1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Возьмем достаточно мелкое разбиение отрезка [а, 6]. Тогда на каждом промежутке 1, = (~ Е 1 ~ Ц 1 < «< Ц) разбиения с точностью до бесконечно малых ~2 ~2.«. 1 Рис. 83. а. Работа поля. Пусть Р(х) — непрерывное векторное поле сил, действующих в области С евклидова пространства )к'2. Перемещение пробной частицы в поле связано с совершением работы. Требуется вычислить работу, совершаемую полем, при перемещении единичной пробной частицы по заданной траектории, точнее, вдоль гладкого пути у: 1-+ у(1) С О.
Мы уже касались этого вопроса, рассматривая приложения определенного интеграла, поэтому здесь можно лишь напомнить решение задачи, отмечая некоторые характерные и полезные для дальнейшего элементы конструкции. 1 Ь ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ 253 ЬА; = (г'(х;),с;) или г1А, = (Р(х(2,)), х(~,)т;). А = ,'> г1А; - ~~~ ( е'(х(г;)), х(г;))гас;, Значит, откуда, переходя к пределу при измельчении разбиения отрезка 1,по- лучаем,что А = (Р(х(2)), х(2)) Ж. Если выражение ( г'(х(2)), х(1)) Ж переписать в виде (г'(х), дх), то, считая координаты в К" декартовыми, ему можно придать вид Г' с1х~+ +... + Р" Ых", после чего формулу (1) можно записать как А= Г" Нх'+... +Е" Нх" 7 (2) или как А = ьг',.
7 (2') Точный смысл написанным в (2) и (2') интегралам от 1-формы работы вдоль пути у придает формула (1). Пример 1. Рассмотрим поле сил г' = — ",, опрег+„г' г+ г г' деленное во всех точках плоскости Жг, кроме начала координат. Вычислим работу этого поля вдоль кривой ум заданной в виде х = соя 1, у = более высокого порядка выполняется равенство х(2) — х(2;) = х'(1;)(2— — 2г). Вектору т; = ~;~.г — 2г смещения из 11 в 1,~1 (рис. 83) в пространстве К" отвечает перемещение из точки х(2,) на вектор 2 х; = х,,1 — х„ который с указанной погрешностью можно считать совпадающим с вектором (, = х(2,)т;, касательным к траектории в точке х(2,).
Ввиду непрерывности поля г'(х), его можно считать локально постоянным, и потому работу ЬА„отвечающую промежутку (времени) 4, можно с малой относительной погрешностью вычислять в виде 254 ГЛ. ХП1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ = яп1, 0 < 1 < 2х, и вдоль кривой 72, заданной соотношениями х = 2+ + соя1 у = яп1, 0 < 1 < 2х. В соответствии с формулами (1), (2), (2') находим Р / 2 2 2 2 У / х +у х +у 71 71 ( яш1. ( — яп1) сояФ соя1 соя21+яп 1 соя~1+ яп 12 о ' — рдх+ хНу т — я1п1( — я1п1) + (2+ соя1) соя1 хг + уг (2+ соя1)2+ ящг1 72 72 о 2л л о Ж= 1+ 2соя1 Г 1+ 2соя1 /' 1+ 2соя(2п — и) Ж+ 5+4сояФ / 5+4сояФ,/ 5+4соя(2х — и) о о у Й вЂ” / 1 + 2 соя 1 Г 1 + 2 соя и ди =О. 5+4сояФ / 5+4сояи о о Пример 2.
Пусть т — радиус-вектор точки (х, у, г) б Из ат=~т, Пусть всюду в 1кз вне начала координат задано поле сил вида т' = Г (т) т. Это — так называемое центральное поле. Найдем работу полл т" на пути 7: [О, 1] -+ жз '1 О. Используя (2), находим Г 1 Г Г (т) (х е1х + у е1у + г Й) = — / Г (г) д(х + у + г ) = 2./ 7 7 1 1 л ьо~"(о =;~~(н м) ~ й) = 2/ о о тг 1 = — / .Г (7/и ) пи = Ф (то, т1 ) .
1 Г 2/ ть 2 Здесь мы, как видно, положили хг(1) + уг(1) + гг(1) = т~(1), т~(1) = = и(1), то = т(О), тг —— т(1). 1 Ь ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ 255 Итак, в любом центральном поле работа на пути у оказалась зависящей только от расстояний тд, г~ начала и конца пути до центра 0 поля. В частности, для гравитационного поля -гт единичной точечной 1 т массы, помещенной в начало координат, получаем 1 1 1 1 1 Ф(го,г~) = — ( — ди = — — —.
2/ изб то гг "0 г Ь. Поток через поверхность. Пусть в области С ориентированного евклидова пространства Кз имеется установившееся течение жидкости (или газа) и л + Ъ'(л) — поле скоростей этого течения в области С. Пусть, кроме того, в С взята гладкая ориентированная поверхность Я. Для определенности будем считать, что ориентация Я задана полем нормалей. Требуется определить (объемный) расход или поток жидкости через поверхность Я, точнее, требуется найти, какой объем жидкости протекает в единицу времени через поверхность Я в указанную ориентирующим полем нормалей сторону этой поверхности.
Для решения задачи заметим, что если поле скоростей течения постоянно и равно Ъ', то поток в единицу времени через натянутый на пару векторов (ь ~г параллелограмм П равен объему параллелепипеда, построенного на векторах Ъ~, (ь сг. Если и — нормаль к П и ищется поток через П в сторону, указываемую нормалью и, то он равен смешанному произведению (Ъ', (м сг), если и и репер (ь (г задают одинаковую ориентацию П (т.е. если и, ~м сг — репер заданной в Кз ориентации). Если же репер ф~, сг задает в П ориентацию, противоположную определяемой нормалью и, то поток в сторону, указанную нормалью ц, равен — (1",6, (2).
Вернемся теперь к исходной постановке. Предположим для простоты, что поверхность Я в целом допускает гладкую параметризацию ~р: 1 -+ Я с С, где 1 †двумерн промежуток плоскости Кг. Разобьем 1 на маленькие промежутки 1; (рис. 84). Образ у(1,) каждого такого промежутка аппроксимируем параллелограммом, натянутым на обРазы (~ = 1г'(2;)ть (г = ~Р'(2,)тг вектоРов тм тг смещениЯ вДоль координатных направлений. Считая,что Ъ"(х) мало меняется в пределах куска р(1,) поверхности, и заменяя у(1,) указанным параллелограммом, можем считать, что поток 11У; через кусок у(1;) поверхности с малой г66 Гл. хп1.
кРиВОлинеЙные и пОВеРхнОстные интеГРАлы Рис. 84. относительной погрешностью совпадает с потоком постоянного поля скоростей 1"(х;) = Ъ'(~р(4,)) через параллелограмм, порожденный векторами (м ~г. Считая, что репер г1, гг задает на Я ту же ориентацию, что и и, находим 2У'* = Жх*),6,4г) Суммируя элементарные потоки, получаем У = ~~», ~~) = ~~» ~Р(А)(41,4г), где м~,(х) = (Ъ'(х),, ) (рассмотренная в примере 8 85 гл. ХП) 2-форма потока, Если перейти к пределу (беря все более мелкие разбиения Р промежутка Х), то естественно считать, что Последний символ есть интеграл от 2-формы ю~ по ориентированной поверхности Я.
Вспомнив (см. формулу (12) 85 гл. ХП) координатное выражение формы потока ы в декартовых координатах, мы вправе записать так- г 21. ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ 257 же, что т = р" л ' Л ) з + р"',)хз Л лх1 + р',)х1 Л л '. (4) Мы обсудили лишь общий принцип решения поставленной задачи. В сущности, мы дали только точное определение (3) потока У' и ввели некоторые обозначения (3), (4), но не получили пока эффективной вычислительной формулы, подобной формуле (1) для работы. Заметим, что формула (1) получается из выражения (2), если вместо х1,...,х" в него подставить функции (х1,...,х")(2) = х(1), задающие путь 7.
Напомним (см. 2 5 гл. Х11), что такая замена интерпретируется как перенос заданной в С формы ш на отрезок 1 = [а, Ь]. Совершенно аналогично и вычислительная формула для потока может быть получена прямой подстановкой в (4) параметрических уравнений поверхности. В самом деле, ы1,(х1)(~1,~2) = ыР(р(Ф1))(~р'(21)т1,~р'(21)т2) = (<р*о1 )(11)(т1,т2) ю1,(х1)(~1, (2) = ~(у*и )(21)(т1, т2). Форма у"ь~~~ определена на двумерном промежутке 1 С К2. В 1 любая 2-форма имеет вид 7'(2) сй1 Л 0~2, где 1 — зависящая от формы функция на 1, поэтому у*ю~~,(2;) (т1, т2) = 1(21) ог~ Л Ш~(т1, т2).
Но й" Л г(11(т1, т2) = т11 т22 есть площадь определяемого ортогональными векторами т1, т2 прямоугольника 1;. Таким образом, Е у(ц) а1 Л 1(22(т1, 2) = Е у(2,) ~ц. При измельчении разбиения в пределе получим ~(8) й ЛсИ = Я) <И М, (5) 288 ГЛ. ХП1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ где в левой части, согласно (3), стоит интеграл от 2-формы шг = Я) Ж1 А Жг по простейшей ориентированной поверхности 1, а в правой части — интеграл от функции 1 по прямоугольнику 1. Остается вспомнить, что координатное представление 1(1) п21 А ~йг формы ~р*2дгх получается из координатного выражения формы шг прямой заменой переменных х = 22(1), где 22: 1 -+ С вЂ” карта поверхности Я.
Выполнив эту замену, из (4) получим 2 1 * 2 У' = д21х = 22 ь21х 8=2 Ж Дхз Дхз 1,,1( ( )) дзт дзт 1 дзз д1х ахз дх' +~,г( (1)) дзт дз + Я' дзх дх1 дхз +з,з( (з)) дзт дзт,~ 1 А,мг дх' дхз дзз д22 Последний интеграл, как показывает равенство (5), есть обычный интеграл Римана по прямоугольнику 1.
Таким образом, мы нашли, что 1'( (1)) ~" ( (1)) ~'( (1)) а~т (2) аР (2) аГ (2) (6) где х = у(1) = (1д1, 222, 222)(11,12) — карта поверхности я, задающая ту же ориентацию д, что и указанное нам поле нормалей к Я. Если карта у: 1 — > Я задает на Я противоположную ориентацию, то равенство (6), вообще говоря, нарушится, но, как следует из приведенных в начале пункта соображений, в этом случае его левая и правые части будут отличаться только знаком. Окончательная формула (6), очевидно, есть просто-напросто аккуратно записанный в координатах 11, 22 предел сумм знакомых нам элементарных потоков ьУ; (ъ'(х;), с1, сг). Мы рассмотрели случай поверхности, задаваемой одной картой. В общем случае гладкую поверхность Я можно разбить на гладкие куски Я;, не имеющие между собой существенных пересечений, и найти поток через Я как сумму потоков через куски Я;. 8 1.
ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ 259 х = Всоясрсо891, у = Всояг)гяспгр, 2 = ВЯспгСг, гдеО<гр<2я, — я/2<ср<я/2. После подстановки в (6) этих соотношений и 1' = (1, О, 0), получим гг/2 дл' дяс /' ас асг ,с' а*' а*' с аст дст йрс)с)г = В2 сов гР ЙсР соя гр йр = О. -гг,с2 о Поскольку интеграл равен нулю, мы даже не интересовались, в какую сторону (внутрь или наружу) ведется расчет потока. Пример 4. Пусть поле скоростей движущейся в пространстве мз среды в декартовых координатах т, у, 8 определяется равенством с'(т,у,з) = (сг~, 'сг~, 'сг~)(х,р,я) = (х, р,г). найдем в этом случае поток через сферу х2 + у2 + 22 = В2 внутрь ограниченного ею шара (т.
е. в сторону внутренней нормали). Взяв параметризацию сферы из предыдущего примера и выполнив подстановку в правую часть формулы (6), найдем, что 2гг гг/2 ВСО8 гр СОЯ гр ВСОЯ ф81Пгр Ввспф Г ссср — В соЯ сСг 81П гр В соя сСг соя гр 0 0 -гг,г2 В 81п сСг соя гр — В 81п гСг 81п гр В соя гр Пример 3. Пусть среда движется поступательно с постоянной скоростью с' = (1, О, 0). Ксли в области течения взять любую замкнутую поверхность, то, поскольку плотность среды не меняется, количество вещества в объеме, ограниченном взятой поверхностью, должно оставаться неизменным. Значит, суммарный поток среды через такую поверхность должен быть равен нулю. Проконтролируем в этом случае формулу (6), взяв в качестве О' сферу т2+ 92+ 82 В2 Сферу а' с точностью до множества, имеющего площадь нуль и потому пренебрежимого в рассматриваемом вопросе, можно задать пара- метрически 260 ГЛ.
Х1П. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2я х/2 й р Дз соз ~ йф = 4яЯз 0 12 Теперь проверим, согласуется ли задаваемая криволинейными координатами (~р, ф) ориентация сферы с ориентацией, задаваемой внутренней нормалью. Легко убедиться, что не согласуется. Поэтому искомый поток У' = — 4яВз. В данном случае полученный результат легко проверить: вектор Ъ' скорости течения в каждой точке сферы равен по величине В, ортогонален сфере и направлен наружу, поэтому поток изнутри во вне равен площади сферы 4яЯ2, умноженной на В. Поток в противоположную сторону получается равным — 4яВз. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
