1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 53
Текст из файла (страница 53)
и) Найдите гравитационное поле однородной материальной сферы. (Укажите поле как вне шара, ограниченного сферой, так и в самом этом шаре.) е) Найдите гравитационное поле, создаваемое в пространстве однородным материальным шаром (рассмотрите как внешние, так и внутренние точки шара). 1) Считая Землю жидким шаром, найдите давление в нем как функцию расстояния от центра. (Радиус Земли 6400 км, средняя плотность 6 г/смз.) 280 ГЛ. ХП1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 5. Пусть 71 и 72 — два замкнутых проводника, по которым текут токи У1 и У2 соответственно. Пусть дзг и дз2 — векторные элементы этих проводников, отвечающие направлениям тока в них, вектор Вгз направлен от дз1 к дз2, а В21 = В12. По закону Био и Сезара»1 сила дЕщ, испытываемая вторым элементом со стороны первого, равна дЕ12 =, [дз2[дзг, Вгэ]], У1 д2 со] 12] где квадратными скобками обозначено векторное произведение векторов, а со — размерная постоянная.
а) Покажите, что на уровне искусственной дифференциальной формулы Био и Савара может случиться, что дЕ12 14 — дЕ21, т.е. «действие не равно противодействию». Ь) Напишите (интегральные) формулы для полных сил Е12 и Е21 взаимодействия проводников 71, 72 и убедитесь, что Ещ = — Е21. 6. Формула ноплощади (9»ормула Кронрода — Федерера). Пусть М™ и А1" — гладкие поверхности размерностей т и и соответственно, лежащие в евклидовом пространстве высокой размерности (М, А1" могут быть и абстрактными римановыми многообразиями, но сейчас это несущественно). Допустим, что т > и. Пусть У1 М -+ А1" — гладкое отображение.
При т ) п отображение дУ(х): Т,М вЂ” > ТУ<,1Х" имеет непустое ядро 1«егдУ(х). Обозначим через Т;1М ортогональное дополнение к 1«егдУ(х), а через,У(у,х) обозначим якобиан отображения д((х)]т» м . Т, М -+ ТУ«,1У»У™. Если т = и, то 3(У,х) совпадает с обычным якобианом. Пусть доз(р) — обозначение для формы объема на з-мерной поверхности в точке р. Будем считать, что ио(Е) = сахд Е, где и»(Е) — й-объем множества Е. а) Используя, если нужно, теорему Фубини и теорему о ранге (о локальном каноническом виде гладкого отображения), докажите следующую формулу Кронрода — Федерера: ),У(У,х)до (х) = у и „(У '(у)) до„(у). Я»» 12« Ь) Покажите, что если А — измеримое подмножество в М"', то ,У(У,х)до (х) = / о „(АО У '(у)) до„(у). / Это общая формула Кронрода-Федерера.
с) Докажите следующее усиление теоремы Сарда (утверждающей в ее простейшем варианте, что образ множества критических точек гладкого отображения имеет меру нуль). (См. гл, Х1, 2 5, задача 8.) ПБио (1774 — 1862), Савар (1791 — 1841) — французские физики. 13. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА 281 Пусть, как и прежде, ~: М -+ Х" — гладкое отображение, а К вЂ” компакт в м™, на котором гапяй1(х) < и при всех х е к.
Тогда ) о „(КП ( '(у)) ао„(у) = О. Получите отсюда также сформулированный выше простейший вариант теоремы Сарда. о) Проверьте, что если (: Р— 1 К и и: Р -+ К вЂ” гладкие функции в регулярной области Р с К", причем и не имеет критических точек в Р, то о и к-Нь) е) Пусть Ъ1(1) — мера (объем) можества (х Е Р / 1(х) > 1) и пусть функция 1 неотрицательна и ограничена в области Р. Покажите, что ) У во = — ) ЫЪ~(1) = ) Ъ~(1)й. о и о 1) Пусть ~р Е СОО(К, К ь) и ~р(0) = О, а 1 Е СО1(Р, К) и Ъ~Л(1) — мера можества (х Е Р ! (Дх)( > 1).
Проверьте, что ) 1о о Яо = ) 1о'(1)Ъ)Л(1)й. о о 8 3. Основные интегральные формулы анализа Важнейшей формулой анализа является уже известнал нам формула Ньютона — Лейбница. В этом параграфе будут получены формулы Грина, Гаусса — Остроградского и Стокса, которые, с одной стороны, являются развитием формулы Ньютона — Лейбница, а с другой стороны, в совокупности, образуют наиболее используемую часть аппарата интегрального исчисления. В первых трех пунктах параграфа, не стремясь к общности формулировок, на наглядном материале мы получим три классические интегральные формулы анализа.
Они будут сведены в одну общую формулу Стокса в четвертом пункте, который формально можно читать независимо от первых трех. 1. Формула 11эина. Формула Грина1) — это следующее э'тверждение 1. Пусть К2 — плоскость с фиксированной в ней системой координат х, у; Р— компактнал область в этой плвско- ПДж. Грин (1793 — 1841) — английский математик и математический физик. Могила Ньютона в Вестминстерском аббатстве обрамлена пятью меньшими плитами с блистательными именами; Фарадей, Томсон (лорд Кельвин), Грин, Максвелл, Дирак. 282 ГЛ.
ХП1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ сти, ограниченная кусочно гладкими кривыми; Р, Я вЂ” у7ункции, глад- кие в замкнутой области .О. Тогда имеет место соотношение — — — дхду = Рдх+ Яду, дГз в котором справа стоит интегра по границе дУ области Р, ориентированной согласованно с ориентацией самой области Р. Рассмотрим сначала простейший вариант формулы (1), когда У есть квадрат 1 = ((х,у) Е К2 ] 0 < х < 1, 0 < у < 1), а Я = 0 в 1. Тогда формула Грина сводится к равенству — дхду = — Рдх, (2) 1 д1 которое мы и докажем. < Сводя двойной интеграл к повторному и применяя формулу Ньютона — Лейбница, получаем 1 1 — дхду = дх — ду = 1 О о 1 1 1 (Р(х, 1) — Р(х, 0)) дх = — Р(х, 0) дх + Р(х, 1) дх, о о 0 Доказательство закончено.
Остальное — дело определений и интерпретации уже полученного соотношения. Дело в том, что разность двух последних интегралов есть как раз то, что стоит в правой части равенства (2). Действительно, кусочно гладкая кривая д1 распадается на четыре куска (рис.
87). Их можно рассматривать как параметризованные кривые Рнс, 87. 71. [0,1] — + К2, .12 . [О, 1] — + К , уз. [0,1] -+ К2, 'у4 . '[О, 1] — + К где х ~-~ — '+ (х, 0), где у ~ — 4 (1,у), где х ~ — 4 (х,1), где у ~ — + (О,у). 283 13. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФО РМУЛЫ АНАЛИЗА от 1- о мы ш = Р ох по кривой По определению интеграла от -формы ш = (3) дЯ дР г (2), (3) связана с несимметричностью х и у: ведь х и венствах 112 и в 1 задана ориентация. дочены, и этим в и Р (х у)дх:= "р1(Р(х,у)41х):= Р(х,О)4(х, (О,Ц 0 1 Р(х, у) ох:= -~2(Р(х, у) ох):= Оду = О, [О, 1] 0 1 Р(х у) ох:= Тз(Р(х, у) г(х):= Р(х, 1.) «х, (О,Ц 1 х 7 х ~ ~ ~ ~ 4 ~ Р(х, у) йх:= "~~ (Р(х, у) йх):= 0 ду = 0 (О,Ц ил казанного в утверждении 1 выбора ориентации и, кроме того, в силу указанного в ут 3 и ~4, очевидно, том ориентации кривых у1 .12, уз границы области, с учетом ы= м+ ы+ м+ ш= ы+ ш — ы — ш, дя 'и и 74 ая с п отивоположной задаваемой отоб а- где —.д — есть кривая у,, взятая с проти жением ч4 ориентацией.
Таким образом, равенств ( ) р о (2) п оверено. ~ь Аналогично проверяется,что — 1~ 1У, ! д1 Складывая равенства (2) и (3), получаем формулу Грина 284 ГЛ. ХП1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ На языке форм доказанное соотношение (1') можно переписать в виде (1а) а1 где ш — произвольная гладкая 1-форма на 1.
Справа здесь стоит интеграл от ограничения формы ш на границу «1«квадрата 1. Проведенное доказательство соотношения (2) допускает очевидное обобщение: если Ря — не квадрат, а «криволинейный четырехугольник», боковые стороны которого — вертикальные отрезки (быть может, даже вырождающиеся в точку), а две другие стороны — графики кусочно гладких функций ~р1(х) < уэ(х) над отрезком (а, 6) оси Ох, то (2') «(х «(у = — Р «(х. до» Аналогично, если имеется такой же «четырехугольник» Р по отношению к оси Оу, т. е.
с двумя горизонтальными сторонами, то для него справедливо равенство ап. Предположим теперь, что область Р можно разрезать на конечное число областей типа Ря (рис. 88). Тогда для этой области Р тоже верна формула вида (2'). < В самом деле, двойной интеграл по области Р в силу его аддитивности есть сумма интеграюв по кускам типа Рю на которые разрезана область Р. Для каждого такого куска справедлива формула (2'), т.е. двойной интеграл по нему равен интегралу от формы Р «1х по ориентированной границе этого куска. Но соседние куски на общей части их границ индуцируют противоположные ориентации, поэтому при сложении интегралов по границам всех кусков в результате взаимных уничтожений, очевидно, останется только интеграл по границе дР самой области Р. ~ Рис.
88 83. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА 285 Аналогично, если область П допускает разбиение на области типа Х1, то для Х1 справедливо равенство типа равенства (3'). Области, которые можно разрезать как на куски вида В, так и на куски вида .0ю условимся пока называть простыми областями. На сзмом-то деле это достаточно богатый для всех практических целей класс областей. Записав для простой области оба соотношения (2'), (3'), после их сложения получим формулу (1).
Итак, для простых областей формула Грина доказана. Мы не будем здесь заниматься дальнейшими ее уточнениями (см. по этому поводу задачу 2), а продемонстрируем лучше другой весьма плодотворный путь рассуждений, по которому можно было бы пойти, установив равенства (1'), (1"). Пусть область С получена гладким отображением у: 1 -+ С квадрата Х. Если ы — гладкая 1-форма на С, то (4) дю:= ~д дш= бц) ы= ф ш=: м. с г ! дг дС Восклицательным знаком здесь отмечено уже доказанное нами равенство (см. (1")); крайние равенства — определения или их прямые следствия; оставшееся второе слева равенство связано с независимостью внешнего дифференцирования от системы координат.
Значит, для области С тоже справедлива формула Грина. Наконец, если какую-то ориентированную область У удается разрезать на конечное число областей типа области С, то из уже описанных выше соображений о взаимном уничтожении интегралов по тем частям границ областей С„которые лежат внутри У, следует, что (5) т.е. для области У формула Грина тоже имеет место.
Можно показать, что любая область с кусочно гладкой границей попадает в описанный класс областей, но мы не будем этого делать, поскольку позже (гл. ХЪ') будет описан полезный технический прием, который позволяет избежать подобных геометрических затруднений, заменяя их сравнительно просто решаемым аналитическим вопросом. 286 ГЛ. ХП1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Рассмотрим некоторые примеры использования формулы Грина. Пример 1. Положим в (1) Р = — у, Я = х. Тогда получим, что — удх+ хну = 2с1хду = 2п(В), др где п(В) — площадь области Р. Используя формулу Грина, можно, таким образом, получить следующие, уже встречавшиеся нам выражения для площади области на плоскости через криволинейные интегралы по ориентированной границе этой области: 1 п(Р) = — ( — удх+хду = — удх = хну.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
