1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Воспользовавшись теперь соотношением (2) и формулой замены переменных в кратном интеграле, можно написать, что 1'„(о) = с(ес С(1) с1с = ~ с1есх'(1)~ с1с = дх = $'(з), сэ 11 я Посмотрим, как выглядит формула (5) в уже знакомых нам частных случаях. При Ь = 1 область Р С К~ есть промежуток с некоторыми концами а, Ь (а < Ь) на прямой 1с', а о в этом случае — кривая в К". Формула (5), таким образом, при к = 1 превращается в формулу 14. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 225 т. е., как и следовало ожидать, мы пришли к объему области Я в К". Отметим, что при я = 2 и п = 3, т.е. когда Я вЂ” двумерная поверхность в Вз, часто вместо стандартных обозначений дп — (т'„г ) используют следующие: о.:= $2(Я), Е:= дп = (гь г1), г:= д12 = дг1 = = (гм гг), С:= дгг = (гг, гг), а вместо 4', г~ пишут соответственно и, с.
В этих обозначениях формула (5) приобретает вид и = ЕС вЂ” .Р'г ди сЬ. В В частности, если и = х, е = у, а поверхность Я вЂ” есть график гладкой вещественнозначной функции я = ~(х, у), определенной в области Х> С ж~, то, как легко подсчитать, о = 1+ У~)г+ У~)гД,,1„ В Вернемся теперь вновь к определению 1 и сделаем несколько полезных для дальнейшего замечаний.
Замечание 1. Определение 1 корректно лишь в том случае, когда стоящий в формуле (5) интеграл существует. Он заведомо существует, например, если  — измеримая по Жордану область, а г Е С (В, Р" ). 1П пью Замечание 2. Если поверхность Я, участвующую в определении 1, разбить на конечное число поверхностей Я,..., Я с кусочно гладкими краями, то этому разбиению Я будет отвечать такое же разбиение области .0 на соответствующие Я„..., Я, области Х2„..., В,„. Если поверхность Я имела площадь в смысле равенства (5), то при каждом значении а = 1,..., т определены величины Ъь(Я ) = бе$(г,,г )(Ф)й. В силу аддитивности интеграла отсюда следует, что р/с(~) —,~ ~'Й(~а).
а Мы установили таким образом, что площадь к-мерной поверхности аддитивна в том же смысле, что и обычный кратный интеграл. 226 ГЛ. ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Н" Замечание 3. Последнее замечание позволяет переходить, если нужно, к исчерпанию области Р, а значит, оно позволяет расширить смысл формулы (5), в которой теперь интеграл можно понимать и как несобственный. Замечание 4. Более существенно аддитивность площади можно использовать для определения площади произвольной (а не только заданной одной картой) гладкой или даже кусочно гладкой поверхности.
Определение 2. Пусть Я вЂ” произвольная кусочно гладкая /с-мерная поверхность в К". Если после удаления из Я конечного или счетного числа кусочно гладких поверхностей размерности не выше чем Й вЂ” 1 она распадается на конечное или счетное число гладких параметризуемых поверхностей ЯО..., Я,„,..., то полагаем ~'Й Ф) .—,~' 1/с Фа) а Аддитивность кратного интеграла позволяет проверить, что так определенная величина $~ь(Я) не зависит от способа описанного разбиения поверхности Я на гладкие куски Я,..., Я,..., каждый из которых лежит в районе действия какой-то локальной карты поверхности Я. Отметим также, что из определений гладкой и кусочно гладкой поверхностей легко следует, что описанное в определении 2 разбиение Я на гладкие параметризуемые куски Я„...,Я всегда возможно и даже с соблюдением естественного дополнительного требования локальной конечности разбиения.
Последнее означает, что любой компакт К С Я может иметь общие точки лишь с конечным числом поверхностей Я„..., Я,... Нагляднее это можно выразить иначе, сказав, что любая точка поверхности Я должна обладать окрестностью, которая пересекается не более чем с конечным числом множеств Я,..., Я Замечание 5. В основной формуле (5) участвует система криволинейных координат 21,...,1~. Естественно поэтому проверить, что определяемая равенством (5) величина Рь(Я) (а тем самым и величина Рь(5) из определения 2) инвариантна при диффеоморфном переходе Р Э (~2,..., Р) = 2 ~-+ 2 = (2',..., 8~) Е Р к новым криволинейным координатам г',..., 2ь, меняющимся в соответствующей области Р С )к". 24.
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 227 ~ Для проверки достаточно заметить, что матрицы С = (д; ) = —., —. и С = (д» ) = в соответствующих друг другу точках областей Р и Р связаны со- /дИ ~ отношением С = 1*С1, где 1 = ~~=) †матри Якоби отображедр ния Р Э 1»-+ 1 Е Р, а,7* — транспонированная по отношению к 1 матрица.
Таким образом, деФ Сф) = йе$ С(2)(де1 1)2(1), откуда следует, что Итак, мы дали инвариантное по отношению к выбору системы координат определение Й-мерного объема или площади Й-мерной кусочно гладкой поверхности. Замечание 6. Этому замечанию мы предпошлем Определение 3. Про множество Е, лежащее на й-мерной кусочно гладкой поверхности, будем говорить, что оно является множестеом й-мерной меры нуль или имеет площадь нуль в смысле Лебега, если при любом е ) 0 его можно покрыть конечной или счетной системой Я„...,Я„„... (возможно пересекающихся) поверхностей Я„С Я так, что ~ ЪЦЯ ) ( е. а Как видно, это дословное повторение определения множества меры нуль, лежащего в и".
Легко видеть, что в области Р параметров любой локальной карты у: Р— ь Я кусочно гладкой поверхности о такому множеству Е отвечает множество ~р '(Е) С Р С йь А-мерной меры нуль. Можно даже проверить, что это характеристическое свойство множеств Е С о площади нуль. На практике при вычислении площадей, а также вводимых ниже поверхностных интегралов полезно иметь в виду, что если кусочно гладкая поверхность о' получена из кусочно гладкой поверхности Я удалением из Я множества Е площади нуль, то площади поверхностей У и о одинаковы. 228 ГЛ. ХП.
ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В К" Польза этого замечания в том, что из кусочно гладкой поверхности часто легко так удалить множество площади нуль, что в результате получится гладкая поверхность Я, задаваемая всего лишь одной картой. По тогда площадь Я, а значит, и площадь Я можно вычислить прямо по формуле (5). Рассмотрим примеры. Пример 1. Отображение )0,2я[Э 1 ~+ (Всоз1,В81п$) Н И~ есть карта дуги У окружности лз + д~ = В~, получаемой удалением из этой окружности Я единственной точки Е = (Л,О). Поскольку Е— множество длины нуль на Я, можно писать, что 1'г(Я) = $'г(Я) = о Пример 2. В примере 4 81 было указано следующее параметрическое представление двумерного тора я в Кз: г (~р, ф) = ((Ь + а соз ф) соз гр, (Ь + а соз ф) 81п ~р, а гйп ф).
В области В = ((гр,гр) ! 0 < гр < 2я,0 < гР < 2я) отображение (гр,гЬ) + ~-+ г(гр, 4) диффеоморфно. Образ У области Х) при этом диффеоморфизме отличается от тора Я на множество Е, состоящее из координатной линии дг = 2я и линии ф = 2гг. Множество Е состоит, таким образом, из одной параллели и одного меридиана тора и, как легко видеть, имеет площадь нуль. Значит, площадь тора можно найти по формуле (5), исходя из приведенного параметрического представления, рассматриваемого в пределах области Р. Проведем необходимые выкладки: й„= ( — (Ь + а соз ф) ейп у, (Ь + а соз 4) соз у, О), гд — — ( — а 81п ф) соз гр, — а з1п ф з1п у, а соз гр), ды —— (т „г„) = (Ь+ а соя ф)з, д з = дз = (й, г,г,) = О, дзг = (йе, йе) = а, г1егс, = дм дгз = аз(5+асеев)з, дзг дзз Гв4.
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 229 Следовательно, 2т 2в 'тэ(Я) = т2(У) = с6р а(6+асояф)дф = 4хэа6. 0 0 0тметим в заключение, что укаэанным в определении 2 способом можно теперь вычислять также длины и площади кусочно гладких кривых и поверхностей. Задачи и упражнения 1.
а) Пусть Р и Р— две гиперплоскости евклидова пространства И", Р— подобласть Р а Б †ортогональн проекция Р на гиперплоскость Р. По кажите, что (и — 1)-мерные площади Р и Р связаны соотношением аф) = = о(Р) сова, где а — угол между гиперплоскостями Р, Ь) Учитывая результат а), укажите геометрический смысл формулы йт = 1+ (Д)з + ()в)з Нх Ну для элемента площади графика гладкой функции в = у(х, у) в трехмерном евклидовом пространстве. с) Покажите, что если поверхность Я в евклидовом пространстве Из задана в форме гладкой вектор-функции т = т(и, е), определенной в области С то площадь поверхности Я можно найти по формуле а(5) = О [[т„', т,')[оияи, и дт д~ где [т'„, т„') — векторное произведение векторов у-„-, ~-„-.
о) П оверьте, что если поверхность Я С Из задана уравнением Р(х, у,в) = р ь = О, а область П поверхности Я взаимно однозначно ортогонзльно проек ктируется на область Р плоскости (х,у),то имеет место формула сг(1)) = 0 [1™т — [с(хну. и 2. Найдите площадь сферического прямоугольника, образованного двумя з параллелями и двумя меридианами сферы Я С И . 3. а) Пусть (т,~р, 6) — цилиндрические координаты в Из. Гладкая кривая, расположенная в плоскости у = ре и заданная там уравнением т = т(в), где в — натуральный параметр, вращается вокруг оси 6. Покажите, что площадь поверхности, полученной вращением куска этой кривой, отвечающего отрезку [вм вз) изменения параметра в, может быть найдена по формуле тв и = 2х ~ т(в) дв. 230 ГЛ.
ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В К" Ь) График гладкой неотрицательной функции у = у(х), определенной на отрезке [а,6] С К„, вращается сначала вокруг оси Ох, затем вокруг оси Оу. В каждом из этих случаев напишите формулу для площади соответствующей поверхности вращения в виде интеграла по отрезку [а, 6[. 4. а) Центр шара радиуса 1 скользит вдоль гладкой плоской замкнутой кривой, имеющей длину Т,. Покажите, что площадь поверхности образованного при этом трубчатого тела равна 2я 1 Т,. Ь) Исходя из результата а), найдите площадь двумерного тора, полученного вращением окружности радиуса а вокруг оси, лежащей в плоскости окружности и удаленной от ее центра на расстояние Ь > а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
