1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Мы видим уже знакомые нам форму работы ы' = о~4~ векторного поля А и форму потока аР = юд~ векторного поля В. Скалярному полю 1: Р -+ К можно следующим образом сопоставить 0-форму и 3-форму в Р; (3) (4) где Н$" — элемент объема (форма объема) в ориентированном евклидо- вом пространстве Кз.
ответствие, состоящее в том, что каждая такая функция имеет вид А(() = (А, г), где А — вполне определенный вектор из Кз. Если пространство еще и ориентировано, то каждая билинейная функция В: Кз х Кз — > К однозначно записывается в виде В(~1, (з) = = (В,с1, (з), где  — некоторый, вполне определенный вектор из Кз, а (.В, г1, (г), как всегда, — смешанное произведение векторов .В, (1, г2 или, что то же самое, значение формы объема на этих векторах. Таким образом, в ориентированном евклидовом векторном пространстве Кз с каждым его вектором можно указанным способом связать линейную или билинейную форму, а задание линейной или билинейной формы равносильно заданию соответствующего вектора в Кз. Если в Кз имеется скалярное произведение, то оно естественным образом возникает и в любом касательном пространстве ТЯ, состоящем из векторов, приложенных к точке х е К3, а ориентация К ориентирует каждое пространство ТМ'.
Значит, если в ТКз задать 1-форму ы4(х) или 2-форму ыР(х), то при перечисленных условиях это равносильно заданию в ТКз некоторого вектора А(х) Е ТК~, соответствующего форме ы'(х), или вектора В(х) Е ТК„отвечающего форме ю~(х). Следовательно, задание в некоторой области Р ориентированного евклидова пространства Кз 1-формы ы' или 2-формы аР равносильно заданию в Р соответствующего форме векторного поля А или В. В явном виде это соответствие состоит в том, что 2 1.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 305 Ввиду соответствий (1) — (4) операциям над формами отвечают определенные операции над векторными и скалярными полями. Это наблюдение, как мы вскоре убедимся, технически очень полезно. 'Утверждение 1. Линейной комбинации форм одинаковой степени отвечает линейная комбинация соответствуюи1их им векторных или скалярных полей.
~ Утверждение 1, конечно, очевидно. Приведем, однако, например, для 1-форм полную запись доказательства: а1а1А, + оза1А, — — а1(А1, ) + а2 (А2, ) = 1 1 (о1 41 + о2 ~2~ ' ) а1а1А1-~-арАг' Утверждение 2. Если А, В, А1, А2 — векторные поля в евклидовом ориентированном пространстве Кз, то 1 1 2 а1А1 Л а1А2 1оА1хАт~ 1 2 3 1оА Л а' — — а1А В. (5) (б) Иными словами, внешнему произведению 1-форм, порожденных полямн А1, А2, отвечает векторное произведение А1 х А2 этих полей, поскольку именно оно порождает получаемую в результате 2-форму. В этом же смысле внешнему произведению 1-формы ы14 и 2-формы ыВ, порожденных векторными полями А и В соответственно, от- 2 нечаст скалярное произведение А В этих полей. м Для доказательства фиксируем в Кз ортонормированный базис и отвечаюшую ему декартову систему координат х', х2, хз.
В декартовых координатах а1А(х)(() = А(х) ( = ~> А'(х)~' = ~> А'(х) дх'(е), Из доказательства видно, что а1 и а2 можно считать функциями (не обязательно постоянными) в области В задания форм и полей. Для сокращения записи условимся, наряду с уже используемыми символами (, ), [, ], скалярное и векторное произведения векторов А и В в Кз, когда это будет удобно, обозначать соответственно через А ВиАхВ. 306 ГЛ, Х1Ч. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ т. е.
А1 Цх1 + А2 Дхг + АЗ Дхз (7) 111(х) Нг(х) Нз(х) ~1 ~2 ~3 ~1 ~2 ~3 ь1в(хн41 42) = ~1(х) ( 2 А ( 3 + Нг( ) ~ 3 А 1х1+ НЗ(х),1 1 Д,1хг)(~ ~ ) т. е. „2 Д1А 2А ~ 3+юг 1хЗА,1 1+Нз 1 1 (8) 11оэтому в декартовых координатах, с учетом выражений (7) и (8), получаем (А1,1,1+Аг,1 г+Аз,~ з) А(А1,1 1+Аз„г Аз„з) (АгАз ~з ~г),~ гА,~ з+(4зА1 А1АЗ),1хзА,~ 1+ + (А,А2 — А1А2) дх А дх = ь1В, а,л1 А а,г = (А181+ А21зг+ Азиз) лх1 А,1хг А <~хз = а,з я В декартовых координатах дх1А 11хг А дхз есть форма объема в Ф, а стоящая в скобке перед формой объема сумма попарных произведений координат векторов А и Ю есть скалярное произведение этих векторов в соответствующих точках области, откуда следует, что р(х) = = А(х) Ю(х). ~ где лг = А1 х Аг. Координаты были использованы при доказательстве лишь для того, чтобы проще было найти вектор .В соответствующей 2-формы.
Само же равенство (5) от координат, разумеется, не зависит. Анаяогично, перемножив равенства (7) и (8), получим 31. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 307 3. Дифференциальные операторы игад, гог, с11зг и 37 о г'г'11 агягаа 7 ~ г ггЫА Ыго1 А г г, з игОВ 'а! В (9) (10) (11) В силу установленного равенствами (1) — (4) соответствия между формами, скалярными и векторными полями в йз, соотношения (9)— (11) являются корректным определением операций 8гзг(, гог и 11пг, выполняемых соответственно над скалярным полем и векторными полями. Эти операции, или, как говорят, операгпоры теории полл, отвечают одной операции внешнего дифференцирования форм, только применяемой к формам различной степени.
Укажем сразу же явный вид этих операторов в декартовых координатах х1,хз,хз пространства 113. Как мы выяснили, в этом случае агу = гг о агА = А'г1х" +А Дх +А дх~ 2 В1д 2Лд 3+Взад 3~ д 1+ ВЗд 1Лд 2 го~а = рах Л дх~ Л дх~. (3') (7') (8') (4') Поскольку ау .— — Йыу — — г(7" = — ах + — Йх + — Йх, о дУ , дУ 2 д7 3 ага ' Д .1 Д .2 Д З то из (7') следует, что в этих координатах ду ду ду 8га11 2 = е1 — + е2 — + ез —, дхг Дхз дхз ' (9') где е1, е2, ез — фиксированный в 1аз ортонормированный базис. Определение 1. Внешнему дифференцированию 0-форм (функций), 1-форм и 2-форм в ориентированном евклидовом пространстве 1гз отвечают соответственно операции нахождения ерадиепта (8гаг1) скалярного поля, ротора (гоГ) и дивереенг3ии (Жи) векторного поля, определенные соотношениями 308 ГЛ.
ХГЧ. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ Поскольку ш,,я .'— — Ж~Л = г(А ах +А ах +А дх ) = то из (8') следует, что в декартовых координатах Для запоминания последнее соотношение часто записывают в следующем символическом виде: Е1 Ег ЕЗ д д д дхГ дхг дхз Аг А2 4з (10д) гозА = Далее, поскольку ьз и, г1 й г11Вгахг А,1хз+Вгг1хз Аг1х'+Вз,цг Аахг) хх ав' ав' ав'~ ++~~1,~2А1хз дх' дхг дхз,~ то из (4') следует, что в декартовых координатах дВ1 дВ2 дВз дхг+ а.г+ а з' (11') Из полученных формул (9'), (10'), (11') видно, что ягзг1, гоФ и йч являются линейными дифференциальными операциями (операторами). Оператор 8гах1 определен на дифференцируемых скалярных полях и сопоставляет им векторные поля. Оператор го1 тоже векторнозначен, но определен на дифференцируемых векторных полях.
Оператор о1г определен на дифференцируемых векторных полях и он ставит им в соответствие скалярные поля. 31. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 369 Пример 1 (система уравнений Максвелла для электромагнитного поля в вакууме). 1. йчЕ = —. р ео д.В 3. гоСЕ =— 2. ЖчВ = О. (12) 4. го(В= +— 1дЕ еос2 с2 д1 ' Здесь р(х,1) †плотнос электрического заряда (количество заряда, отнесенное к единице объема), у (х,1) — вектор плотности электрического тока (скорость протекания заряда через единичную площадку), Е(х,1) и .В(х,1) — векторы напряженности электрического и магнитного поля соответственно, ео и с — размерные постоянные (при этом с — скорость света в вакууме).
В математической и особенно физической литературе наряду с введенными операторами ягас), го1, Йч широко используется предложенный Гамильтоном символический векторный дифференциальный опе- ОПо этому поводу известный американский физик и математик Р. Фейнман (1918 — 1988) в своих лекциях по физике (см. русский перевод; М., Мир, 1966, т.б, с. 27) с присущим ему темпераментом пишет: »В истории человечества (если посмотреть на нее, скажем, через десять тысяч лет) самым значительным событием Х1Х столетия, несомненно, будет открытие Максвеллом законов электродинамики. На фоне этого важного научного открытия гражданская война в Америке в том же десятилетии будет выглядеть мелким провинциальным происшествием».
~»Дж.К. Максвелл (1831 — 1879) — выдающийся шотландский физик; создал математическую теорию электромагнитного поля, известен также исследованиями по кинетической теории газов, оптике и механике. Отметим, что в других координатах эти операторы будут иметь выражения, вообще говоря, отличные от полученных выше их выражений в декартовых координатах. Об этом мы еще скажем в п.5 этого параграфа.
Заметим еще, что векторное поле го1 А обычно называют роторож А, ротацией полл А или вихрем полл А. В последнем случае вместо символа го( А иногда пишут символ сцг1 А. В качестве примера использования рассмотренных операторов приведем запись через них знаменитойг) системы уравнений Максвеллаз), описывающей состояние компонент электромагнитного поля как функций точки х = (х', х2, хз) пространства и времени 1. 310 ГЛ. Х1У. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ ротор набла (оператор Гамильтона1)) д д д ь7 = е1 — +ег — +ез —, дх' дхг дхз ' (13) где (е1,ег,ез) — ортонормированный базис в Газ, а х1, хг, хз — соответствующие ему декартовы координаты в Кз.
По определению применение оператора Т7 к скалярному полю 7 (т. е. к функции) дает векторное поле д7" д7" д7' «(71 = е1 — + ег — +ез —, дх' дхг дхз' ягас(У = 177", го$А=TхА, с(п В = T В. (14) (15) (16) Так через оператор Гамильтона и векторные операции в ж~ записываются операторы ягас(, го$ и Жч. ПУ.Р. Гамильтон (1805 — 1805) — знаменитый ирландский математик и механик; сформулировал вариационный принцип (Гамильтона) и построил феноменологическую теорию оптических явлений; создатель теории кватернионов и родоначальник векторного анализа (кстати, ему принадлежит сам термин «вектор«). что совпадает с полем (9'), т. е. оператор набла есть попросту записанный в других обозначениях оператор ига«1. Используя, однако, векторную структуру записи оператора Т7, Гамильтон предложил систему формальных операций с ним, копирующую соответствующие алгебраические операции с векторами. Прежде чем демонстрировать зти операции, отметим, что в обращении с оператором Т7 надо придерживаться тех же принципов и соблюдать те же правила предосторожности, что и в обращении с обычным оператором дифференцирования Р = 3„-.
Например, «рР7" равно «р~~, «1 а не 3-(«р~) или не Щ Значит, оператор действует на то, что ему о' подставляют справа; левое умножение в данном случае играет роль козффициента, т.е. «рР есть новый дифференциальный оператор «р3-, а «1 не функция 3к. Далее Рг = Р Р, т. е. Ргу' = Р(Р7) = ~- (~-~) = — г7". Если теперь, следуя Гамильтону, обращаться с «(7 как с заданным в декартовых координатах векторным полем, то, сопоставляя соотношения (13), (9'), (10о) и (11'), получаем 11. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 311 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
