1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Далее, в 1~~ имеет место равенство 1;1( .) 1, 2( .) р.з( .) ~Иг (х) (41 ~ с2) — с1 с1 с1 ~2 42 ~2 з з 1 2 61 + р.г( ) 61 6 + р-з( ) 6 61 Й0 Й4 46 откуда следует, что 2 (х) — 111( ) дхз /дхз+ $72(х),Ьз Лдх1+ $тз( )дх1 Л,Ь2 (12) Аналогично, из разложения по строке определителя и-го порядка для формы а1", получаем следующее разложение: а1" 1 = ~~> ( — 1)1+1$™(х)дх1Л...Л дх1Л... Лдх", (13) где знак стоит над дифференциалом, который следует опустить в указанном слагаемом. 3, Внешний дифференциал формы.
Все, что было до сих пор сказано о дифференциальных формах, пока в сущности относилось к каждой точке х области задания формы в отдельности и имело чисто алгебраический характер. Специфической для анализа операцией над дифференциальными формами является операция их (внешнего) дифференцирования. Условимся в дальнейшем под дифд1ереициальными формами нулевозо порядка в области Р С К" понимать функции 1: Р -+ К, определенные в этой области. 15. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 241 Определение 2. (Внешним) дифференциалом от 0-формы ( в случае, если ( — дифференцируемая функция, называется обычный дифференциал а( от этой функции. Если заданная в области Р с К" дифференциальная р-форма (р > 1) ш(х) = а„,„(х) Йх" Л...
Л йх'~ имеет дифференцируемые коэффициенты а;,;„(х), то ее (внешний) дифференциал есть форма йш(х) =да,, (х)ЛЙх' Л...ЛЙх'. Используя разложение (9) дифференциала функции и опираясь на вытекающую из соотношения (1) дистрибутивность внешнего произведения 1-форм, заключаем, что д (х) = ' '"(х) дх' Л дх" Л... Л дхьз = дх' = онь л,(х) дх' Л дх" Л... Л дх'", т.е.
(внешний) дифференциал от р-формы (р > О) всегда есть форма степени р+ 1. Отметим, что данное выше определение 1 дифференциальной р-формы в области Р С К", как теперь можно понять, слишком общо, поскольку никак не связывает формы ш(х), соответствующие различным точкам области Р. Реально в анализе используются лишь формы, коэффициенты а;... (х) координатного представления которых являются достаточно регулярными (чаще всего бесконечно дифференцируемыми) функциями в области Р. Порядок зладности формы ш в области Р С К" принято характеризовать низшим из порядков гладкости ее коэффициентов.
Совокупность всех форм степени р > 0 с коэффициентами класса С( ~(Р, К) чаще всего обозначают символом ~Р(Р, К) или Йг. Таким образом, определенная нами операция дифференцирования форм осуществляет отображение д: ~Р— + йг+'. Рассмотрим несколько полезных конкретных примеров. Пример 9. Для О-формы ш = ((х, у, е) — дифференцируемой функции, определенной в области Р С Кз, — получаем дУ д)' д,( Йы = — дх+ — ду+ — дж дх ду де 242 ГЛ. ХЦ. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Ж" Пример 10.
Пусть ы(х, у) = Р(х, у) дх + фх, у) ду — дифференциальная 1-форма в области Р пространства К2, наделенного координатами (х,у). Считая Р и Я дифференцируемыми в Р функциями, в соответствии с определением 2 получаем Ыы(х, у) = дР Л дх + дЯ Л ду = дР дР 1 /дЯ дЯ вЂ” дх+ — ду) Лдх+ ~ — ах+ — ду Лду = дх ду ) 1, дх ду дР дЯ /дЯ дР'1 = — ду Л Нх + — Нх Л ду = ( — — — ) (х, у) Йх Л ду. ду дх 1, дх ду) Пример 11.
Для 1-формы а~ = Рйх+ Яйу+ Вйх, заданной в области Р пространства Кз,получаем Йы = — — — пу Л ах + — — Йх Л Йх + — — — пх Л ау. Пример 12. Подсчет дифференциала 2-формы а~ = Р йу Л дг + Я с(х Л дх + В йх Л ду, где Р, Я,  — дифференцируемые в области Р с Кз функции, приводит к соотношению / дР дЯ дВ'1 йи= ~ — + — + — ) сЬЛИуЛсЬ. ~ дх ду дг) Если (х~, хз, хз) — декартовы координаты в евклидовом пространстве Кз, ах + 1(х), х н Р(х) = (Г",Гз,рз)(х), х + Ъ' = ($"', Ъ'2, Ъ'з)(х) — гладкие скалярное и векторные поля в области Р С Кз, то вместе с ними (особенно в физических задачах) часто рассматривают соответственно векторные поля ягаб 1 = ~ —, —, — ) — зрадиент скалярного поля 1', (14) / ду ду ду '1 ~,дх'' дхз' дхз) З 5.
НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 243 доз дрг др1 дрз доз дра'1 го1 г'— дхз д.з дхз дхг д.1 дхз,~ ротор векторного паля К (15) и скалярное поле др ' др'2 доз Жч Ъ' — — + — +— д д дхз дивергенция векторного поля Ъ'. (16) 0 градиенте скалярного поля мы в свое время уже говорили. Не останавливаясь пока на физическом содержании ротора и дивергенции векторного поля, отметим лишь связь этих классических операторов теории поля с операцией дифференцирования форм. В евклидовом ориентированном пространстве 1сз между векторными полями и один- и два-формами имеется взаимно однозначное соот- ветствие Заметим также, что любая 3-форма в области Р С Ф имеет вид р(х~, хз, хз ) дх' А дхз А дхз. учитывая эти обстоятельства, можно ввести следующие определения для ягай Г", гог Р, йч Ъ'.
Примеры 9, 11, 12 показывают, что при этом в декартовых координатах мы приходим к выписанным выше выражениям (14), (15), (16) для ягаг1 у, гоГ Р, йч Ъ'. Таким образом, перечисленные операторы теории поля можно рассматривать как конкретные проявления операции дифференцирования внешних форм, которая выполняется единообразно на формах любой степени. Подробнее о градиенте, роторе и дивергенции будет сказано в гл.
Х1У. 4. Перенос векторов и форм при отображениях, Посмотрим внимательнее на то, что происходит с функциями (О-формами) при отображении областей. г' е+ ыр~ — — (Г, ), Ъ'+> яр~ — — (Ъ', з ). У ~ '(=Л +д '(=Ф)= я +О:=6 ~У, Р «+ (оу «Ф Жор 1 = ы„~ г:= гогР, 2 ~l «+ Ыз «+ Дуз = м~ «+ р:= с1п Ъ'. (14') (15') (16') 244 ГЛ. ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В ~е Пусть у: У -+ Ъ вЂ” отображение области У С 1Рп в область Ъ' С С Й".
Под действием отображения у каждая точка 2 Н У переходит в определенную точку х = ~р(2) области Ъ'. Если на Ъ' определена функция 7", то благодаря отображению Р: У вЂ” ~ Ъ' на области У естественно возникает полученная из 7" функция ~р*~, которая определяется равенством (Р*У)(2):= П Р(~)) Таким образом, каждому гладкому отображению у: У -+ Ъ' соответствует отображение у*: йЯ(Ъ") — ~ й" (У), которое переносит заданные на Ъ" формы в область У.
Из соотношения (17), очевидно, следует, что Р'( ' + ") = Р*( ') + Р*( ") ~р*(Лю) = Л~о*а, если Л Н К. (18) (19) Вспомнив закон (ф о р)' = ф' о у' дифференцирования композиции отображений <р: У -+ Ъ', 4: Ъ' -+ И',из (17) заключаем дополнительно, что (фон)' = у*оф~ (20) т. е. чтобы найти значение у'7" в точке 2 Н У, надо отправить 2 в точку х = ~р(2) Н Ъ' и вычислить там значение функции 7. Таким образом, если при отображении ~р: У вЂ” ~ Ъ' точки области У переходят в точки области Ъ', то множество определенных на Ъ' функций под действием построенного соответствия 7' ~-+ у*)' отображается (в обратную сторону) в множество функций, определенных на У.
Иными словами, мы показали, что при отображении у: У -+ Ъ" естественно возникает отображение р*: йо(Ъ') -+ йс(У), которое преобразует заданные на Ъ' нуль-формы в нуль-формы, определенные на У. Рассмотрим теперь общий случай переноса форм любой степени.
Пусть ~о: У вЂ” > Ъ' — гладкое отображение области У С Я~™ в область Ъ' С Я", у'(2): ТЦ вЂ” + ТЪ' (0 — соответствующее у отображение касательных пространств, и пусть м — некоторая р-форма в области Ъ'. Тогда форме м можно сопоставить р-форму у*и в области У, которая в точке 2 Е У на наборе векторов т.„..., тр Н ТЦ определяется равен- ством 55. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 245 (естественный обратный ход: композиция отображений ф'1 йЯ(И') — > йЯ($'), 1Р'1 й" ($') -+ йе(У)). Посмотрим теперь, как практически осуществляется перенос форм.
дх' Я = —,(1)т~г, г' = 1,...,п дх' <1 —— —. (1) Т1~, (по у суммирование от 1 до пг). Таким образом, 1р*ш(1)(т1, т2):= 112(1д(1))(~1, (з) = 11х" А 11х'2(~1, (2) = дх11 Я д121 т1 дх'2 дг а~и ~11 ($2 ~11 ~12 дх11 Я д111 Т2 д,'г 1, тп тм 1 1 дх" дхгг Ябг=1 Т31 тгг 72 Т2 дх" дх" —.—.Юг' А М32(т, ) = д521 д$32 Ядг=1 Е Г дх'1 дх" дх" дх'г '1 — — — — — ~ йгг А 12112 (т1, тг) = ~аЛ д11 аа а~~ ~ 1<,1<12<т дх11 дхгг дггг дггг (1)1Н11 А 1цгг(т т ).
дхч дгг2 дх'2 дггг 1<11<12<т Пример 13. В области $' С 3" возьмем 2-форму 1д = 11х" А 11хгг. Пусть х' = хг(11,..., 1т), г = 1,..., о — координатная запись отображения р1 11' -+ $' области У С М™, в Ъ'. Мы хотим найти координатное представление формы 1р*ьг в 11'. Берем точку 1 Е У и векторы т1, т2 Е Т111. В пространстве ТЪ' 11) им отвечают векторы ф1 = 1д'(1)т1, с2 = р'(1)т2, координаты ф,...,41~), (~~1,..., ~2™) которых выражаются через координаты (т1,..., т1 ), (Т21,..., Тг™) векторов т1, тг с помощью матрицы Якоби по формулам 24б ГЛ. ХП.
ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В К" Следовательно, мы показали, что д(х" х") р'(11*" Л ~ " ) = ~ . ' . ) (1) с(1гг Л с(гбг. д(111 1Н) 1 <11 < г г < гп Если воспользоваться свойствами (18) и (19) операции переноса форм1) и повторить проведенную в последнем примере выкладку в общем виде, то получим следующее равенство: 91" ~ а,„„,,;,(х) с(хгг Л... Л с(х" 1(й «...гр(п а;„...,г„(х(1)) . ' ' Жгг Л... Л с(11р.
(21) 14, «....р< г<гг«...гря Заметим, что если в форме, стоящей здесь под знаком 9г*, формально сделать замену х = х(1), выразить дифференциалы 11х',..., с(х" через дифференциалы сМ,...,1Й™ и упростить полученное выражение, пользуясь свойствами внешнего произведения, то мы как раз и получим правую часть равенства (21). Действительно, для каждого фиксированного набора индексов 11~ ° ° ~ гр а„..;р(х) с(х" Л... Л с(х'Р = = а;„;р(х(1)) . с(1н Л...
Л . йгр дх" дх'р = а...,; (х(1)) —.... — с(1ц Л... Л с(1гР = = б - *' дал ' ' " ' д11. 1Я~<...<бр(пг Суммируя такие равенства по всем упорядоченным наборам 1 < 11 < « ... гр < и, получаем правую часть соотношения (21). 11Если (19) использовать поточечно,то видно,что 1р (о(т)м) = о(у(1))у ог. 25. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 247 Таким образом, мы доказали следующее важное в техническом отношении Утверждение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
