1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 37
Текст из файла (страница 37)
+ х" С" есть стандартное скалярное произведение в К". Пусть А = (ап)— комплексная симметричная (и х и)-матрица. Обозначим через Ке А матрицу с элементами Ке аеб запись Ке А > 0 (Ке А > 0) означает, что ((Ке А)х, х) > 0 (соответственно > 0) для любого х б К", х ~ О. 16. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 193 а) Покажите, что если Не А > О, то при Л > О, с 6 Н" с' Л ехр ~ — — (Ах, х) — 1(х, с) дх = и и/2 — (деФА) 'сеехр — — (А 'Ф,Ф) При этом ветвыЛеС А выбрана следующим образом: (деФА) 'с~ = ~деФА~ к~вехр( — 1 1пд А), 1 я 1пс1 А = — ~~ ася сс (А), ~ атя,иэ(А)~ < —, э=с где пэ(А) — собственные значения матрицы А.
Ь) Пусть А — вещественная симметричнал невырожденная (и х п)-матрица. Тогда при Ф 6 пк и Л > О / Л ехр ~г — (Ах,х) — 1(х,с) дх = и/2 — ~ деФ А~ ' ~ ехр — — (А 'с, с) ехр — яяп А Здесь вяп А — сигнатура матрицы А, т. е. яяп А = сс~(А) — сс (А), где ссс.(А) — число положительных, и (А) — число отрицательных собствен- ных значений матрицы А. ГЛАВА ХП ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Кп В этой главе разобраны понятия поверхности, края поверхности, согласованной ориентации поверхности и ее края, выведена формула для вычисления площади поверхности, лежащей в й", а также даны начальные представления о дифференциальных формах. Владение перечисленными понятиями весьма важно при работе с криволинейными и поверхностными интегралами, которым посвящена следующая глава.
2 1. Поверхность в К" Эталоном к-мерной поверхности является )к". Определение 1. Поверхностью размерности ь' (ь'-мерной поверхностью или а-мерным мноеообразием) в И" называется такое множество Я С К", каждая точка которого имеет в Я окрестность' ), гомеоморфную~) )к~. Определение 2. Отображение ~р: )к~ — > У с Я, осуществляющее указанный в определении поверхности гомеоморфизм, называется ОПод окрестностью точки х Е Я С К" в множестве о, как и прежде, понимается множество Ув(х) = Я С1 У(х), где У(х) окрестность х в К". Поскольку в дальнейшем речь будет только об окрестностях точки на поверхности, для упрощения обозначений, если не возникает недоразумений, мы пишем У или У(х) вместо Ул(х). ЮНа Я С К", а значит, и на У С Я имеется естественная, индуцированная из К метрика, поэтому можно говорить о топологическом отображении У в К".
1 Ь ПОВЕРХНОСТЬ В В" 195 картой или локальной картой поверхности Я; К" — областью параметров, а 11 — районом или областью действия карты на поверхности Я. Локальная карта вводит в У криволинейные координаты, сопоставляя точке х = 1о(Ф) Е 11 числовой набор ~ = (х',..., х") б К". Из определения поверхности видно,что совокупность описываемых им объектов Я не изменится, если в нем К" заменить любым гомеоморфным К" топологическим пространством. Чаще всего вместо К~ за стандартную область параметров локальных карт принимают открытый куб 1" или открытый шар В" в К". Но это чистая условность. Для проведения некоторых аналогий и в целях большей наглядности ряда последующих построений мы, как правило, в качестве канонической области параметров локальных карт поверхности будем брать куб 1".
Итак, карта р: 1" -+ 11 С Я локально дает параметрическое уравнение х = ~р(1) поверхности Я с К", а сама Й-мерная поверхность, таким образом, локально устроена как продеформированный стандартный к-мерный промежуток 1ь с К". Для вычислительных целей, как будет видно из дальнейшего, параметрическое задание поверхности особенно важно. Иногда всю поверхность можно задать всего лишь одной картой. Такую поверхность обычно называют элементарной. Например, график в К" +' непрерывной функции 1: 1~ -+ К является элементарной поверхностью. Однако элементарность поверхности скорее исключение, чем правило.
Например, обычную нашу двумерную земную сферу уже нельзя задать только одной картой. В атласе поверхности Земли должны быть по крайней мере две карты (см. задачу 4 в конце параграфа). В соответствии с возникшей аналогией примем Определение 3. Набор А(Я):= (1о,: 1," — + У;,г е И1 локальных карт поверхности Я, районы действия которых в совокупности покрывают всю поверхность (т.
е. Я = ( ) У,), называется атласом поверхно- Объединение двух атласов одной и той же поверхности, очевидно, тоже является атласом этой поверхности. Если на отображения (1) — локальные параметрические уравнения поверхности — не накладывать других ограничений, кроме того, что 196 ГЛ. ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В И" это должны быть гомеоморфизмы, то поверхность в К" может оказаться расположенной весьма странно. Например, может случиться, что гомеоморфная двумерной сфере поверхность, т. е. топологически— сфера, лежит в Кз, но ограничиваемая ею область не гомеоморфна шару (так называемая рогатая сфера1)). Чтобы избавиться от подобных затруднений, не связанных с существом рассматриваемых в анализе вопросов, мы в гл. 17П1, 8 7 определили гладкую и-мерную поверхность, лежащую в К", как такое множество Е С К", что для каждой точки хо Е Я найдутся ее окрестность 11(хо) в К" и диффеоморфизм уп 11(хо) — 1 1" = (1 Е Кп ~ ~$~ < 1,1 = 1,..., и), при котором множество 118(хо):= Е П П(хо) преобразуется в куб 1" = = 1" П (1 6 Кп ~ 1~+ =...
= 1" = О). Ясно, что гладкая в этом смысле поверхность является поверхностью в смысле определения 1, поскольку отображения х = у) ' (г1,..., 1", О,..., 0) = ~р(1',...,г~), очевидно, задают локальную параметризацию поверхности. Обратное, как следует из упомянутого выше примера рогатой сферы, вообще говоря, не имеет места, если у просто гомеоморфизмы. Однако если отображения (1) достаточно регулярны, то понятие поверхности в прежнем и новом определении на самом-то деле совпадают. По существу, это уже было показано в примере 8 из 87 гл.
УП1, но учитывая важность вопроса, сформулируем утверждение точно и напомним, как получается ответ. о'тверждение. Если отображение (1) принадлежит классу С(1)(1", К") и в каждой точке куба 1" имеет максимально возможный ранг а, то найдутсл число е > 0 и такой ди44еомор4изм 1о,: 1," — + К" куба 1,":= (1 е К" ~ )11~ < е,1 = 1,..., и) размерности и в пространство К", что ф~1ео18 — — ф,~1ео19. Иными словами, утверждается, что при указанных условиях отображения (1) локально являются ограничениями на )с-мерные кубы 1ь = = 1" П 1," диффеоморфизмов полномерных кубов 1,".
< Положим для определенности, что уже первые )с из и координатных функций х' = ~о'(~',...,г"),1 = 1,...,п, отображения х = со(1) '~Пример поверхности, о которой идет речь, Выл построен Александером. Дж. У. Александер (1888 — 1977) — американский математик-тополог. ~1. ПОВКРХНОСТЬ В К 197 7д 11 таковы, что 1)е1 ~ — ~-) (0) ~ О, г,у' = 1,..., л. Тогда в силу теоремы о д11 неявной функции соотношения 1 1(11 1ь) ь, Я(11 1ь) х"+1 = ~рь+1(11,..., $"), ( 1 1 1 й ) около точки (1е, хе) = (О, у(О)) эквивалентны соотношениям у1( 1 ь) 1" = 1~(х1,...,х~), х"+1 = 7~+1(х1,...,х"), Хп — 1п(Х1 ХЬ) В таком случае отображение Ф1 = 7'1(х1,...,х"), 1" = у" (х',..., х"), $"+1 = х "+1 — ~"+1(х1,..., х" ), 1п и уп( 1 .й) является диффеоморфизмом полномерной окрестности точки хе Е йп. В качестве я1, можно теперь взять ограничение обратного к нему диффеоморфизма на некоторый куб 1п.
~ 198 ГЛ. ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В И" Изменением масштаба, разумеется, можно сделать так, чтобы в последнем диффеоморфизме было г = 1, а куб 1," был единичным. Итак, показано, что для гладкой поверхности в К" можно принять следующее эквивалентное прежнему Определение 4.
Поверхность размерности и в К" (введенная определением 1) называется гладкой (класса СОп), т > 1), если она обладает атласом, локальные карты которого являются гладкими (класса С("'), 7п > 1) отображениями и в каждой точке области своего определения имеют ранг к. Заметим, что условие на ранг отображений (1) существенно. Например, аналитическое отображение К Э 1 ь+ (х', х~) Н К~, задаваемое формулами х~ = 1~, хз = $~, определяет кривую в плоскости Ки, имеющую острие в точке (О, О). Ясно, что эта кривая не является гладкой 1-мерной поверхностью в К', ибо последняя должна иметь касательную (1-мерную касательную плоскость) в любой точке' ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
