаре В С Р' с выколотым центром 0 рассматривается функция 1(г, где г = Н(0, х) — расстояние от точки х е В 1 0 до точки О. Выясним, при каких значениях а е б К интеграл от этой функции по области В 1 0 сходится. Для этого построим исчерпание области кольцевыми областями В(е) = (х б В ~ б < д(0, х) < 1). Переходя к полярным координатам с центром О, по теореме Фубини получаем где сбр = Йр1... сйр„м 1'(~р) — некоторое произведение синусов углов у1,..., у„з, появляющееся в якобиане перехода к полярным координатам в К", а с — величина интеграла по Я, которая зависит только от и и не зависит от г и г.
При г — > +О полученная величина интеграла по В(е) будет иметь конечный предел, если а < и. В остальных случаях последний интеграл стремится к бесконечности, когда б -+ +О. Итак, мы показали, что функция б — ~, где Н вЂ” расстояние до 1 точки О, интегрируется в проколотой окрестности этой точки лишь при о < и, где и — размерность пространства. Аналогично показывается, что вне шара В, т. е. в окрестности бесконечности, эта же функция интегрируется в несобственном смысле, лишь когда о ) и. Пример 3.
Пусть 1 = 1х Е 2" ~ 0 < х' < 1, г = 1,...,и)— ГЛ. Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ п-мерный куб, а Хь — его к-мерная грань, задаваемая условиями х Ь-~-1 = ... = х" = О. На множестве 1 ) Хь рассмотрим функцию -„а —, где 1 д(х) — расстояние от точки х Е 1 ) Хь до грани Хь. Выясним, при каких значениях а Е К интеграл от этой функции по множеству Х 1 Хь сходится. Заметим,что если х = (х,...,х,х ,...,х ),то 1 Ь Ь~1 п~ д(х) = Пусть 1(с) — это куб 1, из которого удалена с-окрестность грани Хь. По теореме Фубини Г г (х'+1... Их" 1 Ии дР(х) .I,/ ((х" Н)з +...
+ (хп)з)а!з / )и~а' ця) 1й 1 ~ ~(е) 1.-~(е) ГдЕ и = (Х"+1,..., Х"), Хя Ь(С) — ГраНЬ Хя Ь С )К" ~, ИЗ КОтОрОй удаЛЕНа с-окрестность точки и = О. Но на базе приобретенного в примере 1 опыта ясно, что последний интеграл сходится лишь при а < и — к. Значит, рассматриваемый нами несобственный интеграл сходится лишь при а < и — Й, где Й вЂ” размерность грани, около которой функция может неограниченно возрастать.
Замечание 2. При доказательстве утверждения 2 было проверено, что сходимость интеграла от функции ~Д влечет сходимость интеграла от функции Х. Оказывается, для несобственного в смысле определения 2 интеграла верно и обратное утверждение, чего не было в рассматривавшемся нами прежде случае несобственного интеграла на прямой, где мы различали абсолютную и неабсолютную (условную) сходимости несобственного интеграла. Чтобы сразу понять суть возникшего нового явления, связанного с определением 2, рассмотрим следу- ющий Пример 4. Пусть функция 1: 2» -+ )к определена на множест- 1 л — 1 ве Рц неотрицательных чисел следующими условиями: Х(х) = (- — ~) —, еслип — 1<х<п, пав% С~, „п1 Поскольку ряд ), ~- — х„— сходится, то, как легко видеть, предел п=1 А при А — 1 со интеграла )Х(х) дх существует и равен сумме указанного о ~ б. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 187 ряда.
Однако этот ряд не сходится абсолютно, и перестановкой его членов можно получить ряд, например, расходящийся к +со. Частичные суммы нового ряда можно интерпретировать как интегралы от функции у по объединению Е„соответствующих членам ряда отрезков вещественной оси.Множества Е„ в совокупности, очевидно, образуют исчерпание области И.ь задания функции у. Таким образом, несобственный интеграл ) Дх) дх от предъявлено ной функции ): 2. -+ К в прежнем его понимании существует, а в смысле определения 2 не существует. Мы видим, что требуемая в определении 2 независимость предела от выбора исчерпания эквивалентна независимости суммы ряда от порядка суммирования его членов.
Последнее, как нам известно, в точности равносильно абсолютной сходимости. На самом-то деле практически всегда приходится рассматривать лишь специальные исчерпания следующего вида. Пусть определенная в области Р функция у: Р -+ К неограничена в окрестности некоторого множества .Е С дР. Тогда мы удаляем из Р точки, лежащие в с-окрестности множества Е, и получаем область РЯ с Р. При с -+ 0 эти области порождают исчерпание Р. Если же область неограниченная, то ее исчерпание можно получить, взяв дополнения в Р к окрестностям бесконечности.
Именно такие специальные исчерпания мы в свое время и рассматривали в одномерном случае, и именно эти специальные исчерпания непосредственно ведут к обобщению на случай пространства любой размерности понятия главного (в смысле Коши) значения несобственного интеграла, о котором мы в свое время уже говорили, изучая несобственные интегралы на прямой. 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
