1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 34
Текст из файла (страница 34)
3. а) Покажите, что если формула (3) справедлива для функции у = 1, то она верна и в общем случае. Ь) Проведите вновь доказательство теоремы 1, но для случая у = 1, упрощая его в этой специальной ситуации. 4. Не опираясь на замечание 2, проведите доказательство леммы 3, считая известным лемму 2 и равенство интегралов от двух интегрируемых функций, отличающихся лишь на множестве меры нуль. 5. Вместо свойства аддитивности интеграла и сопутствующего его использованию анализа измеримости множеств, при сведении формулы (3) к ее локальному варианту (т.е.
к проверке формулы для малой окрестности точек отображаемой области) можно пользоваться другим приемом локализации, основанным на линейности интеграла. а) Если гладкие функции ес,...,еь таковы, что О < е; < 1, с = 1,...,й, е / ь а 2 е;(х) = 1 на Р„то ) ~ 2 е,у ) (х)дх = ( 1(х)дх для любой функции с п„с=»' и„ 1 к Е(Ре). Ь) Если епррес лежит в множестве У с Р„то 1 (ест)(х) дх = ((ест)(х) дх. и, и с) С учетом лемм 3 и 4 и свойства линейности интеграла из а) и Ь) можно вывести формулу (3), если для любого открытого покрытия (У ) компакта К = апрру С Р, построить такой набор гладких в .Р, функций ем ..,,ею что О < е, < 1, с = 1,..., к; 2 е;:— 1 на К; и для любой функции е, Е (ес) с=с найдется множество У, Е (У ) такое, что апрре; С У с Набор (е,) в этом случае называют разбиением единицы на компакте К, подчиненным покрытию СГ .
6. Эта задача содержит план построения того разбиения единицы, о котором шла речь в задаче 5. а) Постройте функцию с Е С~ с(К,К) такую, что Д(, ц = 1 и вирра С с ( — 1 — б, 1 + б), где б ) О. з 5. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 179 Ь) Постройте функцию 7 Е С~ 1(К",К) с указанными в а) свойствами для единичного кубика в К" и его Б-раздутия.
с) Покажите, что для любого открытого покрытия компакта К С К" существует гладкое разбиение единицы на К, подчиненное этому покрытию. д) В развитие с) постройте С~ ~-разбиение единицы в К", подчиненное локально конечному открытому покрытию всего пространства. (Локальная конечность покрытия означает, что любая точка покрываемого множества, в данном случае К", имеет окрестность, пересекающуюся лишь с конечным числом элементов покрытия. Для разбиения единицы, содержащего бесконечное число функций (е;), вводится требование, чтобы любая точка множества, на котором это разбиение строится, принадлежала не более чем конечному числу носителей функций системы (е;). При этом условии не возникает вопросов о том, в каком смысле понимать равенство ~е, = 1, точнее, стоящую в его левой части сумму.) 7.
Несколько иное в сравнении с изложенным доказательство теоремы 1, опирающееся на возможность разложения лишь линейного отображения в композицию простейших и более близкое к указанным в п. 1 эвристическим соображениям, можно получить, доказав последовательно следующие утверждения. а) Проверьте, что при простейших линейных отображениях Х: К" + К" вида (х~,...,хь,...,х") -ь (х~,...,х" ~, Лхь,хьь~,...,х"), Л ф 0 и (х~,..., х,...,х") ь-ь (х',...,х" ',х" + х1,х"+',...,х") для любого измеримого множества Е С К" выполнено соотношение р(Т(Е)) = ~десь'~р(Е) и докажите, что это соотношение справедливо для любого линейного отображения Е: К" -+ К". (Используйте теорему Фубини и возможность разложения линейного преобразования в композицию указанных простейших.) Ъ) Покажите, что если у: Рь -+ Р, — диффеоморфизм, то для любого измеримого компакта К С Рь и его образа ~р(К) имеет место соотношение 7ь(~р(К) < / ) дес сер'(1) ~ сЮ.
(Если а Е Ры то з(~р'(а)) 1 и в представлении к Ф(с) = (Ф (а) о (р (а)) ' о у)(ь) отображение ф(а) линейное, а отображение (~р'(а)) ' о р близко к изометрическому в окрестности точки а.) с) Покажите, что если рассматриваемая в теореме 1 функция 7" неотрицательна, то )' ((х) дх < ('Я о у)~с)ест~)(1) <Н. .О. Рь д) Применив предыдущее неравенство к функции (7" о у) ~ де1 у'~ и отображению ~р 1: Р, — > Ры покажите, что для неотрицательной функции 7 формула (3) верна.
е) Представив функцию 7 из теоремы 1 в виде разности интегрируемых неотрицательных функций, докажите справедливость формулы (3). 8. Лемма Сарда. Пусть Р— открытое множество в К", ~р ч С~О(Р,К") и Я вЂ” множество критических точек отображения ьо. Тогда 1о(5) является множеством меры нуль (в смысле Лебега). ГЛ. Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 180 Напомним, что критической точкой гладкого отображения ~р области Р С К в пространство К" называлась такая точка х Е Р, в которой гапя ~р'(х) < пцп(т, и).
В случае т = и это равносильно условию с1ес ~р'(х) = О. а) Проверьте лемму Сарда для линейного отображения. Ь) Пусть 1 — промежуток в области Р, а ~р Е СО>(Р, К"). Покажите, что существует такая функция о(Ь), а; К" — > К, что а(Ь) + О при Ь вЂ” > О и ~р(х+ Ь) — ~р(х) — р'(х)Ь~ < а(Ь))Ь! при любых х, х+ Ь Е 1. с) Используя Ь), оцените уклонение образа ~р(1) промежутка 1 при отображении р от его же образа при линейном отображении 1(х) = р(а) + р(а) (х — а), где а е 1. а) Опираясь на а), Ь), с), покажите, что если Я вЂ” множество критических точек отображения р в промежутке 1, то р(Я) есть множество меры нуль. е) Закончите теперь доказательство леммы Сарда.
1) Используя лемму Сарда, покажите, что в теореме 1 достаточно потребовать, чтобы отображение р было взаимно однозначным отображением класса СЬО(Р,, Р,). Отметим, что приведенная лемма Сарда является простым частным случаем теоремы Сарда и Морса, по которой утверждение леммы справедливо, даже если Р С К, а р Е СОО(Р, К" ), где Ь = шах(т — п + 1, Ц. Величина Ь здесь, как показал на примере Уитни, не может быть уменьшена, каково бы ни было сочетание чисел т и и.
В геометрии лемма Сарда известна как утверждение о том, что если р:Р -+ К" †гладк отображение открытого множества Р С К в К",то для почти всех точек х Е р(Р) их полный прообраз р ~(х) = М в Р есть поверхность (многообразие) коразмерности и в К (т.е.т — дппМ, = п для почти всех х Е Р). 9. Пусть вместо диффеоморфизма р в теореме 1 рассматривается произвольное отображение р Е СОО(.РмР,) такое, что беС~р'(1) ф О в Р,.
Пусть п(х) = саха(1 Е вирр(1 о ~р) ( ~о(е) = х), т.е. п(х) — число точек носителя функции 1 о р, которые при отображении р: Ре — > Р, переходят в точку х Е Р,. Имеет место следующая формула; У (У и) (х) дх — 1Я о Ч ) ( беС р'~Н1) дй а) Какой геометрический смысл этой формулы при (— : 1? Ь) Докажите эту формулу для специального отображения кольца Ре —— = (1 Е Кг ) 1 < !1) < 2) на кольцо Р, = (х Е Кг ! 1 < !х/ < 2), если в полярных координатах (г, ~р) и (р, й) плоскостей Щ и Кг соответственно это отображение записывается формулами г = р, р = 20. с) Попробуйте теперь доказать формулу в общем виде.
1 б. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 181 8 6. Несобственные кратные интегралы 1. Основные определения Определение 1. Исчерпанием множества Е с К будем называть такую последовательность измеримых множеств (Е„), что Е„с СЕи+1СЕприлюбомпбйи 0 Е„=Е. о=1 Лемма. Если (Е„) — исчерпание измеримоео множества Е, то: а) 1пп д1Е„) = д(Е).
Ь) длл любой Функции,1' и Я(Е) также У'~е„б Я(Е„) и 1пп у 1х) дх = ~(х) дх. < а) Поскольку Еп С Е ~ 1 С Е, то д(Е ) < д1Е +1) ( д(Е) и 1пп д(Е„) < д(Е). Для доказательства равенства а) покажем, что выполняется также неравенство 1пп д(Е„) > д(Е). Граница дЕ множества Е имеет объем нуль, поэтому ее можно покрыть конечным числом открытых промежутков, сумма объемов которых меньше наперед заданной величины е > О.
Пусть Ь вЂ” объединение всех этих открытых промежутков. Тогда множество Е 0 Ь =; Е открыто в К-, причем по построению Е содержит замыкание Е множества Е и д1Е) < д(Е) + д(Ь) < д(Е) + е. Для каждого множества Е„исчерпания (Е„) можно повторить описанное построение со значением е„= е/2". Тогда получим последовательность открытых множеств Е„= Е„0 Ь„таких, что Е„С Е„, р(Е„) ( д(Е„) + д(Ь„) < д(Е,„) + е„и 0 Ео Э Ц Е„Э Е. о=1 о=1 Система открытых множеств Ь, Е1, Ео,... образует открытое покрытие компакта Е. Пусть Ь,Е„Ез,...,Еь — извлеченное из него конечное покрытие компакта Е. Поскольку Е1 С Ез С ...
С Еь, то множества Ь, Ь1,..., Ьь, Ея тоже образуют покрытие Е и, значит, Д(Е) < д(Е) < д(Еь) + р(Ь) +,и(Ь1) +... + Д(Ь|) < д(Еь) + 2е. Отсюда следует, что д1Е) < 1пп р1Е„). ГЛ. Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 182 Ь) То, что Де„б Я(Е„), нам хорошо известно и следует из критерия Лебега существование интеграла по измеримому множеству. По условию 1 Е н.(Е), значит, существует постоянная М такая, что ~Дх) ~ < М на Е. Из аддитивности интеграла и общей оценки интеграла получаем Дх) дх < Мр(Е ~ Е„). у(х) дх — Дх) дх ЕФ.
Отсюда с учетом доказанного в а) заключаем, что утверждение Ь) дей- ствительно имеет место. ~ Определение 2. Пусть (Е ) — исчерпание множества Е, а функция 1': Š— 1 К иитегрируема иа множествах Е„Е 1Е„). Тогда величина если указанный предел существует и его величина не зависит от выбора любого такого исчерпания множества Е, называется несобстеенным интегралом от 4уннции ~ ио мнолеестеу .Е. Стоящий в левой части последнего равенства символ интеграла обычно пишут для любой заданной на Е функции, но говорят, что этот интеграл существует или сходится, если существует указанный в определении 2 предел. Если же такого общего для всех указанных исчерпаний предела не существует, то говорят, что интеграл от функции 1 по множеству Е не существует или что интеграл расходится. Цель определения 2 состоит в том, чтобы распространить понятие интеграла на случай неограниченной подынтегральной функции или неограниченной области интегрирования.
Введенный символ несобственного интеграла совпадает с символом обычного — собственного интеграла, поэтому необходимо Замечание 1. Если Š— измеримое множество и у е Я(Е), то интеграл от у по Е в смысле определения 2 существует и совпадает с собственным интегралом от функции у по множеству Е. < Именно об этом говорит утверждение Ь) доказанной выше леммы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
