1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Только теперь, чтобы вполне описать завихренность поля в окрестность точки, придется считать циркуляцию по контурам, лежащим в трех различных плоскостях. Реализуем сказанное. Возьмем круг о,(х) с центром в точке х, лежащей в плоскости, перпендикулярной к направлению г-й координатной оси, г = 1, 2, 3. Ориентируем Я;(х) с помощью нормали, в качестве которой возьмем орт е, этой координатной оси. Пусть Н вЂ” диаметр о;(х). Из формулы (4) для гладкого поля А сразу получаем, что 3 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 333 с. Градиент. О градиенте скалярного поля, т.е.
попросту о градиенте функции, мы в свое время уже довольно подробно говорили, поэтому здесь остается только напомнить главное. Поскольку ы'„,3 (~) = (ягаб |,с) = ф(() = 03|, где В37" — производная функции 7" по вектору (, то вектор игам|' ортогонален поверхностям уровня функции |, указывает в каждой точке направление наиболее быстрого роста значений функции, а его величина ~бгас1Д дает скорость этого роста (относительно единицы длины, которой измеряются смещения в пространстве изменения аргумента).
О градиенте как плотности будет сказано ниже. 3. Некоторые дальнейшие интегральные формулы а. Векторные варианты формулы Гаусса — Остроградского. Истолкование ротора и градиента как некоторых плотностей, аналогичное истолкованию (6) дивергенции как плотности, можно получить из следующих классических формул векторного анализа, связанных с формулой Гаусса — Остроградского: | ~7 Ю Н$' = йг Ю (теорема о дивергенции), Ъ' а« | ~7 х Асй' = с~о х А (теорема о роторе), (8) ла. При этом любое вращение можно реализовать как вращение вокруг некоторой оси. Любая гладкая деформация среды (течение жидкости или газа, оползание грунта, изгибание стального стержня) локально линейка.
С учетом сказанного и примера 3 можно заключить, что если имеется векторное поле, описывающее движение среды (поле скоростей точек среды), то ротор этого поля в каждой точке дает мгновенную ось вращения окрестности точки, величину мгновенной угловой скорости и направление вращения вокруг мгновенной оси. То есть ротор полностью характеризует вращательную часть движения среды. Это будет несколько уточнено ниже, когда будет выяснено, что ротор следует рассматривать как некоторую плотность распределения локальных вращений среды. 334 ГЛ.
Х1У. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ '(77'гЛ' = Йг7" (теорема о градиенте). (10) Первое из этих трех соотношений с точностью до обозначений совпадает с равенством (5') и является формулой Гаусса в Остроградского, Векторные равенства (9), (10) вытекают из (8), если применить эту формулу к каждой компоненте соответствующего векторного поля. Сохраняя те же обозначения Ъ'(х), г1, что и в равенстве (6), из формул (8) — (10) единообразно получаем (' 1.В ~7 ..В(и) = 1пп ди~*) д-~о Ъ'(х) йг х А 17 х А(х) = 1пп дъ'(х) д-~о Ъ'(х) ~Дх) = 1пп 4-~о Ъ'(Я) (6') (12) Правые части равенств (8) — (10) можно интерпретировать соответственно как скалярный поток векторного поля В, как векторный поток векторного поля А и как векторный поток скалярного поля 7" через поверхность д$', ограничивающую область $'.
Тогда величины йчЮ, гоФ А, Его,7', стоящие в левых частях равенств (6'), (11), (12), можно интерпретировать как соответствующие плотности распределения источников этих полей. Заметим, что правые части соотношений (6'), (11), (12) не зависят от системы координат. Отсюда вновь можно сделать вывод об инвариантности градиента, ротора и дивергенции. Ь. Векторные варианты формулы Стокса. Подобно тому, как формулы (8) — (10) были результатом совмещения формулы Гаусса — Остроградского с алгебраическими операциями над векторными и скалярными полями, следующая тройка формул получается совмещением этих же операций с классической формулой Стокса (которая выступает в качестве первого из этих трех соотношений). 335 12, ИНТЕГРАЛ ЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ йт (~7хА)= дз А, 3 дз | (йтх17)хЯ= с~зхЯ, 3 дя | йт х ~7 | = дз у.
3 дз (13) (14) (15) м лы Стокса,13). На их дока- Формулы (14), (15) вытекают из формулы Ст к ). зательстве мы здесь не останавливаемся. лы ина. Если д — некоторая поверхность, а и — едис. Формулы Грина. сли Р 7" функции 7" по век- ничный вектор нормали к, р к д то производную м дд~. Например, сего записывают символо тору и в теории поля чаще в и — Р йг — йт. аким о д1 Т (~71,йт) = (х77",и) йт = (ягзг( 7",и) йт = м ~ аг17" через элемент йт поверхности. зом, м йт есть поток поля яг ть сле ющие достаточно широ- В этих о В бозначениях можно записать следующи оля о мулы ина: орном анализе и теории поля р ко используемые в векторн ~~'~ "~+1 ~|"~ 1(~~) ~| д ( .
йт = д — йт, (16) а~ дг (д ~2 ~ ~ ~72д) 1 ( о,~ дд'1 й,~~ 17) ~ дп дп/ (' ат ожить | = д, а в (17) положить д = 1, В частности, если в (16) положить = д, — очно гла кая компактная ориентированная поверх- Пусть Я вЂ” (кусочно) гладкая комп до' йт — векторный элеиентированным краем, о — в к ность с согласованно ор р — емент длины мент площ д о а и на поверхности о' а гЬ вЂ” векторныи зл л й А Ю,,| имеют место соотношения на дд. Тогда для гладких полей,, имеют м 336 ГЛ. Х1Ч, ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ то соответственно получим ~АУ~ сЛ'+ ~Ь|сЛ' = У~7У. с(о = ~ — с(п, (16') Ъ и дЪ' д~ Ь| сЛ' = Т7~ с(сг = — сЬ Ъ' д дк (17') Последнее равенство часто называют теоремой Гаусса.
Докажем, например, второе из равенств (16), (17): (д 177" — )'~7д) с(о = ~7 (д~77' — ~~7д) сЛГ = ди Ъ (~д ~ ) + 9~2 г ~ )' л д )'~72д) ( ~2У )~72 ) Л ° ( „)У У~ ) Л~. Мы воспользовались формулой Гаусса — Остроградского и тем, что ~7 (уА) = ~7~р А+~р'~7 А. ~ Задачи и упражнения 1. Исходя из формулы Гаусса — Остроградского (8), докажите соотношения (9), (10). 2. Исходя из формулы Стокса (13), докажите соотношения (14), (15).
3. а) Проверьте, что формулы (8), (9), (10) остаются в силе и для неограниченной области И, если подынтегральные функции в поверхностных интегралах имеют порядок О ~ — ~ при г -+ со. (Здесь г = 1г~, г — радиус-вектор /11 ~„з/ точек пространства Из.) Ь) Проверьте, остаются ли в силе формулы (13), (14), (15) для некомпактной поверхности о' С И®, если подынтегральные функции в криволинейных интегралах имеют порядок О ~ — ~ при т -+ со.
/11 Ь,l с) Приведите примеры, показывающие,что для неограниченных поверхностей и областей формулы Стокса (4') и Гаусса — Остроградского (5'), вообще говоря, несправедливы. 32. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 337 4. а) Исходя из интерпретации дивергенции как плотности источников, объясните, что уравнение 2 системы (12) 3 1 уравнений Максвелла подразумевает отсутствие у магнитного поля точечных источников (т.е.магнитных зарядов не бывает). Ъ) Используя формулу Гаусса — Остроградского и систему (12) 2 1 уравнений Максвелла, покажите, что никакая жесткая конфигурация пробных зарядов (например, один заряд) не может находиться в состоянии устойчивого равновесия в области электростатического поля, свободной от (других) зарядов, создающих это поле.
(Предполагается, что никакие иные силы, кроме создаваемых полем, при этом на систему не действуют.). Этот факт известен как теорема Ирниюу. 5. Если электромагнитное поле стационарно, т.е. не зависит от времени, то система (12), 3 1 уравнений Максвелла распадается на две независимые части — систему ~7 Е = Р-, 17 х Е = 0 уравнений электростатики и систему ео' ~7 х Ю = — л-у, ~7 .
Ю = 0 уравнений магнитостатики. еое Уравнение ~7 Е = р/ео, где р — плотность распределения зарядов, по формуле Гаусса — Остроградского преобразуется в соотношение 1' Е йт = Ч/ео, я где слева стоит поток напряженности электрического поля через замкнутую поверхность о, а справа — сумма Я зарядов, попавших в область, ограниченную поверхностью Я, деленная на размерную постоянную ео. В электростатике это соотношение обычно называется законом Гаусса. Используя закон Гаусса, найдите электрическое поле Е а) создаваемое однородно заряженной сферой, и убедитесь, что вне сферы оно совпадает с полем точечного заряда той же величины, помещенного в центре сферы; Ь) однородно заряженной прямой; с) однородно заряженной плоскости; с1) пары параллельных и однородно заряженных зарядами противоположного знака плоскостей; е) однородно заряженного шара.
6. а) Докажите формулу Грина (16). Ь) Пусть / — гармоническая в ограниченной области И амуниция (т.е. 7 удовлетворяет в И уравнению Лапласа сху" = 0). Покажите, исходя из равенства (17'), что поток градиента этой функции через границу области И равен нулю. с) Проверьте, что гармоническая в ограниченной связной области функция определяется с точностью до аддитивной постоянной значениями своей нормальной производной на границе этой области. с1) Исходя нз равенства (16'), докажите, что если гармоническая в ограниченной области функция на границе области всюду равна нулю, то она тождественно равна нулю во всей этой области.
е) Покажите, что если на границе ограниченной области значения двух 338 ГЛ. Х1У. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ гармонических в этой области функций совпадают, то эти функции совпадают во всей области. 1) Исходя из равенства (16), проверьте следующий принцип Дирихле: среди всех непрерывно дифференцируемых в области функций, принимающих заданные значения на границе области, наименыаее значение интегралу Дирихле (т. е. интегралу от квадро»па модуля градиента функции по области) доставляет гармоническал в области функция и только она. 7.
а) Пусть т(р, д) = ~р — д~ — расстояние между точками р,д евклидова пРостРанства Кз. ФиксиРовав точкУ Р, полУчим фУнкцию тр(д) точки д 6 К . Покажите, что с»т '(д) = 4кб(р; д), где б — дельта-функция. Ъ) Пусть д — гармоническая в области И функция. Полагая в формуле (17) 1 = Цтр, с Учетом пРеДыДУЩего РезУльтата полУчаем 1 1 4кд(р) = д»7 — — — ~7д дст. т„тр Докажите это равенство аккуратно. с) Выведите из предыдущего равенства, что если Я вЂ” сфера радиуса В с центром в точке р, то 1 д(р) = / ддо. 5 Это так называемая теорема о среднем для гармонических функций. д) Исходя из предыдущего результата, покажите, что если  — щар, ограниченный рассмотренной там сферой 5, а 1т(В) — его объем, то справедливо также равенство 1 1(В) / д в е) Если р, д — точки евклидовой плоскости Кз, то вместо рассмотренной в а) функции — (отвечающей потенциалу заряда, помещенного в точку р) 1 возьмем теперь функцию!и — (отвечающую в пространстве потенциалу рав- 1 тр номерно заряженной прямой).
Покажите, что»з1п „~ = 2кб(р;д), где б(р; д) в данном случае есть дельта-функция в Кг. 1) Повторив проведенные в а), Ь), с), с1) рассуждения, получите теорему о среднем для функций, гармонических в плоских областях. 8. Многомернал тпеорема Коши о среднем. Классическая теорема о среднем для интеграла (»теорема Лагранжа») утверждает, что если функция у: Р— » К непрерывна на компактном, измеримом и связном множестве Р С К" (например, в области), то найдется такая точка с ч Р, что 339 13. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ где 1Р( †ме (объем) Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
