1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Рассмотрим несколько полезных для дальнейшего примеров. Пример 3. Пусть я' е ь",(К",К), 1 = 1,,п — проекторы. Точнее, линейная функция я': К" -+ К такова, что на любом векторе ~ = (~",...,С") е К" она принимает значение яг(() = ~' проекции этого вектора на соответствующую координатную ось. Тогда в соответствии с формулой (1) получаем ~п (и яп Л... Л ям((г,...,~ь) = ~Ь ~1л Пример 4. Декартовы координаты векторного произведения [(г,(2] векторов гг = (сг,ф~г~), г2 = (сз,ф~2~) евклидова пространства Кз, как известно, определяются из равенства 1 ~2 сз гз [41~ 42] = ( ~2 ~3 1 ~З ~1 ~ ~1 ~2 / . 25. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 235 Таким образом, в соответствии с результатом примера 3 можно записать, что ,„1((~,,~ )) = 2 А з(~,~ ), '([4,б!) = 'А '(4,42), з((~, ~1) 1А 2(~, ~ ) Пример б.
Пусть у: Р -+ И вЂ” определенная в некоторой области Р С И" и дифференцируемая в точке хе е Р функция. Как известно, дифференциал ф(хо) функции в точке является линейной функцией, определенной на векторах ~ смещения от этой точки, точнее, на векторах пространства ТР „касательного к Р (к И") в рассматриваемой точке. Напомним, что если х',..., х" — координаты в И", а с = ((1,..., ~"), то 4ПхоН4) — —,(хо)1 + "+ — „(хо)4 — Р<У(хз). д~ , дУ В частности, сЬ'(() = С', или, более формально, дх'(хз)(г) = ('.
Если ~„..., )ь — определенные в С и дифференцируемые в точке хз е е С вещественнозначные функции, то в соответствии с формулой (1) в точке хе на наборе 4О..., 4ь векторов пространства ТС, получаем (6Ж) " 46(6) (3) ч'1Ж)" 46(6ь) и, в частности, Нх" А... А Их'" (~„..., ~ь) = ~п ~м Таким образом, из линейных форм ф„..., фы определенных на линейном пространстве ТР„= ТИ.,", = И", получились определенные на этом же пространстве кососимметрические формы степени Й.
Пример 6. Если у Е С~О(Р, И), где Р— область в Р', то в любой точке х Е Р определен дифференциал ф(х) функции ~, который, как было сказано, является линейной функцией ф(х): ТР -+ ТИ = И на линейном пространстве ТР, касательном к Р в точке х. При переходе от точки к точке в области Р форма ф(х) = у'(х), вообще говоря, 236 ГЛ. ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В к" меняется. Итак, гладкая скалярная функция Х: Р -+ К порождает в каждой точке области Р линейную форму а1 (х), или, как говорят, порождает в Р поле линейных форм, определенных на соответствующих касательных пространствах ТР .
Определение 1. Будем говорить, что в области Р С К" задана вещественнозначная дифференциальная р-форма ш, если в каждой точке х Е Р определена кососимметрическая форма ы(х): (ТР )Р -+ К. Число р обычно называют степенью или порядном дифференциальной р-формы ы В этой связи р-форму ю часто обозначают через аР. Таким образом, рассмотренное в примере 6 поле дифференциала а1' гладкой функции Х: Р -+ К есть дифференциальная 1-форма в области Р, а ю = дх" Л...
Лдх'~ есть простейший пример дифференциальной формы степени р. Пример 7. Пусть в области Р С К" задано векторное поле, т.е. с каждой точкой х Е Р связан вектор г'(х). При наличии евклидовой структуры в 2" это векторное поле порождает следующую дифференциальную 1-форму аф в Р. Если с — вектор, приложенный к точке х Е Р, т.е. ф Е ТР„то положим юр (х) (~) = (г'(х), () . Из свойств скалярного произведения вытекает, что и~1(х) = ( г'(х), ) действительно является линейной формой в каждой точке хЕР Такие дифференциальные формы возникают очень часто. Например, если Хг — непрерывное силовое поле в области Р, а ( — вектор малого смещения от точки х Е Р, то элементарная работа поля, отвечающая такому смещению, как известно из физики, определяется именно величиной (я'(х), ~) .
Итак, поле сил Г в области Р евклидова пространства К" естественным образом порождает в Р дифференциальную 1-форму и~1, которую в этом случае естественно назвать формой работы поля г'. Заметим, что в евклидовом пространстве дифференциал дХ гладкой в области Р С Р' функции Х: Р— > К тоже можно считать 1-формой, порожденной векторным полем, которым в данном случае является поле и' = втаб Х.
В самом деле, ведь по определению вектор ятзл1 Х'(х) таков, 15. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 237 что для любого вектора с Е ТР имеет место равенство ф(х)(с) = = (8гас1 ('(х), (). Пример 8. Заданное в области Р евклидова пространства К" векторное поле Ъ' может также следующим образом порождать дифференциальную форму ы" степени и — 1. Если в точке х е Р взять соответствующий ей вектор поля Ъ" (х) и еще и — 1 векторов ~,..., („, Е ТР, приложенных к точке х, то ориентированный объем параллелепипеда, натянутого на векторы Ъ'(х), (,..., („„равный определителю матрицы, строки которой состоят из координат этих векторов, очевидно, будет кососимметрической (и — 1)-формой по переменным ~„..., („,.
При и = 3 форма оф есть обычное смешанное произведение (Ъ'(х), Сь (з) векторов, из которых один Ъ'(х) задан, а тогда по двум оставшимся аргументам получается кососимметрическая 2-форма ыь =Ж., ). Например, если в области Р имеется установившееся течение жидкости и Ъ'(х) — вектор скорости течения в точке х е Р, то величина (Ъ'(х), (ь (з) есть элементарный объем жидкости, которая протекает за единицу времени через натянутую на малые векторы сь ~з Е ТР площадку (параллелограмм). Выбирая по разному векторы (ь ~з, мы будем получать различные по конфигурации и расположению в пространстве площадки (параллелограммы), одной из вершин которых является точка х.
Для каждой такой площадки будет, вообще говоря, свое значение (T(х), (ь сз) формы ю~,(х). Как было сказано, оно показывает, сколько жидкости протекло за единицу времени через данную площадку, т.е. характеризует расход жидкости или поток через выбранную элементарную площадку. Но этой причине форму из~,, как, впрочем, и ее многомерный аналог ю",, часто называют формой потока векторнозо полл Ъ' в области Р. 2. Координатная запись дифференциальной формы.
Остановимся теперь на координатной записи кососимметрических алгебраических и дифференциальных форм и покажем, в частности, что любая дифференциальная к-форма в некотором смысле является линейной комбинацией стандартных дифференциальных форм вида (4). Для сокращения записи будем (как мы это делали в аналогичных случаях и прежде) по повторяющимся сверху и снизу индексам подразумевать суммирование в пределах области допустимых значений этих 238 ГЛ. ХП.
ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В ~е индексов. Пусть Ь вЂ” я-линейная форма в К". Если в К" фиксирован базис е,...,е„, то каждый вектор ( Е К" получает координатное представление с = с'ег в этом базисе, а форма Ь приобретает координатную запись .5(г1, гг) = Х((1'е;,,(г'е1,) = Це;,, е;,)с,'"~2' —— = Цеы е )1Ы + 5(е1, ег)1Ы+ Цеь ез)СЫ+ + Цег, е1)Яг + Цег, ег)Я~~Я + Цег, езКЫ + + Ь(ез, е1)РК + ь(ез, ег)~К + ь(ез, ез)Иг = = ~(Е1,Ег)((142 — <1<г)+ г(Е1,ЕЗНЫг Ыг)+ ~Ь р + Це2 ез)®42 416),~' ~(е'1 егг) ~1 12 1<п <13<3 где суммирование ведется по всем возможным комбинациям индексов 11,12, которые удовлетворяют указанным под знаком суммы неравенствам.
Аналогично и в общем случае для кососимметрической формы Ь можно получить следующее представление: (Ь ~м Ц(1,...,~3) = ~ .5(е,,,...,е„) 1<п«...ц,<в (б) Тогда в соответствии с формулой (2) последнее равенство можно переписать в виде г.(е1„..., ег,)гг" А... Л я'"((1,...,ф~,). 1<В «...11<в Ь(~1,...,(ь) = 5(~" ез„...,фе;„) = Це,,,...,е1„)~",...,ф. (5) Числа а,,;, = Це;,,..., е,„) вполне характеризуют форму Ц если известно, в каком базисе е,..., е„они получены. Эти числа, очевидно, симметричны или кососимметричны по их индексам тогда и только тогда, когда соответствующим видом симметрии обладает форма Ь. В случае кососимметрической формы Ь координатное представление (5) можно несколько преобразовать.
Чтобы направление этого преобразования стало ясным и естественным, рассмотрим частный случай соотношения (5), когда Ь вЂ” кососимметрическзя 2-форма в Кз. Тогда для векторов г1 = (1~'е;„~г = Ее;„где 11, 12 = 1, 2, 3, получаем 15. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 239 Таким образом, любую кососимметрическую форму Т можно представить в виде линейной комбинации аг з„л'Л...Лг" Е (7) Г<Гг«...Ь<г аг(х)((г,...,(ь) = ш(е;, (х), ...,е; (х)) гГх" Л ... Л ггх~' (г.г, ..., фя) 1<В«...гг.<гг или ш(х) = ~~~ агг,л,(х) г1хгг Л...
Л Йх". (8) 1<И «...Ге<в Таким образом, любая дифференциальная /с-форма является комбинацией простейших гг-форм ЙГг Л... Л г1х", составленных из дифференциалов координат. Отсюда, собственно, и название <дифференциальная форма».
Коэффициенты а;, л„(х) линейной комбинации (8), вообще говоря, зависят от точки х, т. е. зто какие-то функции, определенные в области, где задана форма агь. В частности, нам уже давно известно разложение дифференциала г(1(х) = — (х)ггх +... + — (х) ггх, ду", ду" дхг ''' дх" а, как видно из равенств (й',() = (Г" (х)егг(х),С"е;,(х)) = = (е,, (х), е„(х))г'" (х)~" = д,гг,(х)г'" (х)4" = = д;„,(х)Г" (х) г1х*'(ф), Й-форм ягг Л... Л гг'", являющихся внешним произведением, составленным из простейших 1-форм я,..., ягг в И". Пусть теперь в некоторой области Р с К" задана дифференциальная Й-форма ы и некоторая система криволинейных координат хг,...,х". В кажДой точке х Е Р фиксиРУем базис ег(х),...,е„(х) пространства ТР„составленный из единичных векторов координатных направлений.
(Например, если х~,..., х" — декартовы координаты в К", то ег(х),..., е„(х) есть просто репер е„...,е„пространства К", параллельно перенесенный из начала координат в точку х.) Тогда в каждой точке х Е Р на основании формул (4) и (6) получаем, что 240 ГЛ. ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В ~и имеет также место разложение а1Р(х) = (г'(х), ) = (дз„(х)Р'*'(х))дх' = а,(х) дх1, (10) которое в декартовых координатах выглядит особенно просто: Р ( ) = (Г( ), ) = ~, р'1(х) дх1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
