1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 60
Текст из файла (страница 60)
е. /Е1ег з/Еггег /Езез д д д дг дг дг 1/Е1А1 /ЕгАг ~/ЕззАз 1 гогА = ,Ю; Же, (35) Пусть задано поле А(г) = (А ед+ Агег + А ез)(г). Найдем координаты В', Вг, Вз поля гог А(г) = Ю(г) = (Вге1+ Вгег + Взез)(г). Исходя из определения (10) и формулы (31), получаем 322 ГЛ. ХТЧ. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ Пример 12. В декартовых, цилиндрических и сферических координатах соответственно 1 (дАв дАр соз В~ 1 (дАр, дВАз'~, (35"') 1. Пусть теперь задано поле В(з) = (В ез+В ег+В ез)(з). Найдем выражение для йк Ю.
Исходя из определения (11) и формулы (32), получаем ь~лз в:= й"Рв — — д (В' з/ЕгЕз Жг Л йз + + ВгЗ/ЕзЕ1 йз Лдз'+ Взз/Е1ЕгМ1 Лд11) = д/ЦКВ' д/ЕЕВ д/ЕЕВ '1„, + дЗг + дзз )~Й ЛсЫ Лсй. На основании формулы (ЗЗ) теперь заключаем, что 1 (д /ЕгЕзВ дз/ЕзЕ1Вг д /Е1ЕгВз ж,зе ~ й' д1 д~~ дВ, дВз дВ, 11 В= — *+ — "+ — '= дх ду дз (Зб') /тг дВ „дЛВ Вгсозд ~, дВ + д1. (Зб") дВ соз ОВя ~ + дВ ) . (Зб'л) В декартовых, цилиндрических и сферических координатах отсюда соответственно получаем 1 Ь ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 323 / 1 д~ 1 д~ 1 д~ г."г 7 = й~ кгаг1 7" = г(1~ ~ — — ~~ + — ез + =, ~,4Е, д1',7Ег дгз ~7ЕЗ дга ,тя,я е (й' (7 е д~') + 2 2 + з з ' (37) Пример 13.
В частности, для декартовых, полярных и сферических координат из (37) получаем соответственно д27" д27' д27" 11У = — + — + — = доз дуз дзз 1 д / д~'1 1 д27 дг~ 7' тдт ~, дт) тз доз дяз (37') (37") (37"") Задачи и упражнения 1. Операторы ягаг), гог, йг и алгебраические операции. Проверьте следующие соотношения: для ягаб: а) 17(7+ д) = 177+ 17д, Ь) 17(У д) = (гуд+дг77, с) з7(А . В) = (В .
17)А + (А г7)В + В х (17 х А) + А х ( 7 х В), г() ~ (2гАз) = (А ~)А+ А х (47 х А); для гоп е) г7 х (7А) = 7т7 х А + ~77 х А, 1) гух (А х В) = (В '7)А — (А г7)В+(з7 В)А — (1г А)В; д г(1г: я) Т7 (7А) = г77" А + 7~7. А, Ь) Г7 (А х В) = В. (17 х А) — А (17 х В) и перепишите их в символах Егаг), го1, Йг. (указания. А ~ = А' д +Аз д +Аз — д В з7 ~г7 В;.4 х (В = В(А . С) — С(А В).) хС)= .1. Соотношения (34), (36) можно использовать для получения записи оператора Лапласа гл = с)1чягаг( в произвольной триортогональной системе координат: 324 ГЛ. Х1У. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ 2. а) Запишите в декартовых координатах операторы (20) -(22). Ъ) Проверьте прямым вычислением соотношения (20), (21). с) Проверьте формулу (24) в декартовьгх координатах.
сс) Запишите формулу (24) через оператор ~7 и докажите ее, используя формулы векторной алгебры. 3. Из рассмотренной в примере 2 системы уравнений Максвелла выведите, что Ч,у = -3Е. 4. а) Укажите параметры Ламе Нм Нз, Нз декартовых, цилиндрических и сферических координат в Е~. Ь) Перепишите формулы (28), (34) — (37), используя параметры Ламе. 5. и м = к в -'„.д ° = „4ГтргГГС а) декартовых координатах х, у, х; Ь) цилиндрических координатах; с) сферических координатах. д) Найдите гос А и йг А.
6. В цилиндрических координатах (г, р,х) функция 1 имеет вид 1и -„. За- 1 пишите поле А = Его г' в а) декартовых координатах; Ь) цилиндрических координатах; с) сферических координатах. с() Найдите гос А и йг А. 7. Напишите формулы преобразования координат в фиксированном касательном пространстве ТР„~„р Е й~, при переходе от декартовой системы координат в йз к а) цилиндрическим координатам; Ь) сферическим координатам; с) произвольной триортогональной системе криволинейных координат.
й) Применяя полученные в с) формулы и формулы (34)-(37), проверьте непосредственно инвариантность векторных полей 8гасс А, гос А и величин йч А, гз,г' относительно выбора системы координат, в которой происходило их вычисление. 8. Пространство Нз, как твердое тело, вращается вокруг некоторой оси с постоянной угловой скоростью ы. Пусть сс — поле линейных скоростей точек в фиксированный момент времени. а) Запишите поле и в соответствующих цилиндрических координатах. Ь) Найдите госш с) Укажите, как направлено поле госп по отношению к оси вращения. д) Проверьте, что ~ гоС п~ = 2щ в любой точке пространства. е) Истолкуйте геометрический смысл гоС и и геометрический смысл обнаруженного в Й) постоянства зтого вектора во всех точках пространства.
12. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 325 2 2. Интегральные формулы теории поля 1. Классические интегральные формулы в векторных обо- значениях ыР~ = (г, е) сЬ, ы~~ = (Ъ~, и) сЬ, где е — ориентирующий у единичный вектор, сонаправленный с вектором скорости движения вдоль у, Нв элемент (форма) длины на у, и — ориентирующий поверхность о' вектор единичной нормали к поверхности, а Йг — элемент (форма) площади на поверхности о'.
В векторном анализе часто используют векторный элемент длины кривой дв:= едв и векторный элемент площади поверхности Йг:= = о Йь Используя эти обозначения, можем теперь писать: м~~~ = (А,е) ~Ь = (А,дв) = А сЬ, ыд ~в —— (В, п) Йт = (В, Йг) = В Йт. (1) (2) Ь. <Формула Ньютона — Лейбница. Пусть у' Е СП)(Р,К) а .у (а, Ь) -~ Р— путь в области .Р. В применении к О-форме о~~о формула Стокса юу = Йа)у д7 7 с одной стороны, означает равенство I =1' ат что совпадает с классической формулой ~( у(Ь)) — ~(у(а)) = 4~('у(1)) а а. Векторная запись форм ил~, ю~н. В предыдущей главе мы уже отметили (см. ~ 2, формулы (23), (24)), что ограничение формы и~1 работы поля лв на ориентированную гладкую кривую (путь) у или ограничение формы а~~~ потока поля Ъ~ на ориентированную поверхность о' можно записать соответственно в следующем виде: 326 ГЛ.
Х1У. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ Ньютона-Лейбница, а с другой стороны, по определению градиента она означает, что Г О 1 ~ау / ~оягавг" (3) Таким образом, используя соотношения (1), формулу Ньютона— Лейбница можно переписать в виде (3') с. сЬормула Стокса. Напомним, что работа поля на замкнутом пути называется циркуляцией поля на этом пути. Чтобы отметить, что интеграл берется по замкнутому пути, вместо традиционного обозначения ) лэ . г(в часто пишут у.г' г(л.
Если у — кривая на плоскости, 7 то иногда употребляют еще и символы,, в которых указано на- правление движения по кривой у. Термин циркуляция употребляется и тогда, когда речь идет об интеграле по некоторому конечному набору замкнутых путей. Например, таковым может служить интеграл по краю некоторой компактной поверхности с краем. В такой записи она означает, что приращение функции на пути равно рабогпе на этом пути поля ерадиента этой функции. Это довольно удобная и информативная запись.
Кроме очевидного вывода о том, что работа поля ягзг( Г' вдоль пути Т зависит только от начала и конца пути, формула позволяет сделать и несколько более тонкое наблюдение. А именно, движение по поверхности у = с уровня функции Г" происходит без совершения работы полем ягаг( Т", поскольку в этом случае ягаг(Т" дв = О. Далее, как показывает левая часть формулы, работа поля ягвг(.(' зависит даже не столько от начала и конца пути, сколько от того, на каких поверхностях уровня функции у лежат эти точки.
5 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 327 Пусть 4 — гладкое векторное поле в области Р ориентированного евклидова пространства мз, а 5' — (кусочно) гладкая ориентированная компактная поверхность с краем в области Р. В применении к 1-форме ь~~~, с учетом определения ротора векторного поля, формула Стокса означает равенство (4) ыл ь~го1 А. Используя соотношения (2), формулу (4) можно переписать в виде классической формулы Стокса (4') В такой записи она означает, что циркуляция векторного полл на границе поверхности равна потоку ротора этого полл через саму поверхность.
Как всегда, при этом на до выбирается ориентация, согласованная с ориентацией о. с1. Формула Гаусса — Остроградского. Пусть Ъ' — компактная область ориентированного евклидова пространства йз, ограниченнал (кусочно) гладкой поверхностью ду' †кра $'. Если Ю --гладкое поле в ь',то в соответствии с определением дивергенции поля формула Стокса дает равенство (5) шн а~вы и аР Используя соотношение (2) и запись р~Л: формы ы~ ~через форму объема сЛ' в мз, равенство (5) можно переписать в виде классической формулы Гаусса — Остроградского (5') В такой записи она означает, что поток векторного полл через границу области равен интегралу от дивергенции этого полл по самой области. 328 ГЛ.
Х1Ч. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ е. Сводка классических интегральных формул. В итоге мы пришли к следующей векторной записи трех классических интегральных формул анализа: Г (~77") Ид (формула Ньютона — Лейбница), дч ч | А. сЬ = (~7 х А) . Йг (формула Стокса), (4д) дд д .В до' = (17 .В) сЛ' (формула Гаусса — Остроградского). (5") 2. <Физическая интерпретация ййг, гоС, игаса д~'5 ) где х' — некоторая точка окрестности $'(х). Если д -+ О, то х' — + х, а коль скоро  — гладкое поле, то и йв В(х') + йв В(х).
Значит, ОВ йг йчВ(х) = оп дух) л-ю Ъ'(х) (б) Будем считать .В полем скоростей течения (жидкости или газа). Тогда поток поля через границу области Ъ'(х) или, что то же самое, объемный расход среды через границу этой области, в силу закона сохранения массы возникает только за счет стоков или источников (в том числе связанных с изменением плотности среды) и равен суммарной интенсивности всех этих факторов, которые мы будем называть одним а. Дивергенция. Формулу (5') можно использовать для выяснения физического смысла величины йя В(х) — дивергенции векторного поля В в некоторой точке х области $' задания поля. Пусть Ъ'(х)— содержащаяся в Р окрестность (например, шаровая) точки х. Объем этой окрестности позволим себе обозначать тем же символом Р'(х), а ее диаметр буквой д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
