1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 54
Текст из файла (страница 54)
2/ дР д11 В частости, отсюда следует, что работа А = ) Р Л~, которую тепло- 7 вая машина совершает при изменении состояния ее рабочего вещества по замкнутому циклу .1, равна площади той области плоскости Р, И состояний, которая ограничена кривой 1(см. задачу 5 8 1). Пример 2. Пусть В = ((х,у) ~ К~ ~ ха+у~ < Ц вЂ” замкнутый круг на плоскости. Покажем, что любое гладкое отображение 1: В -+ В замкнутого круга в себя имеет по крайней мере одну неподвижную точку (т.е. такую точку р Е В, что 1(р) = р). ~ Предположим, что неподвижных точек у отображения 1 нет. Тогда для любой точки р е В однозначно определены луч с вершиной 1(р), проходящий через точку р, и точка х(р) б дВ пересечения этого луча с ограничивающей круг В окружностью.
Таким образом, возникло бы отображение ~р: В -+ дВ, которое, как легко видеть, тождественно на границе дВ круга, а в целом той же гладкости, что и исходное отображение 1. Покажем, что такого отображения х не существует. В области К~ '1 О (плоскость с выброшенным началом координат) у Р у ° 11 Фж у = ~ф+-.1а.
н х +д посредственно проверяется, что йд = О. Поскольку дВ Е Кз '1 О, то при наличии отображения у;  — 1 дВ можно было бы получить форму х*ш на В, причем дх'а~ = у'йд = ~р'О = О. Значит, по формуле Грина ~р*ш = сур*ю = О. дВ 13. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА 287 Но ограничение уз на дВ есть тождественное отображение, поэтому дВ Последний же интеграл, как было проверено в примере 1 81, отличен от нуля. Полученное противоречие завершает доказательство сформулированного утверждения.
> Это утверждение справедливо, конечно, и для шара В любой размерности (см. пример 5). Оно справедливо также не только для гладких, но и для любых непрерывных отображений у: В -+ В. В этом общем виде оно называется теоремой Брауэра') о неподвижной точке. 2. <Формула Гаусса — Остроградского. Подобно тому, как формула Грина связывает интеграл по границе плоской области с соответствующим интегралом по самой области, приводимая ниже формула Гаусса — Остроградского связывает интеграл по границе пространственной области с интегралом по самой области. л'тверждеиие 2. Пусть Гхз — пространство с фиксированной в нем системой координат а, у, г; 0 — компактная область в )кг, ограниченная кусочно гладкими поверхносгпями; Р, Я,  — 4ункции, гладкие в замкнутой области Р. Тогда имеет место соотношение 16) Вывод формулы (6) Гаусса- Остроградского можно провести, шаг за шагом повторив с очевидными изменениями вывод формулы Грина.
Чтобы это повторение не было дословным, рассмотрим сразу не кубик в жз, а область В„изображенную на рис. 89, которая ограничена ПЛ. Э. Я. Брауэр (1881 — 1966) — изнестный голландский математик. С его именем связан ряд принципиальных теорем топологии, а также анализ оснований математики, приведший к философско-математическим концепциям, называемым интуиционнзмом. 288 ГЛ. ХПЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Рис.
89. боковой цилиндрическои поверхностью Я р у Я с об аз ющей, параллельной Я Я вЂ” г афиками кусочно гладких фуноси Ох, и двумя шапочками Яы 2 — граф С 2 П овекций )Ры ())2, определенных в нных в одной и той же области С ) . К оу. Проверим, что для о аст бл сти Р выполнено соотношение (7) )(х ду)Ь = Вс(х Л с(у. в„ дп, у 2 (х,у) — охоусЬ = с(хс(у — ):Ь = О Ф) (х,у) = |(х)*,ю~)(,ю))-х)*,хи ) х))) ' а= — В(х, у, )р1(х, у)) пхну+ Я(х, у, у)2(х, у)) ))(хну. О С Поверхности и 2 им Я, Я еют соответственно следующее параметрическое представление: Я1 ) (х, у) ) — + (х, у, )р1(х, у) ), 52: (х, у) ) — + (х, у, у)2(х, у) ). 1 3.
ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА 289 Криволинейные координаты (х, у) на Яз задают ориентацию, противоположную той, которая индуцируется ориентацией области Р„а на Я2 — такую же, как и та, которая индуцируется ориентацией Р,. Значит, если Яз и 52 считать частями ориентированной указанным в утверждении 2 образом границы области Р„то последние два интеграла (с учетом их знаков) можно интерпретировать соответственно как интегралы по Яз и Я2 от формы Яс1х А ду. Цилиндрическая поверхность Я имеет параметрическое представление вида (2, л) + (х(2), у(2), л), поэтому ограничение формы Вдх А ду на Я равно нулю, как, следовательно, и интеграл от этой формы по Я.
Таким образом, для области Р, соотношение (7) действительно имеет место. К Если ориентированную область Р можно разрезать на конечное число областей типа области Р„то, поскольку на поверхности, по которым примыкают друг к другу две такие области, индуцируются противоположные ориентации, при сложении интегралов по границам произойдут взаимные уничтожения, в результате которых останется лишь интеграл по ориентированной границе дР исходной области Р. Следовательно, формула (7) верна и для областей, допускающих указанное разбиение на области типа области Р,. Аналогично можно ввести области Р„и Р„цилиндрические поверхности которых имеют образующие, параллельные осям Оу и Ох соответственно, и показать, что если некоторую область Р можно разрезать на области вида Рл или Р, то для Р соответственно имеют место соотношения (8) — Йхдудг = Рду А сЬ.
(9) Т> дГз Итак, если Р— простая область, т.е, область, допускающая каждое из трех указанных выше разбиений на области типа Р, Р„, Р„ то, складывая равенства (7), (8), (9), получаем для Р равенство (6). В силу уже указанных при выводе формулы Грина причин, мы не будем сейчас заниматься описанием условий простоты области и дальнейшим уточнением доказанного (см, по этому поводу задачу 8 или пример 12 к 85 гл. ХЧ11). ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 290 ГЛ, ХП1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И П ф рм в бескоординатном виде форо пако, что на языке ч о Отметим, од записать следующим образом: мулу Гаусса-Остроградского можно записать (6') ди 2-фо ма в области У. ля к бика1 = 1 = ((х,у,х Е ( 1 о мула (6'), как было показано, в странение на олее б общие классы областей, конечн, помощью стандартных выкладо хамеде.
Вычислим результирующую силу да- П имер 3. Закон Архиме а. о н женное в нее тело . ек Р. Декартовы вления однородн о ной жидкости на погру б плоскость х, у совпадал в жз выберем так, что ы пло координаты х, у, г в в сторону выхода из ь жи кости, а ось г направим в ла с поверхностью жидко и Я тела й, находящейся ент до площади поверхности тел жидкости. На элемент йт г е — плотность жидейств ет сила давления рдгв о, где рна глубине г, деиствуе — ничная внешняя нормаль е силы тяжести, а и — единич кости, д — ускорение с Йт точке поверхности. в соответствующей элементу о точк к поверхности Я в соо ющая сила выражается ся интегралом Значит, искомая результиру 1с = рдгп сСо. Я ели и = е сод сс + ецсоессл + е,совсс„то пдо = е Йу д ЛсЬ+ таким образом, что Остроградского, находим,так — д ЛсЬ+е рд зсЬЛдх+е рд лссх Лс1у = Р=ерд л у 5 Я = е рд ОдхйусЬ+ е, рд ОйхйусЬ+ В в ссх с1у сЬ = рдЪ'е„ + е,рд в Р = Ъ" — вес жидкости, вытесненной $' — объем тела В, а значит, = рд телом.
Мы пришли к закону Архимеда: 13. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА 291 Пример 4. Используя формулу (б) Гаусса — Остроградского, можно дать следующие формулы для объема Ъ'(Р) тела Р, ограниченного поверхностью дР: 1 ГГ Ъ(Р) = — Д хйуЛаг+удгЛдх+гахЛау зД дО хду Л дг = удг Л дх = гдх Лбу. д11 3. Формула Стокса в жз 'Утверждение 3.
Пусть Я вЂ” ориентированная кусочно гладкая компактная двумерная поверхность с краем дЯ, лежащая в области С С жз, в которой задана гладкая 1-форма ш = Рдх + Яау + Вдг. Тогда имеет место соотношение (10) где ориентация края дЯ берется согласованной с ориентацией поверхности Я. В иной записи зто означает, что (10') г ав ~ Если С вЂ стандартнаяпараметризованнаяповерхнос у: 1 -+ С в Из, где 1 †квадр в ж2, то для С соотношение (10) вытекает из равенств (4), с учетом доказанной для'квадрата и используемой в них формулы Грина. Если ориентируемую поверхность Я можно разрезать на простейшие поверхности указанного вида, то для такой поверхности соотношение (10) тоже справедливо, что следует из равенств (5) с заменой в нихРнаЯ.
> Как и в предыдущих случаях, мы не доказываем здесь, что, например, кусочно гладкая поверхность допускает указанное разбиение. 292 ГЛ. ХП1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Покажем, как выглядело бы приведенное доказательство формулы (10) в координатной записи. Чтобы избежать уж слишком громоздких выражений, мы распишем только первую и основную из двух его фраз, да и то с некоторыми упрощениями. А именно, введем обозначения х', х2, хз для координат точки х Е Кз и проверим только, что 7 т) Р(х) дх — — дх А дх + — дх А дх, ~~ аР,, аР П а* Д 3 а г 12 Рис. 90 поскольку остальные два слагаемых левой части формулы (10) можно исследовать аналогично.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
