1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Количество тепла, которым рабочее тело (например, гэз) обменивается с внешней средой, и температура, при которой происходит теплообмен, связаны фундаментальным неравенством Клауэиуса )'«7 < О. Здесь и†б«7 форма теплообмена, о которой говорилось в задаче 6. а) Покажите, что для цикла Карно (см. задачу 7) неравенство Клаузиуса обращается в равенство. Ь) Покажите, что если рабочий цикл ч может протекать и в обратном направлении, то для него неравенство Клаузиуса обращается в равенство.
с) Пусть у» и уэ — те участки пути Ъ на которых рабочее тело тепловой машины соответственно получает тепло извне и отдает его в окружающую среду. Пусть Т, †максимальн температура рабочего тела на участке уь а Тэ — (его) минимальная температура на участке уэ цикла у. Наконец, пусть Я» — полученное на участке у» тепло, а Яз — тепло отданное на участке ую Исходя из неравенства Клаузиуса, покажите, что ~з < 7е.
Т 1 1 д) Получите оценку у < — ь7 э коэффициента полезного действия (см. задачу 7) любой тепловой машины. Это — вторал теорема Карно, (Оцените заодно к. п. д. паровой машины, в которой максимальная температура пара не превышает 150'С т.е. Т> — — 423 К, а температура холодильника — окружающей среды — порядка 20'С, т. е. Тэ — — 291 К). е) Сравните результаты задач 7 Ь) и 8 «1) и проверьте, что тепловая машина, работающая по циклу Карно, имеет наибольший (в пределах возможного при заданных значениях Т» и Тэ) коэффициент полезного действия. 9.
Дифференциальное уравнение ~~~'- = 4Ч называют уравнением с раэде- УФ) ляющимися переменными. Обычно его переписывают в виде д(у) ду = 1(х) дх, в котором «переменные разделены», и затем «решают>, приравнивая перво- образные ) д(у) ду = ) 7" (х) дх. Используя язык дифференциальных форм, дайте теперь развернутую математическую аргументацию этому алгоритму. 8 2. Форма объема, интегралы первого и второго рода 1. Масса материальной поверхности.
Пусть Я вЂ” материальная поверхность в евклидовом пространстве К". Предположим, что нам известна (поверхностная) плотность р(х) распределения массы на поверхности Я. Требуется определить массу всей поверхности Я. 52. ФОРМА ОБЪЕМА, ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА 271 где д; (1) = (-Ю, — К), г, 2 = 1,..., Й. При другой параметризации У: Р -+ Я той же поверхности для вычисления площади Я по области Р надо соответственно интегрировать форму (5) = ~/ж(д„Щ дд" д ...
д дд', (3) где д, (2) = ( — ~, — з), г, ) = 1,...,дд. Обозначим через ф диффеоморфизм дд ' о др: Р— ~ Р, осуществляющий переход от координат 2 к координатам ~ поверхности Я. В свое время мы уже подсчитали (см. замечание 5 24 гл. ХП), что ~/а.~~;„~(д) = ддд.д(дд)(д(дд ~д дд'(д)~. (4) Вместе с тем очевидно, что = ~/м(равд (д)) д д д'(д) дд д ...
д дд'. Сопоставляя равенства (2) — (5), видим, что ф'ьд = ьд, если д)е1 фд ф) > > О, и 4*ьд = — дд, если с1еФф'(2) ( О. Если формы ш и ьд получались переносом у* и соответственно дд' из одной и той же формы Й на Я, то всегда должно быть выполнено равенство ф*(др*й) = др*й или, что то же самое, 4*ьд = ьд. Мы приходим, таким образом, к заключению, что формы на параметризованной поверхности Я, которые надо интегрировать, чтобы получить площадь втой поверхности, различны — отличаются знаком, если параметризации задают на Я различные ориентации; зти формы совпадают для параметризаций, принадлежащих одному классу ориентации поверхности Я. Таким образом, форма объема Й на Я должна определяться не только самой поверхностью о', лежащей в евклидовом пространстве К", но и ориентацией о.
Это может показаться парадоксальным: площадь поверхности по нашим представлениям не должна зависеть от ориентации! Но ведь мы пришли к определению площади параметризованной поверхности через интеграл, интеграл от некоторой формы. Значит, если результат наших вычислений не должен зависеть от ориентации поверхности, то, как следует из свойств интеграла, при разных ориентациях поверхности мы должны интегрировать разные формы. Доведем высказанные соображения до точных определений. 272 ГЛ.
ХП1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3. Форма объема Определение 1. Если гягг — ориентированное евклидово пространство со скалярным произведением (, ), то формой объема Й на ж", соответствующей данной ориентации ж~ и скалярному произведению (, ), называется такая кососимметрическая Й-форма, которая на ортонормированном репере данного класса ориентации и" принимает значение единицы. Значение 1г-формы на репере ег,..., еь, очевидно, вполне определяет эту форму. Заметим также, что форма й определяется не индивидуальным ортонормированным репером, а только их классом ориентации. ~ В самом деле, если ег,..., еь и ег,..., еь — два таких репера одного класса ориентации, то матрица О перехода от второго базиса к первому является ортогональной матрицей, причем г)е1 О = 1.
Значит, й(Е1,...,ЕЬ) = Г)Е10 й(ЕГ,...,ЕЬ) = й(Е1,...,Еь) = 1. гь Если в к" фиксирован ортонормированный базис ег,...,еь, а яг,...,я~ — проектирование К" на соответствующие координатные оси, то, очевидно, и' А... А я"(ег,...,еь) = 1 и й=ягд...с я~. Таким образом, ~1 ~Ь 6 4 Это ориентированный объем параллелепипеда, натянутого на упорядоченные векторы яг,, 4ь. Определение 2.
Если гладкая й-мерная ориентированная поверхность Я лежит в евклидовом пространстве К", то в каждой касательной к Я плоскости ТБх, имеются ориентация, согласованная с ориентацией Я, и скалярное произведение, индуцированное скалярным произведением в Е", а значит, есть и форма объема й(х). Возникающая при этом на Я дифференциальная Й-форма Й называется формой (или элементом) объема па поверхности Я, индуцированной вложением Я в евклидово пространство Е".
12. ФОРМА ОБЪЕМА, ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА 273 Определение 3. Площадь ориентируемой гладкой поверхности есть интеграл по этой поверхности от формы объема, соответствующей выбираемой на поверхности ориентации. Это сформулированное на языке форм и уточненное до деталей определение площади, конечно, согласуется с определением 1 2 4 гл. ХП, к которому мы пришли, рассматривая заданную в параметрическом виде Й-мерную гладкую поверхность Б С К".
~ Действительно, параметризация ориентирует поверхность и все касательные к ней плоскости ТБ . Если ~ы...,~ь — репер в ТБ фиксированного в ТБ класса ориентации, то из определений 2 и 3 формы объема й следует, что й(х) (~м..., ~ь) > О. Но тогда (см. равенство (2) 24 гл. ХП) (б) Отметим, что сама форма й(х) определена на любом наборе ем..., (ь векторов ТБ, но равенство (б) действует только на реперах заданного в ТБ класса ориентации. Отметим также, что форма объема определена только на ориентированной поверхности, поэтому, например, бессмысленно говорить о форме объема на лежащем в Кз листе Мебиуса, хотя можно говорить о такой форме в пределах каждого ориентируемого куска этой поверх- ности.
Определение 4. Пусть Б — й-мерная кусочно гладкая (ориентируемзя или неориентируемая) поверхность в К", а Бы..., Б,... — конечное или счетное число ее гладких параметризуемых кусков, пересекающихся, быть может, лишь по поверхностям размерности не выше л — 1 и таких, что Б = Ц Бь а Площадью (или К-мерныж объемом) поверхности Б называется сумма площадей поверхностей Б;. В этом смысле можно говорить о площади, которую имеет лежащий в Яз лист Мебиуса, или, что то же самое, искать его массу, если это материальная поверхность с единичной плотностью распределения вещества. Традиционными рассуждениями проверяется корректность определения 4 (независимость получаемой величины площади от разбиения Бм..., Б„„...
поверхности Б). 274 ГЛ. Х1П. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 4. Выражение формы объема в декартовых координатах. Пусть Я вЂ” гладкая гиперповерхность (размерности и — 1) в ориентированном евклидовом пространстве й.", наделенная ориентирующим ее непрерывным полем единичных нормалей 77(х), х Е Я. Пусть И вЂ” форма (и-мерного) объема в К", а Й вЂ” форма ((и — 1)-мерного) объема на 5. Если в касательном пространстве Т$ взять репер с1,...,ф„1 из класса ориентации, задаваемого единичной нормалью 17(х) к ТЯ, то, очевидно, можно записать следующее равенство: $'(х)(17,~1,..., г,„1) = Й(х)(~1,...,~„1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
