1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 52
Текст из файла (страница 52)
(7) < Справедливость его следует из того, что при указанных условиях обе его части неотрицательны, а равны они по величине потому, что объем параллелепипеда, натянутого на векторы 17,С1,...,4„1, равен площади основания Й(х) (г.1,..., 4„1), умноженной на высоту ф = 1. ~ Но ,1 (1 'г" (х)(17, г1,...,(„1) = Здесь х1,...,х" †декарто координаты в задагощем ориентацию ортонормированном базисе е1,...,е„, а крышка над дифференциалом 11х1 означает,что в этом слагаемом он отсутствует. Таким образом, получается следующее координатное выражение для формы объема на ориентированной гиперповерхности Я С Ж": й = ~ ( — 1)' 111'(х) 11х1 А...
А 11х1 А... А 11х" (41,...,4„1). (8) Здесь стоит заметить, что при изменении ориентации поверхности направление нормали 17(х) меняется на противоположное, т. е. форма Й при этом заменяется новой формой — Й. Иэ тех же геометрических соображений следует, что при фиксированном значении 1 Е ( 1,..., п ) 12. ФОРМА ОБЪЕМА, ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА 275 Последнее равенство означает, что 71'(х)й(х) = ( — 1)' с~х Л... Л с~х' Л...
Л с1х" у~,...,~„1). (10) Для двумерной поверхности о в К" элемент объема чаще всего обозначают символами йт или по'. Их не следует воспринимать как дифференциалы неких форм о и о, это единые символы. Если х, у, г— декартовы координаты в йз, то в этих обозначениях соотношения (8), (10) запишутся так: с(о = сов о1 оу Л пх + сов о2 из Л ох + сов оз вх Л оу, сово1сЬ = ду Л сЬ, (ориентированные площади проекций совазйт = их Л дх, на координатные плоскости).
сов оз по = дх Л пу Здесь (сов ап сов а2, совка)(х) — направляющие косинусы (координаты) единичного вектора 77(х) нормали к о' в точке х б 8. В этих равенствах, как, впрочем, и в равенствах (8), (10), во избежание недоразумений, конечно, правильнее было бы справа ставить знак ~в ограничения соответствующей формы на поверхность о, но чтобы не загромождать формулы, мы ограничимся этим замечанием. 5, Интегралы первого и второго рода. В ряде задач, типичным представителем которых является рассмотренная выше задача об определении массы поверхности по известной плотности, возникают интегралы типа (1). Их часто называют интегралами от функции по поверхности или интегралами первого рода.
Определение 5. Интвералом от 4уннчии р по ориентируемой поверхности 5 называют интеграл от дифференциальной формы рй, где й — форма объема на о (отвеча- ющая выбираемой при вычислении интеграла ориентации о). Ясно, что так определенный интеграл (11) не зависит от ориентации о', поскольку изменение ориентации сопровождается соответствующей заменой формы объема. 276 ГЛ. ХП1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Подчеркнем, что в сущности здесь речь идет не об интегрировании функции, а об интегрировании формы рй специального вида по поверхности Я с определенной на ней формой объема. Определение 6. Если Я вЂ” кусочно гладкая (ориентируемая или неориентируемая) поверхность и р — функция на Я, то интегралом (11) Фю ~ Р и е у уЕ~Ф~ р 1 от функции р по параметризуемым кускам Яы..., Я,...
описанного в определении 4 разбиения поверхности Я. Интеграл (11) обычно называют поверхностным интегралом первого рода. Например, таковым является интеграл (1), выражающий массу поверхности Я через плотность р распределения массы по поверхности. Для выделения интегралов первого рода с их свойством независимости от ориентации, интегралы от форм по ориентированным поверхностям часто называют поверхностными интегралами второго рода. Заметим, что, поскольку на линейном пространстве все кососимметрические формы, степень которых равна размерности пространства, пропорциональны, между любой я-формой ш, заданной на )е-мерной ориентируемой поверхности Я, и формой объема Й на Я имеется связь ы = р11, где р — некоторая, зависящая от ю функция на Я. Значит, т.
е. любой интеграл второго рода может быть записан в виде соответ- ствующего интеграла первого рода. Пример 1. Интеграл (2') ~1, выражалощий работу на пути у (а, Ь) — ~ К", можно записать в виде интеграла первого рода (12) где в — натуральный параметр на Т, дв — злемент (1-форма) длины, а е — единичный вектор скорости, несущий в себе всю информацию об ориентации 1.
С точки зрения физического смысла решаемой интегралом (12) задачи он столь же выразителен, как и интеграл (1) ~1. 12. ФОРМА ОБЪЕМА, ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА 277 Пример 2. Поток (3), 8 1 поля скоростей к' через ориентированную единичными нормалями тз(х) поверхность Я С У." можно записать в виде поверхностного интеграла (к,и) йт (13) первого рода. Информация об ориентации Я заключена здесь в направлении поля нормалей ть. Геометрическое и физическое содержание подынтегрального выражения в (13) столь же прозрачно, как и соответствующий смысл подынтегрального выражения окончательной вычислительной формулы (6) 81. Для сведения читателя отметим, что довольно часто встречаются обозначения сЬ:= е сЬ, йт:= и йт, вводящие векторный элемент длины и векторный элемент площади соответственно.
В этих обозначениях интегралы (12), (13) имеют вид (Е, дл) и (к',йт), наиболее удобный с точки зрения физической интерпретации. Для краткости скалярное произведение (А,.В) векторов А, В часто записывают символом А. В. Пример 3. Закон Фарадел1) утверждает, что электродвижущая сила, возникающая в замкнутом проводнике Г, находящемся в переменном магнитном поле В, пропорциональна скорости изменения потока магнитного поля через ограниченную контуром Г поверхность Я. Пусть Š— вектор напряженности электрического поля. Точная запись закона Фарадея с учетом ориентации и принятых выше обозначений может быть представлена в виде равенства д Е дя= — — ~ В йт. а/ г Я Кружок в знаке интеграла по à — дополнительное напоминание о том, что интеграл берется по замкнутому контуру.
Работу поля вдоль '1М. Фарадей (1791 — 1867) — выдающийся английский физик, создатель учения оо электромагнитном поле. 278 ГЛ. ХП1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ замкнутого контура часто называют циркуляцией полл вдоль этого контура. Так что по закону Фарадея циркуляция напряженности электрического поля, порожденного в замкнутом проводнике Г переменным магнитным полем, равна взятой с обратным знаком скорости изменения потока напряженности магнитного поля через натянутую на контур Г поверхность Я.
Пример 4. Закон Ампера' ) В сЬ = — 7 йг Мы рассмотрели интегралы первого и второго рода. Читатель мог заметить, что это терминологическое различие очень условно. Реально мы умеем интегрировать и интегрируем только дифференциальные формы. Ни от чего другого интеграл и не берется (если интеграл претендует на независимость от выбора системы координат, используемой при его вычислении). Задачи и упражнения 1. Дайте формальное доказательство равенств (7) и (9). 2. Пусть 7 — гладкая кривая, дз — элемент длины на 1. а) Покажите, что < ~ )~(з)(сЬ / 7'(з) сЬ для любой функции )' иа 7, для которой оба интеграла определены. Ь) Проверьте, что если ~Д(з)~ < М на 7, а 1 — длина кривой у, то / 1(з) дз < М1.
ПА. М. Ампер (1775 — 1836) — французский физик и математик, один из осиовоположииков современной электродинамики. (где  †вект напряженности магнитного поля, 7 †вект плотности тока, ее, с — размерные постоянные) утверждает, что циркуляция напряженности, порожденного электрическим током магнитного поля вдоль контура Г, пропорциональна силе тока, протекающего через ограниченную контуром Г поверхность Я. 12. ФОРМА ОБЪЕМА, ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА 279 с) Сформулируйте и докажите аналогичные а) и Ь) утверждения в общем случае интеграла первого рода, взятого по Й-мерной гладкой поверхности.
3. а) Покажите, что координаты (хе, хо~, хо~) центра масс, распределенных с линейной плотностью р(х) вдоль кривой 7, следует искать из соотношений хе ~ р(х) 4л = / х'р(х) 4л, 1 = 1, 2, 3. Ь) Запишите уравнение винтовой линии в йз и найдите координаты центра масс куска этой линии, считая, что масса распределена вдоль кривой с постоянной плотностью, равной единице.
с) Укажите формулы для центра масс, распределенных по поверхности Я с поверхностной плотностью р, и найдите центр масс, равномерно распределенных по поверхности полусферы. 4) Укажите формулы для момента инерции массы, распределенной с плотностью р по поверхности Я. е) Покрышка колеса имеет массу 30кг и форму тора, внешний диаметр которого 1 м, а внутренний 0,5 м. При балансировке колеса его устанавливают на балансировочный станок, раскручивают до скорости, отвечающей скорости движения порядка 100 км/час, и затем останавливают тормозными колодками, трущимися о стальной диск, диаметр которого 40 см, а ширина 2 см.
Оцените температуру, до которой нагрелся бы этот диск, если бы вся кинетическая энергия раскрученной покрышки при остановке колеса ушла на нагревание диска. Удельную теплоемкость стали считать равной с = 420 Дж/(кг К). 4. а) Покажите, что силу, действующую на точечную массу тш расположеннУю в точке (хщ Уо, зе), со стоРоны матеРиальной кРивой Ъ имеющей линейную плотность р, следует искать по формуле Е = С7по ~ — гдл, р / ~г~з где С вЂ” гравитационная постоянная, а г — вектор с координатами (х — хе, у— — уо, з — зо). Ь) Напишите соответствующую формулу в случае, когда масса распределена по поверхности Я. с) Найдите гравитационное поле однородной материальной прямой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
