1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Ь) Выведите из а) формулу Дх) Нх = ~ у(х(1))/с1есх (1)~а замены переменных в двойном интеграле. 6. Пусть 1(х, у, 1) — гладкая функция, удовлетворяющая в области определения условию Я) + ~д~~) ф О. Тогда при каждом фиксированном значении параметра 1 уравнение 1(х, у,1) = О задает кривую "д в плоскости Иэ. Так на плоскости возникает семейство ( 1с) кривых, зависящих от параметра Ь в 3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА 299 Гладкая кривая Г С К~, задаваемая параметрическими уравнениями х = х(г), у = у(С), называется огибающей семейства кривых ( и), если при любом значении йо из совместной области определения ( ус) и функций х(с), у(г), точка х(го), у(го) лежит на соответствующей кривой ус и кривые Г и во касаются в этой точке. а) Считая, что х, у — декартовы координаты на плоскости, покажите, что задающие огибающую функции х(с), у(~) должны удовлетворять системе уравнений а сама огибающая с геометрической точки зрения есть граница проекции (тени) поверхности у(х,у,г) = О пространства Кз, „, на плоскость Кз, „ .
Ь) В плоскости с декартовыми координатами х, у дано семейство прямых хсово + увшо — р(о) = О. Роль параметра здесь играет полярный угол о. Укажите геометрический смысл величины р(о) и найдите огибающую этого семейства, если р(о) = с+ асово + Ьвшо, а, О, с — постоянные. с) Опишите зону досягаемости снаряда, который может быть выпущен из зенитного орудия под любым углом р Е (О, к/2] к горизонту. б) Покажите, что если функция р(о) из Ь) 2к-периодическая, то соответствующая огибающая Г является замкнутой кривой.
е) Используя задачу 4,покажите, что длина Т полученной в б) замкнутой кривой Г может быть найдена по формуле Ь = р(о) ао. о (Считайте, что р й СОО). () Покажите также, что площадь а области, ограниченной полученной в б) замкнутой кривой Г, может быть вычислена по формуле 2! 11 г о 7. Рассмотрим интеграл )' ~~ф-~) бв, в котором у — гладкая кривая в Кз, ч г — радиус-вектор точки (х, у) Е Т, г = ~г~ = ~/ха + уз, п — единичный нормальный вектор к у в точке (х,у), меняющийся непрерывно вдоль у, бв— элемент длины кривой. Этот интеграл называется интегралом Гаусса. а) Запишите интеграл Гаусса как поток ) (Ъ~, н) Нв плоского векторного 7 поля Ъ' через кривую у.
ЗОО ГЛ. ХП1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Ь) Покажите, что в декартовых координатах х, у интеграл Гаусса имеет » у уу»»» ° у»="Ф.у-»а, у у х -»-у ется выбором поля нормалей п. с) Вычислите интеграл Гаусса для замкнутой кривой ч, один раз обходящей начало координат, и для кривой у, ограничивающей область, которая не содержит начала координат. »1) Покажите, что ~~ф-~)»1в = Жр, где у) — полярный угол радиус-вектора г, и укажите геометрический смысл значения интеграла Гаусса для замкнутой и для произвольной кривой э С К . 8. При выводе формулы Гаусса-Остроградского мы считали, что Р— простая область, а функции Р, Я, К принадлежат классу СО1(11,К).
Покажите, усовершенствовав рассуждения, что формула (6) верна, если Р— компактная область с кусочно гладкой границей; Р, Щ К 6 С(Р, К); д —, -дь, дР дю х' ду' ан а-; 6 С(Р, К); а тройной интеграл сходится хотя бы как несобственный. 9. а) Если функции Р, Я, В в формуле (6) такие, что д- + у + д-; — — 1, дР де) дй то объем Ъ'(Р) области Р можно найти по формуле »»Б) =»» Руу у*-';ау* »*»ау* уу, в»э Ь) Пусть Дх, Ь) — гладкая функция переменных х е Р, С К,", Ф е Р» С К»", причем д~ = ( ~-,..., ~~~) ф О. Напишите систему уравнений, которой а» должна удовлетворять (и — 1)-мерная поверхность в К",, являющаяся огибающей семейства поверхностей (5»), задаваемых условиями Дх, ») = О, М 6 Р, (см. задачу 6).
с) Выбирая в качестве параметра 1 точку на единичной сфере, укажите такое семейство плоскостей в Кг, зависящих от параметра 1, огибающей коз г тоРого бь»л бы эллипсоиД -*-~ + Уу + ~ч — — 1. а Ь с »1) Покажите, что если замкнутая поверхность Я является огибающей семейства плоскостей сое»»»(8)х + сов ог(1)у + сое»»г(1)г — р(1) = О, где»»», »»г, »»г — углы, которые нормаль к плоскости образует с осями координат, а параметром Ь является переменная точка единичной сферы Яг С Кз, то площадь»у поверхности Я можно найти по формуле»у = ) р(1)»1д. вг е) Покажите, что объем тела, ограниченного рассмотренной в»)) поверхностью 5, можно найти по формуле И = З ) р(1)»к». зЗ.
ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА 301 1) Опробуйте указанную в е) формулу, отыскав по ией объем зллипсоида хз 3 хз х +у +х Е) Как выглядит и-мериый аналог формул, указанных в б) и е)? 10. а) Используя формулу Гаусса — Остроградского, проверьте, что поток поля т[г (где т — радиус-вектор точки х В й', а г = ]г]) через гладкую, гомеоморфиую сфере поверхность Я, охватывающую начало координат, равен потоку этого же поля через поверхность сколь угодно малой сферы ]х[ = е. Ь) Покажите, что указанный в а) поток равен 4к. с) Проиитерпретируйте интеграл Гаусса ] — ~-' — ~ Ив в йз как поток поля в г1гз через поверхность Я.
б) Вычислите интеграл Гаусса по границе компактной области Р С жз, рассмотрев как случай, когда Р содержит внутри себя начало координат, так и случай, когда начало координат лежит вие области Р. е) Сопоставляя задачи 7 и 10 а) — б), укажите и-мериый вариант интеграла Гаусса и соответствующего векторного поля. Дайте и-мерную формулировку задач а) -Й) и проверьте ее. 11. а) Покажите, что замкнутая жесткая поверхность Я С Кз остается в равновесии при действии равномерно по ией распределенного давления.
(На основании принципов статики задача сводится к проверке равенств Ц и Йт = в = О, )1~[г, п] Но = О, где п — вектор единичной нормали, г — радиус-вектор, в [г, и] — векторное произведение г и п.) Ь) Твердое тело объема $' полностью погружено в жидкость, имеющую удельный вес 1. Покажите, что полный статический эффект давления жидкости иа тело сводится к одной силе 1г величины ~; иаправлеииой вертикально вверх и приложенной к центру массы С объемной области, занимаемой телом.
12. Пусть Г: 1" -в Р— гладкое (ие обязательно гомеоморфиое) отображение промежутка 1л С й~ в область Р пространства И", в которой определена /с-форма ы. По аналогии с одномерным случаем отображение Г будем называть к-путем и положим по определению [ ы = [ Г*ю. Просмотрите дог ел казательство общей формулы Стокса и убедитесь, что оиа верна ие только для к-мерных поверхиостей,ио и для й-путей. 13. Используя общую формулу Стокса, докажите по индукции формулу замены переменных в кратном интеграле (приицип доказательства указан в задаче 5 а)). 14.
Интегрирование по частям в кратном интеграле. Пусть Р— ограниченная область в И с регулярной (гладкой или кусочно гладкой) границей дР, ориентированной внешней едииичиой нормалью и = = (и',..., и™). Пусть 1, д — гладкие функции в Р. 302 ГЛ. Х111. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ а) Покажите, что ~д1 1~= / У *1. Ь) Докажите следуюшую формулу интегрирования по частям: (д;У)д Не = / 1ди' сЬ вЂ” / у 1д,д) с10. ео ГЛАВА Х1Ъ' ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ 3 1.
Дифференциальные операции векторного анализа 1. Скалярные и векторные поля. В теории поля рассматриваются функции х + Т(х), которые каждой точке х фиксированной области Р сопоставляют некоторый специальный объект Т(х), называемый теизором. Если в области Р задана такая функция, то говорят, что в Р задано тензорное поле.
Мы не намерены здесь давать определение тензора — оно будет рассмотрено в алгебре и дифференциальной геометрии. Скажем только, что числовые функции Р 3 х ~-+ у(х) Е К„ а также вектор-функции К" З Р Э х > Ъ'(х) Е Т3Ц = К" являются частными случаями тензорных полей и называются соответственно скаллрнь м и векторным полем в области Р (зту терминологию мы употребляли и раньше). Дифференциальная р-форма м в Р есть функция К" З Р Э х + ~-) ш(х) е ь((Ко)о, К), которую можно назвать полем форм степени р в области Р. Это тоже частный случай тензорного поля. Здесь мы прежде всего будем интересоваться скалярными и векторными полями в областях ориентированного евклидова пространства К".
Эти поля играют первостепенную роль во многих естественнонаучных приложениях анализа. 2. Векторные поля и формы в Кз. Напомним, что в евклидовом векторном пространстве К~ со скалярным произведением (, ) между линейными функциями А: Кз -+ К и векторами А б Кз имеется со- 304 ГЛ. Х1У. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ а~,'~(х)(~) = (А(х),(), ~в(хН6,(г) = (В(х),44,(г), (1) (2) где А(х), В(х), г, гм гг Е ТР*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
