1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Понятие гладкой (класса С< ) ) поверхности Я с краем вводится, как и для поверхностей без края, требованием, чтобы Я обладала атласом карт данного класса гладкости. При этом мы подразумеваем, что для карт вида <р: Н" — + У и частные производные от <р в точках края дН" вычисляются только по области Н" определения отображения ~р, т.е. иногда это односторонние производные, а якобиан отображения <о отличен от нуля всюду в Н . Поскольку 1<" можно диффеоморфизмом класса С<ьь) преобразовать 13. КРАЙ ПОВЕРХНОСТИ И ЕГО ОРИЕНТАЦИЯ 215 в куб 1~ = ($ е 1~~ ~ ~Р~ < 1, 1 = 1,...,к), причем так, что Н преобразуется в часть 1я куба з ", определяемую дополнительным условием г' < О, то ясно, что в определении поверхности с краем (даже в случае ее гладкости) можно было бы заменить Кь на з", а Нь на 1яь или на куб 1" с одной присоединенной гранью з~ ':= (1 Е К~ ~ 1~ = 1, ~0'~ < < 1, 1 = 2,..., к), являющейся, очевидно, кубом на единицу меньшей размерности.
С учетом этой всегда присутствующей свободы в выборе канонических локальных карт поверхности, сопоставляя определения 1, 2 и определение 1 из 2 1 видим, что справедливо следующее Утверждение 1. Край И-мерной поверхности класса С~ ) сам является поверхностью того лсе класса гладкости, причем поверхностью без края и на единицу меньшей размерности в сравнении с размерностью исходной поверхности с краем. < Действительно, если А(В) = 1(Н", ~оо Н,) ) 0 ((1с", ~Р1, с7 ) ) — атлас поверхности В с краем, то А(дВ) = ((Кь ",1о;~вяь нь-~,дУ;)), очевидно, является атласом того же класса гладкости для края дВ.
ь Укажем некоторые простые примеры поверхностей с краем. Рис. 77. Пример 1. Замкнутый и-мерный шар В в К" есть и-мерная поверхность с краем. Ее край дВ есть (и — 1)-мерная сфера (см. рис. 76 и рис. 77, а). Шар В, называемый часто по аналогии с двумерным случаем и-мерным диском, можно гомеоморфно преобразовать в половину и-мерной сферы, краем которой является экваториальная (п — 1)-мерная сфера (рис. 77, Ь). 21б ГЛ. ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В К" Пример 2.
Замкнутый куб 1" в К" по лучам, исходящим из его центра, можно гомеоморфно преобразовать в замкнутый шар дВ . Следовательно, 1" как и В, есть п-мерная поверхность с краем, который в данном случае образован гранями куба (рис. 78). Отметим, что на ребрах, являющихся пересечениями граней, никакое отображение куба на шар, очевидно, не может быть регулярным (т. е. гладким и ранга и).
Рис. 78. Пример 3. Если лист Мебиуса получать описанным в примере 5, 8 1 склеиванием двух противоположных сторон теперь уже замкнутого прямоугольника, то, очевидно, в К получится поверхность с краем, з причем ее край гомеоморфен окружности (правда, заузленной в Из).
При другой возможной склейке зтих же сторон получится цилиндрическая поверхность, край которой состоит из двух окружностей. Эта поверхность гомеоморфна обычному плоскому кольцу (см. рис. 71 к примеру 5, 8 1). На рис. 79, а, Ь, 80, а, Ь, 81, а, Ь, которые мы исполь- Рис. 79. Рис. 80. 2. Согласование ориентации поверхности и края. Если в евклидовом пространстве Ря~ фиксирован ориентирующий орторепер е„..., е,,„который индуцирует в К декартовы координаты х,..., х, ь 1 я зуем в дальнейшем, изображены попарно гомеоморфные поверхности с краем, лежащие в Кз и Ф.
Как видно, край поверхности может ока- заться несвязным, даже если сама поверхность была связной. 13, КРАЙ ПОВЕРХНОСТИ И ЕГО ОРИЕНТАЦИЯ 217 то векторы е2,...,еь накраюдН" = К~ ~ полупространстваН" = (х Е б 1~~ ~ х~ < 0) задают ориентацию, которую считают согласованной с заданной репером е,...,е„ ориентацией полупространства Н ь Ъ. Рис. 81. В случае, когда к = 1 и дН" = йь ~ = Ф есть точка, следует особо договориться о том, как ориентировать точку. По определению точку ориентируют, приписывая ей знак + или —. В случае дН' = 1с~ берется (11в, +) или короче +Ф. Мы хотим теперь в общем случае определить, что значит согласованность ориентации поверхности и края. Это весьма важно для практики вычислений, связанных с поверхностными интегралами, о которых будет речь ниже.
Прежде всего убедимся в том, что имеет место следующее общее Утверждение 2. Край дд гладкой ориентируемой поверхности Я сам лвллетсл гладкой ориентируемой поверхностью (бььть мозсет, и несвязной). м С учетом утверждения 1 нам остается только проверить ориентируемость дд. Покажем, что если А(д) = ((Н", р;, (7)) 0 ((К", юз, с7 ) )— ориентирующий атлас поверхности с краем д, то атлас А(дд) ((К, ~р,~вяь нь-, дУ;)) края тоже состоит из попарно согласованных карт.
Для этого, очевидно, достаточно проверить, что если 1 = ф($) есть диффеоморфизм с положительным якобианом окрестности Ннь(1а) в Н" точки 1в Е дН" на окрестность бнь(1а) в Н точки 1в Е дН", то положительный якобиан имеет также отображение фвп„,Оь> окрестности Нвнь(1в) = д17нь(Фв) в дН" точки Фо на окрестность Овнь (1в) = дбнь (1а) в дН" точки Фв = ф(ьв).
Заметим, что в любой точке 1в = (0,1а,...,1в) Е дН" якобиан 1 2Г8 ГЛ. ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В К" отображения ф имеет вид 0 д11 Ы А' поскольку при х1 = 0 должно быть также хР = ф1(0, 22,..., х") = 0 (граничные точки переходят при диффеоморфизме в граничные). Остается заметить, что при с' < 0 должно быть также сч = ф1(х1, Р,..., с") < 0 Ь д 2 Ь (ведь ~ = ф(2) Е Н"), поэтому значение -хг(0, с2,..., х") не может быть отрицательным. По условию,у(2о) > 0 и раз ~~-(0, 22,..., гь) > О, то из д~ указанного равенства определителей следует, что якобиан отображения Ф~до я = 4(0, с,, х ) положителен.
~ 0тметим, что случай одномерной поверхности (к = 1) в утверждении 2 и следующем определении 3, очевидно, надо оговорить особо в соответствии с принятым по этому случаю в начале пункта соглашением. Определение 3. Если А(Я) = ((Н", ~р,, Н;)) 01(К~, ~рй, У )) — ориентирующий атлас стандартных локальных карт поверхности Я с краем дд, то А(дд) = ((К" 1, фон~ ня О дН;) ) есть ориентирующий атлас края. Задаваемая им ориентация края дЯ называется ориентацией крал, созласованной с ориентацией поверхности. Заканчивая рассмотрение ориентации края ориентируемой поверхности, сделаем два полезных замечания.
Замечание 1. На практике, как уже отмечалось выше, ориентацию лежащей в К" поверхности часто задают репером касательных к поверхности векторов, поэтому проверку согласованности ориентации поверхности и ее края в этом случае осуществляют следующим образом. Берут к-мерную плоскость ТЯ „касательную к гладкой поверхности Я в точке хо края дд. Поскольку локально структура поверхности Я около точки хо такая же, как и структура полупространства Н" около точки 0 Н дН", то, направив первый вектор ориентирующего 5 орторепера сь с2,..., 4ь е тБ, по нормали к дд и в сторону внешнюю по 13. КРАЙ ПОВЕРХНОСТИ И ЕГО ОРИЕНТАЦИЯ 219 отношению к локальной проекции о на То „получают в (к — 1)-мерной плоскости ТдБ „касательной к до в точке хо, репер е2,...,(ь, который и задает ориентацию Тдо „а значит, и до, согласованную с заданной репером (м ез,...,~ь ориентацией поверхности о'.
На рис. 77-80 на простых примерах показаны процесс и результат согласования ориентаций поверхности и ее края. Отметим, что описанная схема предполагает возможность переносить задающий ориентацию 5 репер в разные точки поверхности и ее края, который, как видно из примеров, может быть и несвязным. Замечание 2. В ориентированном пространстве К" рассмотрим полупространства Нь = Н" = (х Е 1кь ) х" < О) и Н~ = (х Е К" ~ х' > О) с индуцированной из К" ориентацией.
Гиперплоскость Г = = (х Е К" ~ х1 = О) является общим краем Ня и Н~. Легко видеть, что ориентации гиперплоскости Г, согласованные с ориентациями Н~ и Н, противоположны. Это относится и к случаю к = 1, в котором ь зто постулируется. Аналогично, если ориентированную к-мерную поверхность разрезать некоторой (к — 1)-мерной поверхностью (например, сферу †экватором), то на указанном разрезе возникнут две противоположные ориентации, индуцированные ориентациями примыкающих к разрезу частей исходной поверхности.
Этим наблюдением часто пользуются в теории поверхностных интегралов. Кроме того, им можно воспользоваться, чтобы следующим образом определить ориентируемость кусочно гладкой поверхности. Дадим прежде всего определение такой поверхности. Определение 4 (индуктивное определение кусочно гладкой поверхности). Точку условимся относить к нульмерным поверхностям любого класса гладкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
