1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Определение интеграла от формы по ориентированной поверхности. Решение рассмотренных в п. 1 задач приводит к определению интеграла от Й-формы по ориентированной Й-мерной поверхности. Пусть сначала Я вЂ” гладкая Й-мерная поверхность в и", заданная одной стандартной картой 1о: 1 — ~ Я. Пусть на Я задана Й-форма ы. Интеграл от формы ы по параметризованной поверхности у: 1 -~ Я строится следующим образом. Берем разбиение Р Й-мерного стандартного промежутка 1 С К', индуцированное разбиениями (отрезков) проекций на координатные оси.
В каждом промежутке 11 разбиения Р берем вершину йь имеющую минимальные значения координат, и связываем с ней Й векторов тм..., тю идущих в направлении координатных осей в Й соседних с 11 вершин промежутка 1; (см. рис. 84). Находим векторы г,1 = = у'(Ц)т1,...,(л = ~р'Ять касательного пространства ТБ,, 10), вычисляем ы(х1)(г1,..., Йь) =: (~р*а )(Ц)(т1,..., ть), составляем интегральную сумму 1,ы(х,)(р1,..., (ь) и переходим к пределу, когда параметр Л(Р) разбиения стремится к нулю. Таким образом, мы принимаем Определение 1 (иктезрала от Й-формы ю по заданной картой 1о: 1 — + Я еладкой Й-мерной поаерхносгаи).
1 а:= 1пп ~~~ ш(х1)(~1,...,(ь) = 1пп ~~~ (~р*ю)(21)(т1,...,ть). (7) Л1Р) — ~0 . Л1Р) — ~0 Я 1 1 2 1. ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ 261 Если применить зто определение к к-форме Я) сй1 Л... Л ог" на 1 (когда у — тождественное отображение), то, очевидно, получим, что 1(1) М~ Л... Лй~ = 1(1)Й1~...~Н~. (8) Таким образом, из (7) следует, что (9) я=~~у) а последний интеграл, как видно из равенства (8), сводится к обычному кратному интегралу от соответствующей форме у"ы функции 1 на промежутке 1. Важнейшие соотношения (8) и (9) мы вывели из определения 1, но они сами могли бы быть приняты в качестве исходных определений.
В частности, если Р— произвольная область в К" (не обязательно промежуток), то, чтобы не повторять процедуру суммирования, положим (8') а для гладкой поверхности, заданной в виде у: Р -+ Я и Й-формы ю на ней, положим (9') я=~(в) в Если Я вЂ произвольн кусочно гладкая я-мерная поверхность, а ы †определенн на гладких кусках Я Й-форма, то, представив Я как объединение ( ) 31 гладких параметризованных поверхностей, пересекающихся, быть может, лишь по множествам меньшей размерности, полагаем (10) 262 ГЛ. ХП1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В отсутствие содержательной физической или иной решаемой соотношением (10) задачи, такое определение вызывает вопрос о независимости полученной величины интеграла от разбиения Ц Яс и от выбора параметризации отдельных его кусков.
Проверим корректность данного определения. ~ Рассмотрим сначала простейший случай, когда 5 есть область Р в К", а сд: Рс — 1 Р, — диффеоморфизм области Рс С К" на область Р . В Р = Я 1с-форма ю имеет вид 1(х)с1х1 Л ... Л с1х~. Тогда, с одной стороны, в силу (8) ~(х) дх' Л... Л с1хс' = ~(х) с1х'... с1х". С другой стороны, по (9') и (8') Но если с1е1 у'(1) > 0 в Рм то по теореме о замене переменных в кратном интеграле имеет место равенство В.=С (11с) Значит, считал, что на Я = Р имелись координаты хс,...,х~ и криволинейные координаты 11,..., 1~ одного класса ориентации, мьс показали, что величина интеграла 1 ш не зависит от того, в какой из этих Я двух систем координат проводить его вычисление.
Отметим, что если бы криволинейные координаты 11,...,1" задавали на Я другую ориентацию, т. е. при с1еФ ср'(1) ( О, очевидно, правая и левая части последнего равенства отличались бы знаком. Таким образом, о корректности определения интеграла можно говорить только в случае ориентированной поверхности интегрирования. Пусть теперь х : Р, -+ Я и рс. Рс -+ Я вЂ д параметризации одной и той же гладкой 1с-мерной поверхности Я и ю — 1с-форма на Я.
Сравним интегралы уэльс и у пс 1 Ь ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ 263 Поскольку ~рс = ~р,. о (у,.1 о ~рс) = у,. о у, где 1о = ~о " о ~рс. Р, -+ Р— диффеоморфизм Р~ на Р, то 1о~ю = ~р'(~р*м) (см. равенство (20) 25 гл. Х11). Значит, форму ~о,*ю в Р~ можно получить заменой х = у(2) переменных в форме 1о*ы А как мы только что проверили, в зтом случае интегралы (11) совпадают, если с1е$ ~р'(2) > 0 и отличаются знаком, если с)еФ у'(2) ( О. Итак, показано, что если 1о~. Р~ -+ Я, ~р~: .Р— ~ Я вЂ” параметризации одного класса ориентации поверхности Я, то интегралы (11) совпадают. Независимость интеграла от выбора любой из согласованных систем криволинейных координат на поверхности Я проверена.
Независимость интеграла (10) по ориентированной кусочно гладкой поверхности Я от способа ее разбиения 0 Я; на гладкие куски вытекает из аддитивности обычного кратного интеграла (достаточно рассмотреть более мелкое разбиение, получающееся наложением двух разбиений и проверить, что значение интеграла по нему совпадает со значением на каждом из двух исходных разбиений). > На основе проведенных рассмотрений теперь разумно принять следующую цепочку формальных определений, соответствующих изложенной в определении 1 конструкции интеграла от формы. Определение 1' (интеерала от формы по ориентированной поверхности Я С К" ). а) Если в области Р С К" задана форма )'(х) ах1 А... А йх", то Ь) Если Я С К" — гладкая й-мерная ориентированная поверхность и 1о: Р -+ о — ее параметризация, а ю — й-форма на о, то ы:=хфы 6 В причем знак + берется, если параметризация у согласуется с заданной ориентацией о, а знак — берется в противоположном случае.
с) Если Я вЂ” кусочно гладкая й-мерная ориентированная поверхность в К", м — й-форма на Я (определенная там, где Я имеет касательную 264 ГЛ. ХП1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ плоскость),то где Я1,..., Я,... — разложение Я на гладкие параметризуемые к-мерные куски, пересекающиеся разве лишь по кусочно гладким поверхностям меньшей размерности. Мы видим, в частности, что изменение ориентации поверхности влечет за собой изменение знака интеграла. Задачи и упражнения 1. а) Пусть х, у — декартовы координаты на плоскости И . Укажите, для г какого векторного поля форма ю = — — г-у — г Нх + -г-х — 2 Ну является его форх -~- у х -~- у мой работы. Ь) Найдите интеграл от указанной в а) формы ы по следующим путям у;: [О, х) В 1 — '+ (сояз, я1п1) е й~; [О, т[ В х — '+ (сояз, — я1п х) б й~; путь тз состоит в движении по отрезкам, соединяющим последовательно точки (1,0), (1, 1), ( — 1, 1), ( — 1,0); путь 14 состоит в движении по отрезкам, соединяющим последовательно точки (1, О), (1, — 1), ( — 1, — 1), ( — 1, О).
2. Пусть 1 — гладкая функция в области Р С И", а у — гладкий путь в Р с началом ря б Р и концом р1 Е Р. Найдите интеграл от формы ю = ф по пути у. 3. а) Найдите интеграл от формы щ = Ну Л дх+ дх Л Нх по границе стандартного единичного куба в Из, ориентированной внешней нормалью. Ь) Укажите поле скоростей, для которого рассмотренная в а) форма ы является его формой потока. 4.
а) Пусть х, у, х — декартовы координаты в И". Укажите поле скоростей, для которого форма х Ну Л <)з + у ~Ь Л Нх + х Нх Л Ну ( г+уг+ г)з1г была бы его формой потока. Ь) Найдитеинтегралот указаннойв а) формыюпосфере х +у +г = В, г г г г ориентированной внешней нормалью. с) Покажите,чтопотокполЯ г *' "г з г чеРезсфеРУ(х — 2) +У +хг = (х -~-у -~-х ) = 1 равен нулю. о) Проверьте, что поток указанного в с) поля через тор, параметрические уравнения которого даны в примере 4 2 1 гл.
ХП, также равен нулю. 5 Ь ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ 265 5. Известно, что между давлением Р, объемом Ъ' и температурой Т данного количества вещества имеется связь 1(Р, Ъ", Т) = О, называемая в термодинамике ураенением состояния. Например, для одного моля идеального газа уравнение состояния выражается формулой Клапейрона -Т вЂ” Н = О, РГ где Н вЂ универсальн газовая постоянная.
Поскольку величины Р, Ъ', Т связаны уравнением состояния, зная любую пару из них, в принципе можно определить и остающуюся величину. Значит, состояние любой системы можно характеризовать, например, точками (Ъ; Р) плоскости йэ с координатами Ъ', Р, тогда эволюции состояния системы как функции времени 2 будет отвечать некоторый путь у в этой плоскости. Пусть газ помещен в цилиндр, в котором без трения может перемещаться поршень.
Меняя положение поршня, за счет механической работы мы можем изменить состояние газа, заключенного между поршнем и стенками цилиндра. Наоборот, меняя состояние газа (например, подогревая его), можно заставить газ совершать механическую работу (например, за счет расширения поднимать груз). В этой задаче и следующих задачах 6, 7, 8 все процессы считаются проходящими столь медленно, что в каждый конкретный момент давление и температура успевают усредниться во всем объеме вещества и, таким образом, в каждый момент времени система удовлетворяет уравнению состояния. Это так называемые нваэистатические процессы. а) Пусть у — путь в плоскости Ъ', Р, отвечающий квазистатическому переходу заключенного между стенками цилиндра и поршнем газа из состояния Ъю Ро в состояние Ъм Р~.
Покажите, что величина А совершаемой на этом пути газом механической работы определяется следующим криволинейным интегралом: А = / Р йЪ'. Ь) Найдите механическую работу, совершаемую одним молем идеального газа при переходе из состояния Ъо, Ро в состояние Ъь Р, по каждому из следующих путей (рис. 85): "~ос~ — изобара 01, (Р = Ро), затем изохора ЬХ (Ъ' = Ъ1); нэпу — изохора ОК (Ъ' = Ъо); затем изобара К1 (Р = Р1); усц — изотерма Т = сопяе (в предположении, что РоЪо = Р1Ъ1). с) Покажите, что полученная в а) формула для механической работы, совершаемой заключенным между поршнем и стенками цилиндра газом, на самом деле является общей, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
