1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 32
Текст из файла (страница 32)
< Заметим, прежде всего, что любое открытое подмножество Р пространства К" можно представить в виде объединения счетного числа замкнутых промежутков (которые к тому же попарно не имеют общих внутренних точек). Для этого, например, можно разбить координатные оси на отрезки длины сь и рассмотреть соответствующее разбиение пространства К" на кубики с ребрами длины тз. Фиксирован тл = 1, возьмем те кубики этого разбиения, которые содержатся в Р. Обозначим через Ет их объединение. Взяв далее сь = 1/2, добавим к У~ те кубики нового разбиения, которые содержатся в Р'1гы Получим множество Гз и т.д. Продолжая процесс, получим последовательность г'1 С ...
С гп С ... множеств, каждое из которых состоит из конечного или счетного числа промежутков, не имеющих общих внутренних точек и, как видно из построения, Ц Е„= .Р. Поскольку объединение не более чем счетного числа множеств меры нуль является множеством меры нуль, утверждение а), таким образом, достаточно проверить для множества Е„лежащего в замкнутом промежутке 1 С .Рь Это мы и сделаем. Поскольку ~р Е СО~(1) (т. е. ~р' Е С(1)), то существует постоянная М такая, что ~~~р'(1) ~~ < М на 1. В силу теоремы о конечном приращении для любой пары точек ФП1г к 1 и их образов х1 = <р(1т), хг = ~р(1з) должно тогда выполняться соотношение (хз — х1~ < М~1г — 1т ~.
Пусть теперь (1,") — такое покрытие множества Ет промежутками, что 1; ~Ц < е. Без ограничения общности можно считать, что 1, = ГЛ. Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 166 =1,П1с1. Совокупность (~р(1,)) множеств ~р(1;), очевидно, образует покрытие множества Е = д(Е~). Если Ц вЂ” центр промежутка 1,, то, ввиду установленной выше оценки возможного изменения расстояний при отображении у, все множество р(1,) можно накрыть таким промежутком 1; с центром х, = у(Ц), линейные элементы которого в М раз отличаются от соответствующих элементов промежутка 1,.
Поскольку (Ц = М" ~1,~, а у(Е~) с Ц 1,, то мы получили покрытие множества р(Ес) = Е промежутками, сумма объемов которых меньше, чем М" е. Тем самым основное утверждение а) леммы доказано. Утверждение Ь) следует иэ а), если учесть, что Еп а значит, по доказанному и Е = <р(Е~) суть множества меры нуль в смысле Лебега и что Еп а значит и Е компакты. Ведь в силу леммы 3 6 1 всякий компакт, являющийся множеством меры нуль в смысле Лебега, имеет объем нуль.
Наконец, утверждение с) получается непосредственно из Ь), если вспомнить определение измеримого множества и то, что при диффеоморфизме внутренние точки множества Е~ перейдут во внутренние точки его образа Е, = у(Е~), а значит, дЕ = у(дЕ~). > Следствие. При условиях теоремы стоящий в правой части формулы (3) интеграл существуеп1. < Поскольку (с1е1у(Ф)~ ф 0 в Рп то япрр1оу )Йе1 ~р~ = впрр1 о~о = = ~о 1(впрр1) — компакт в Ре. Значит, точки разрыва функции 1' о о у ~е)еФу'~Хо, в Р' совсем не связаны с функцией Хп„а являются прообразами точек разрыва функции 1 в Р .
Но 1 Е Я.(Р ), поэтому совокупность Е точек разрыва функции 1 в Р является множеством меры нуль по Лебегу. Тогда по утверждению а) доказанной леммы множество Е, = у ~(Е ) имеет меру нуль. На основании критерия Лебега теперь можно заключить, что функция 1 о у ~ Йе1 у'~Хп, интегрируема на любом промежутке 1с З Рь ~ь 3. Одномерный случай Лемма 2. а) Если у: 1~ — ~ 1 — диффеоморфизм отрезка 1 с й1 на отрезок 1 С К', а ~ Е Я(1 ), то 1 о ~о ~~р'~ Е Е(1~) и вб. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 1б7 Ь) Формула (3) справедлива в К~. ~ Хотя утверждение а) леммы 2 нам, по существу, уже известно, мы дадим здесь независимое от изложенного в части 1 его короткое доказательство, использующее имеющийся теперь в нашем распоряжении критерий Лебега существования интеграла.
Поскольку Х' Е Я.(1 ), а у: Хе -+ 1 — диффеоморфизм, функция 1 а у ~у'~ ограничена на Хь Точками разрыва этой функции могут быть только прообразы точек разрыва функции 1 на Х . Последние по критерию Лебега образуют множество меры нуль. Образ этого множества при диффеоморфизме ~а ': 1 -+ Хм как мы видели при доказательстве леммы 1, имеет меру нуль.
Значит, Х а ~р ~~р'~ Е К(1~). Пусть Р— разбиение отрезка 1 . Посредством отображения ~р ~ оно индуцирует разбиение Р~ отрезка Хо причем из равномерной непрерывности отображений ~р и ~р ' следует, что Л(Р ) — ~ 0 е~ Л(Р ) -+ О. Для разбиений Р, Р, с отмеченными точками С, = ~р(7,) запишем интегральные суммы: причем точки С; можно считать выбранными именно так, что (, = ~р(т,), где т; — точка, получаемая применением теоремы Лагранжа к разности 'рИ ) — р(~*-~).
Поскольку оба интеграла в соотношении (4) существуют, выбор отмеченных точек в интегральных суммах можно делать по своему усмотрению, не влияя на величину предела. Значит, из написанного равенства интегральных сумм в пределе при Л(Р ) -+ 0 (Л(Р,) -+ 0) получается равенство (4) для интегралов. Утверждение Ь) леммы 2 вытекает из доказанного равенства (4). Прежде всего отметим, что в одномерном случае ( ЙеФ ~р'~ = (у').
Далее, компакт вирр 1 легко покрыть конечной системой отрезков, лежащих в Р, и попарно не имеющих общих внутренних точек. Тогда интеграл от Х по множеству Р сведется к сумме интегралов от 1 по отрезкам указанной системы, а интеграл от 1 а у ~у'~ по Ре сведется к сумме интегралов по отрезкам, являющимся прообразами отрезков этой системы. Применяя к каждой паре соответствующих друг другу при ото- ГЛ.
Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 188 бражении <р отрезков равенство (4), после сложения получаем форму- лу (3). ~ Замечание 1. Доказанная нами ранее формула замены переменной в одномерном интеграле имела вид ~Ф д Г 1(х) ах = (~ о у ~р')(1) а1, (5) и(а) где у было любым гладким отображением отрезка (а, Д на отрезок с концами у(а) и у(13). В формуле (5) стоит не модуль ~ф~ производной, а сама производная.
Это связано с тем, что в левой части формулы (5) может быть ~р(Д) < 'р(а) Если, однако, заметить, что для отрезка 1 с концами а и Ъ имеют место соотношения ) 1(х)йх, если а < Ь, 1(х) Йх = — ) 1(х)сЬ, если а > Ь, а то становится ясно, что в случае, когда ~р — диффеоморфизм, формулы (4) и (5) отличаются лишь внешним видом, а по существу совпадают. Замечание 2. Интересно отметить (и этим мы не преминем воспользоваться), что если 1р: 11 -+ 1 — диффеоморфизм отрезков, то всегда справедливы формулы ,~(х) с(х = (~ о ~р ~1р'~)(1) ~й, 1~ 5 ,((х) сКх = (У о ср /~р'/)(1) ~Ц, 1„ б относящиеся к верхним и нижним интегралам от вещественнозначных функций.
А если это так, то, значит, в одномерном случае можно считать установленным, что формула (3) остается в силе для любой ограниченной функции 1, если интегралы в ней понимать как верхние или как нижние интегралы Дарбу. з 5. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 169 < Будем временно считать, что 1 — неотрицательная функция, ограниченная константой М.
Снова, как и при доказательстве утверждения а) леммы 2, можно взять отвечающие друг другу в силу отображения )Р разбиения Р„Рс отрезков 1 и 1с соответственно и написать следующие оценки, в которых е — максимальное из колебаний функции 9) на промежутках разбиения Рс. ~ яир 1(х))хс — х, 1) < ~ яир ~()р(С)) яир /1с)'(С))/Сс — Сс 1) < геях, СЕЛЬЦ СЕЬС, СС, | (С)иР)) Р)~'Р))))М)< сеас) СЕЬС, < ~~) япр(1()с)(С))(/)с)'(С)/+е))/)лс,/ < СЕЬС, < ,"Е; и (У(д(С))!Ф'(СПИМ!+ е",Е; р У(9 (С)И~С ! < СЕЬС, СЕЬС, < ~~ ° р (У(Р(С)) РР'(СИНМ! + ЕМЫ СЕЬС, Учитывая равномерную непрерывность )с), отсюда при Л(Рс) — + 0 получаем 1(х) ох < (1 о )Р / р'))(с) ссь Применяя доказанное к отображению )д 1 и функции 1 о 9) ~ 9)'~, получаем обратное неравенство и устанавливаем тем самым для неотрицательных функций первое из равенств замечания 2.
Но поскольку любую функцию можно представить в виде 1 = тах11,0) — щах( — 1, О) (разности неотрицательных), то зто равенство можно считать доказанным и в общем случае. Аналогично проверяется и второе равенство. ~ Из доказанных равенств, конечно, можно вновь получить утверждение а) леммы 2 в случае вещественнозначной функции 1'. 4.
Случай простейшего диффеоморфизма в К". Пусть )с) ) Рс -+ Р, — диффеоморфизм области Рс С Щ на область Р, С В,"; (С',..., с"), (х",...,х") — координаты точек С Е Я," и х б К" соответственно. Напомним ГЛ. Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 170 Определение 2. Диффеоморфизм ~р: Р1 -+ Р называется прос7аейшим, если его координатная запись имеет вид 1 1(~1 ~п) ~1 хь 1 ~рь 1(11 гп) 11 1 .Ь „рЬ(11 ~п) „ЬР1 ~Ь Р) В-1-1 „ /с.~-1 (11 ~п ) ~~1с+1 п и (11 сп) 1п Таким образом, при простейшем диффеоморфизме меняется только одна из координат (в данном случае координата с индексом Й).
Лемма 3. Длл простпейшего да44еомор4измя 1о: Р1 -+ Р 4ормуля (3) верна. < С точностью до перенумерации координат можно считать, что рассматривается диффеоморфизм у, меняющий только и-ю координату. Введем для удобства записи следующие обозначения: (х',...,хп 1,х") =: (х,хп); (11,...,1" 1,8") =: (1,1"); Ря.(хо):= 1(х,х") Е Р ~ х =хо); .Р1 (10):= Н1, Й ) Е Р1 ~ Й = Йо). Таким образом, Р (х), Р1 (Е) — это просто одномерные сечения множеств .Р и Р, соответственно прямыми, параллельными п-й координатной оси. Пусть 1 — промежуток в Щ, содержащий Р . Представим 1 в виде прямого произведения 1 = 1- х 1 (и — 1)-мерного промежутка 1- и отрезка 1 и-й координатной оси.
Аналогичное разложение 11 = 1; х 11п запишем для фиксированного в Ц' промежутка 1б содержащего Р,. Используя определение интеграла по множеству, теорему Фубини и 171 55. . ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ замечание 2, можно написать, что Дх) е(х = ~ Х (х) Йх = дх ( Х (х,х") Йх" = 1в 1п Р, и дх Дх,х") дх" = 1я О ь(в) дС" 11 7эа (1) дС (( о ср/ с1еС (о'()( )(С, С") сйС" = (| о ф с1еС ~р~хр ) (С) дС = (у о ~р( йеС (о()(С) дС. Л П~ также то обстоятельство, что для рас- В этой выкладке мы учли такж сматриваемого диффеоморфизма деС ~р' = ф,-.
~ и фо м ла замены переменб. Композиция отображении и фор у ных .Р 4 Р— два диффеоморфизма, длл кажЛемма 4. Если.Р, — > 1 — 1 о м ла (3) замены переменных в интедого иэ которых справедлива формула ( ) еграле, то она спр раведлива и длл композиции (о о у): Р— > э этих отображений. о '= 'оф' ля доказательства до т остаточно вспомнить, что (~р ф) = у и что деС((о о ф)'(т) = деС Со тогда получаем, что Г Дх) дх = (~ о (о~ деС ~р'~)(С) дС = Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
