1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 58
Текст из файла (страница 58)
37 Я= —. го 3. 7хЯ= ' . дг 2. ~7 В=О. 1 дя1 (12') 4. гухВ= — + — —. сос2 с2 дг ' 4. Некоторые дифференциальные формулы векторного анализа. В евклидовом ориентированном пространстве йз мы установили связь (1) — (4) между формами, с одной стороны, и векторными и скалярными полями — с другой. Это позволило внешнему умножению и дифференцированию форм сопоставить соответствующие операции над полями (см.
формулы (5), (6) и (9) — (11)). Этим соответствием можно пользоваться для получения ряда основных дифференциальных формул векторного анализа. Например, имеют место следующие соотношения: го$(7А) = 7" го1 А — А х 8гаг) 7', Жч(7'А) = А 8гаг1 7" + 7" г1п А, г1гг(А х В) = В гог А — А го1 В. (17) (18) (19) < Проверим последнее равенство: огг11гАхВ ггогАхВ ЯогА д огВ) г1огА д шВ огА А г1ыВ 1 2 1 1 2 3 3 3 ыгогА А ыВ ыА А оггосВ огВ госА шА госВ ыВ гогА-А госВ Аналогично проверяются и первые два соотношения.
Разумеется, проверку всех этих равенств можно осуществить и непосредственным дифференцированием в координатах. ~ Если учесть, что г12ы = 0 для любой формы ы, то можно также утверждать, что справедливы равенства (20) (21) го18гаг17" = О, йч гоС А = О. Пример 2. В записи (12) системы уравнений Максвелла участвовали только операторы го1 и г1пг. Используя описанные принципы обращения с оператором гу = 8гаг1, мы в качестве компенсации для оператора 8гаг1 перепишем систему Максвелла в следующем виде: 312 ГЛ. Х1У.
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ < Действительно: оггог ягао' 7 гйггягаа 7 с1(с1огг ) 11 огу 0~ 2 1 О 2 О оза1ч гос А агогог А = гг(гкггА) = гг огА = 0 3 2 1 2 1 В формулах (17) — (19) операторы атас(, гог, с)1ч применяются однократно, в то время как в (20) и (21) рассматриваются операции второго порядка, получающиеся последовательным выполнением каких-то двух из трех исходных операций. Кроме приведенных в (20) и (21), можно рассмотреть также следующие парные комбинации этих операторов: ягас1 Жч А, гог гог А, Жч ятах) 7'.
(22) Оператор йч ягас( применяется, как видно, к скалярному полю. Этот оператор обозначают буквой Ь (лдельтаз) и называют оператором Лапласа ) или лапласнаном. Из формул (9'), (11') следует, что в декартовых координатах д2~ дз~ дз~ д(хг)2 д(х2)2 д(хз)2' (23) ,лгА = е1г."1А1 + езглА2 + езЬАз С учетом последнего равенства„для тройки операторов второго порядка (22) можно выписать следующее соотношение: (24) го1го1А = ЕгаййчА — ЬА, на доказательстве которого мы не останавливаемся (см. задачу 2). Ра- венство (24) может служить определением ЬА в любой, не обязательно ортогональной системе координат.
ПП.С.Лаплас (1749 — 1827) — знаменитый французский астроном, математик и физик; внес фундаментальный вклад в развитие небесной механики, математической теории веролтностей, экспериментальной и математической физики. Поскольку оператор Ь действует на числовые функции, его можно применять покомпонентно к координатам векторных полей А = е1А1+ + е2А + езАз, где е1, е2, ез — ортонормированный базис в йз. В этом случае 1Ь ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 313 Используя язык векторной алгебры и формулы (14) — (16), все операторы второго порядка (20) †(22) можно записать через оператор Гамильтона гу: гос игаса 7' = ~7 х ~~ = О, Мгго1 А = ~7 (~7 х А) = О, ягад с11ч А = ~7 (17 А), го1го1А = г7 х (~7 х А), йчбгаг1~ = г7.
Г77'. С точки зрения векторной алгебры обращение в нуль первых двух из этих операторов представляется вполне естественным. Последнее равенство означает, что между оператором Гамильтона ~7 и лапласианом Ь имеется простая свяэгс *5. Векторные операции в криволинейных координатах а. Подобно тому, как, например, сфера х~ + уз + г~ = а~ имеет особенно простое уравнение В = а в сферических координатах, векторные поля х + А(х) в кз (или К" ) часто приобретают наиболее простую запись в системе координат, отличной от декартовой.
Поэтому мы хотим теперь найти явные формулы, по которым можно было бы находить ягаг1, го$ и с1п в достаточно широком классе криволинейных координат. Но прежде надо уточнить, что понимается под координатной записью поля А в той или иной системе криволинейных координат.
Начнем с двух наводящих примеров описательного характера. Пример 3, Пусть на евклидовой плоскости к~ фиксированы декартовы координаты х", хз. Когда мы говорим, что в Н2 задано векторное поле (А',Аз)(х), то мы имеем в виду, что с каждой точкой х = (х',х~) е к~ связан некоторый вектор А(х) е ТК~~, который в базисе пространства Тж', состоящем из ортов е1(х), ез(х) координатных направлений, имеет разложение А(х) = Аг(х)е1(х) + Аз(х)ез(х) (рис. 91). В данном случае базис (е1(х), еэ(х)) пространства Тк~, по существу, не зависит от точки х.
Пример 4. В случае, когда в той же плоскости к' задается полярная система координат (г, у), с каждой точкой х Н к~ '1 0 тоже мож- 314 ГЛ. Х1У. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ ег(х) о Е1 Рис. 92. Рис. 91. но связать орты е1(х) = е„(х), ег(х) = е„,(х) (рис.92) координатных направлений. Они тоже образуют базис в Тжг, по которому можно разложить связанный с точкой х вектор А(х) поля А: А(х) = А1(х)е1(х)+ + Аг(х)ег(х).
Тогда упорядоченную пару функций (А1, Аг)(х) естественно считать записью поля А в полярной системе координат. Так, если (А1, Аг)(х) = (1, 0), то это поле единичных векторов в Кг, идущих в радиальном направлении в сторону от центра О. Поле (А", Аг)(х) = (О, 1) получается из предыдущего поля поворотом каждого его вектора против часовой стрелки на угол я/2. Это не постоянные поля в ж~, хотя компоненты их координатного представления постоянны. Дело все в том, что базис, по которому идет разложение, синхронно с вектором поля меняется при переходе от точки к точке. Ясно, что компоненты координатного представления этих полей в декартовых координатах вовсе не были бы постоянными.
С другой стороны, действительно постоянное поле (состоящее из параллельно разнесенного по точкам плоскости вектора), которое в декартовых координатах имеет постоянные компоненты, в полярных координатах имело бы переменные компоненты. Ь. После этих наводящих соображений рассмотрим вопрос о задании векторных полей в криволинейных системах координат более формально.
Прежде всего напомним, что система криволинейных координат 1', гг, 1з в области Р С Кз — это диффеоморфизм 1г: В1 -+ В области Р1 евклидова пространства параметров Щ на область |), в результате ко- 1ь ЛНФФВРенциАльные ОпеРАции ВектОРнОГО АнАлизА 315 торого каждая точка х = у(1) Н й приобретает декартовы координаты 1ь 1з, 1з соответствУюЩей точки 1 Н Р,. Поскольку ~р — диффеоморфиэм, касательное отображение ф(1) ТК, -+ ТЯ~ является изоморфизмом векторных пространств. Каноническому базису ф~(й) = (1,0,0), (з(Ф) = (0,1,0), ~з(й) = (0,0,1) пространства Тух1 отвечает базис пространства ТК~ ~!,!, состоящий из векторов С,(х) = ~р'(1Щ1) = — Е;, г = 1,2,3, координатных направлений. Разложению А(х) = а1с1(х) + оз(з(х) + аз~э(х) любого вектора А(х) Н Т!!с-' по этому базису отвечает такое же разложение А(Ф) = а141(Ф) + аз6(1) + аз(з(8) (с теми же компонентами аь аг, аз!) вектора А(1) = (у') 'А(х) по каноническому базису (1(1), (з(Ф), ~з(1) в Т1я-,.
При отсутствии евклидовой структуры в !!~~ числа ам аз, аз составили бы наиболее естественную координатную запись вектора А(х), связанную с рассматриваемой системой криволинейных координат. с. Однако принятие такого координатного представления не вполне соответствовало бы тому, о чем мы договорились в примере 4. Дело в том,что базис (1(х), ~з(х), (з(х) пространства Тйз, соответствующий каноническому базису (1($), (з(~), (з(~) в ТЯ, хотя и состоит из векторов координатных направлений, вовсе не обязан состоять из о р т о в этих направлений, т. е., вообще говоря, ((;, г,;) (х) ф 1. Теперь мы учтем это обстоятельство, связанное с наличием структуры евклидова пространства в !йз и, следовательно, в каждом векторном пространстве ТЯ.
Благодаря изоморфизму ~р'(1): ТЯ -+ ТЖ~, в ТЯ можно перенести евклидову структуру пространства Тйз, положив для любой паРы вектоРов ть тг Е ТР~~ (ть тг):= (~Р'тм Р'тг) . В частности, ДлЯ квадрата длины вектора отсюда получается следующее выражение: (т,т) = (~р'(1)т,~р'(1)т) = ! .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
