1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Кусочно гладкой одномерной поверхностиью (кусочно гладкой кривой) назовем такую кривую в К", которая после удаления из нее конечного или счетного числа некоторых нульмерных поверхностей (точек) распадается на гладкие одномерные поверхности (кривые). Поверхность о с К" размерности к назовем кусочно гладкой, если из нее можно так удалить конечное или счетное число кусочно гладких поверхностей размерности не выше к — 1, что остаток распадется на 220 ГЛ. ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В И" гладкие Ь-мерные поверхности Я; (с краем или беэ края). Пример 4.
Граница плоского угла и граница квадрата суть кусочно гладкие кривые. Граница куба или граница прямого кругового конуса в Кз суть двумерные кусочно гладкие поверхности. Вернемся теперь к ориентации кусочно гладкой поверхности. Точку (нульмерную поверхность), как это уже отмечалось, принято ориентировать, приписывая ей знак + или †. В частности, край отрезка [а,Ь] С К, состоящий из двух точек а, Ь, если отрезок ориентирован направлением от а к Ь, принято согласованно (с этой ориентацией отрезка) ориентировать так: (а, — ), (Ь, +) или в иной записи — а, +Ь.
Рассмотрим теперь /с-мерную (я > О) кусочно гладкую поверхность Я с Ж". Предположим, что две гладкие поверхности Яп, Я;, из определения 4 кусочно гладкой поверхности Я ориентированы и примыкают друг к другу вдоль гладкого куска Г (й — 1)-мерной поверхности (ребра).
Тогда на Г, как на краю, возникают ориентации, согласованные с ориентациями Я,, и Я,, соответственно. Если эти две ориентации на любом таком ребре Г С Я„П Я;, противоположны, то исходные ориентации о;, и Я;, считаются согласовавиььми. В случае, если Я;, П~;, пусто или имеет размерность, меньшую чем (й — 1), любые ориентации Я;„Я;, считаются согласованными.
Определение 5. Кусочно гладкую Ь-мерную (Ь > О) поверхность будем считать ориенгпируемой, если с точностью до конечного или счетного числа кусочно гладких поверхностей размерности не выше (Й вЂ” 1) она является объединением гладких ориентируемых поверхностей Яо допускающих их одновременную взаимно согласованную ориентацию. Пример 5. Поверхность трехмерного куба, как легко проверить, является ориентируемой кусочно гладкой поверхностью.
И вообще, все указанные в примере 4 кусочно гладкие поверхности ориентируемы. Пример 6. Лист Мебиуса легко представить в виде объединения двух ориентируемых гладких поверхностей, примыкающих по части края, однако зти поверхности нельзя ориентировать согласованно. Можно проверить, что лист Мебиуса не является ориентируемой поверхностью даже с точки зрения определения 5. з 3, КРАЙ пОВеРхнОсти и еГО ОРиентАЦиЯ 221 Задачи и упражнения 1. а) Верно ли, что край поверхности 5 С К" есть множество 5 ~5, где 5— замыкание 5 в К"? Ь) Имеют ли поверхности 5~ — — ((х, у) Е Кз ~ 1 < хз+уз < 2), 5з = ((х, у) б бКз ~0<хз+уз) краи? с) Укажите край поверхностей 5~ = ((х,у) е К~ ~ 1 < хз + у~ < 2), 52 = ((х, у) е К ~ 1 ~ (х + у ) 2.
Приведите пример неориентируемой поверхности с ориентируемым краем. 3. а) Каждая грань куба 1" = (х б К" ! )х'! < 1, 1 = 1,...,я) параллельна соответствующей (й — 1)-мерной координатной гиперплоскости пространства К", поэтому в грани можно рассмотреть тот же репер и ту же систему координат, что и в этой гиперплоскости.
Укажите, в каких гранях получающаяся при этом ориентация согласуется с ориентацией куба 1", индуцированной ориентацией К", а в каких не согласуется. Разберите последовательно случаи я = 2, х = 3 и х = п. Ь) В некоторой области полусферы 5 = ((х,у,х) б Кз ~ хз + уз + х~ = = 1лх > 0) действует локальная карта (1',1з) + (я1п1' сыгы,вша' яп 1з, соя 1'), а в некоторой области края д5 этой полусферы действует локальная карта 1 ~ч (сов1, яп1, 0).
Выясните, задают ли зти карты согласованные ориентации поверхности 5 и ее края д5. с) Постройте на полусфере 5 и ее крае д5 поля реперов, индуцированные указанными в Ь) локальными картами. о) На крае д5 полусферы 5 укажите репер, задающий ориентацию края, согласованную с полученной в с) ориентацией полусферы. е) Задайте полученную в с) ориентацию полусферы 5 с помощью вектора, нормального к 5 С Кз. 4. а) Проверьте, что лист Мебиуса не является ориентируемой поверхностью даже с точки зрения определения б.
Ь) Покажите, что если 5 — гладкая поверхность в К", то определения ее ориентируемости как гладкой и как кусочно гладкой поверхности равносильны. б. а) Будем говорить, что множество 5 С К" есть й-мерная поверхность с краем, если для каждой точки х Е 5 найдутся ее окрестность (1(х) в К" и диффеоморфизм ф; Н(х) + 1 этой окрестности на стандартный куб 1" С К", при котором ф(5 О(1(х)) совпадает либо с кубом 1ь = (1 е 1" ~ 1"+' = ...
= = 1" = 0), либо с его частью 1ь й (1 б К" ( 1ь < О), которая является я-мерным промежутком с одной присоединенной к нему гранью. Исходя из сказанного в 2 1 при обсуждении понятия поверхности, покажите, что это определение поверхности с краем не эквивалентно определению 1.
Ь) Верно ли, что если 1 В СО~(Н",К), где Н" = (х е К~ ~ х' < О), то для любой точки х Е дН" можно найти ее окрестность Н(х) в Кь и функцию 222 ГЛ. ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В К" У' Е СО~(У(х), К) так, что У~нкосс1х> = 1~нлощ*1? с) Если указанное в а) определение использовать для описания гладкой поверхности с краем, т.е. считать ф гладким отображением максимального ранга, то будет ли такое определение гладкой поверхности с краем совпадать с принятым в 2 3? 3 4. Площадь поверхности в евклидовом пространстве Перейдем теперь к определению площади и-мерной кусочно гладкой поверхности, лежащей в евклидовом пространстве К", и ) Й.
Напомним сначала, что если г,с,..., ф„— й векторов евклидова пространства К~, то объем 1" ((1,..., („) параллелепипеда, натянутого на зти векторы как на ребра, может быть вычислен посредством определителя 1'(фс " 4ь) = с)е1((,') матрицы д = (Ц), строки которой образованы координатами данных векторов в некотором ортонормированном базисе е„..., еь пространства 1с".
Отметим, однако, что на самом-то деле формула (1) дает не просто объем, а так называемый ориентированный объем параллелепипеда. Если ~" ~ О, то определяемое формулой (1) значение $' положительно или отрицательно в соответствии с тем, принадлежат ли реперы е,..., е, ~„..., с одному или разным классам ориентации пространства 1сй.
Заметим теперь, что произведение о л* матрицы о на ее транспонированную л* есть не что иное, как матрица С = (д, ) попарных скалярных произведений д; = (~„~ ) данных векторов, т. е. матрица Грома Н системы векторов (1,...,( . Таким образом, с)е$ С = с(е1(,УУ*) = с1е1,У с)ес У* = (с1е1,7), и, значит, неотрицательное значение объема $" (~1,..., ф„) можно полу- чить в виде (3) Последняя формула удобна тем, что в ней, по существу, уже нет координат, а есть только набор геометрических величин, характеризующих рассматриваемый параллелепипед. В частности, если зти же ПСкс сноску на стр. 592.
04. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 223 векторы сг,...,(„считать лежащими в и-мерном (и ) Й) евклидовом пространстве К", то формула (3) Й-мерного объема (или Й-мерной площади) натянутого на них параллелепипеда останется без изменений. Пусть теперь г". Р— г Я С К" — Й-мерная гладкая поверхность Я в евклидовом пространстве К", заданная в параметрическом виде г = г(гг,...,г~), т.е. в Г(го) 1 виде гладкой вектор-функции г (г) = (х",...,х")(г), определенной в области Р С ж".
Пусть е,..., е„— ортонормированный базис в гк", порождающий координатную систему (гг,..., г"). Фиксиро- ° 1 вав точку го = (го,..., г~о) Е Р, возьмем положительные числа Й,..., 6 столь малы- о ми, чтобы параллелепипед 1, натянутый на векторы Чег е ТРг, г' = 1,..., Й, при- Рис. 82. ложенные к точке го, лежал в области Р. Па поверхности Я в силу отображения Р— > Я параллелепипеду 1 соответствует фигура 1я, которую условно можно назвать криволинейным параллелепипедом (см. рис. 82, отвечающий случаю Й = 2, и = 3). Поскольку г(го~ го го+" 2о го) — Фо .. го го го .
го) = у(го)"'+о("'), смещению от го на вектор Йге, отвечает в К" такое смещение от точки г (го), которое при Ч вЂ” г 0 можно с точностью до о(Ч) заменить частным дифференциалом — "(го)йг =: ггйг. Таким образом, при ма- дс' лых значениях Ч, г = 1,..., Й, криволинейный параллелепипед 1я мало отличается от параллелепипеда, натянутого на векторы пгниг,..., 6"йь касательные к поверхности Я в точке г(го).
Считая по этой причине, что объем гл г' криволинейного параллелепипеда 1я должен тогда быть близок к объему указанного стандартного параллелепипеда, находим приближенную формулу Ь~ ггЖ~~д,,~00~~~' ... Ь~', где положено дг (го) = (т„г;)(го), глгг = Й', г', г' = 1,..., Й. 224 ГЛ. ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В К" Если теперь все пространство К", в котором лежит область параметров Р, стандартным образом замостить к-мерными параллелепипедами малого диаметра д, взять среди них те, которые лежат в Р, вычислить по формуле (4) приближенное значение к-мерного объема их образов и взять сумму полученных так значений,то мы придем к величине 2 ~/ж~~,,ф.~м' ...
м', а которую можно считать приближенным значением к-мерного объема или площади рассматриваемой поверхности о, причем это приближение должно становиться более точным при с1 -+ О. Таким образом, мы принимаем Определение 1. Площадью (или к-мерньям объемом) заданной в параметрическом виде Р Э 1 ~-> г(1) б з гладкой Й-мерной поверхности о', лежащей в евклидовом пространстве Ьс", называется величина ЪЦз):= с(ес((йс, г ))(с) с1с1... сИ~. В (5) ь ь 1сс(Я) = ~й(1))сН = (1) с1с для вычисления длины гладкой кривой. Если к = и, то о — диффеоморфная области Р и-мерная область в К". В этом случае матрица Якоби 1 = х'(1) отображения Р Э Э (сс,...,с") = 1 ~-+ г(с) = (х~,...,х")(с) Е о' квадратная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
