1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Аналогичный смысл имеет символ ) ду ) )'(х, у) дх. х В процессе доказательства теоремы выяснится, что совокупность тех значений х б Х, для которых,7(х) ф 7(х), является множеством т-мерной меры нуль в Х. Аналогично и совокупность тех у е У, при которых интеграл ОЭта теорема была доказана задолго до появления известной в теории функций теоремы Фубини, частным случаем которой она является. Однако теоремы, позволяюшие сводить вычисление кратных интегралов к повторному интегрированию в меньшик размерностях, принято называть теоремами типа теоремы Фубини или, для краткости, теоремами Фубини.
ГЛ. Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 154 ),1 (х, у) дх может не существовать, окажется множеством п-мерной ме- Х ры нуль в У. Заметим, наконец, что, в отличие от интеграла по (т + и)-мерному промежутку Х х У, который мы в свое время условились называть кратным интегралом, последовательно вычисляемые интегралы от функции 1(х, у) по У, затем по Х, или по Х, а затем по У, принято называть повторными интеералами от этой функции. Если Х и У вЂ” отрезки прямой, то сформулированная теорема в принципе сводит вычисление двойного интеграла по промежутку Х х У к последовательному вычислению двух одномерных интегралов.
Ясно, что, применяя эту теорему несколько раз, можно свести вычисление интеграла по Й-мерному промежутку к последовательному вычислению Й одномерных интегралов. Сущность сформулированной теоремы очень проста и состоит в следующем. Рассмотрим интегральную сумму ~у(х„у )(Х,~ Щ, от«о вечаюшую разбиению промежутка Х х У на промежутки Х; х У. Поскольку интеграл от 1 по промежутку Х х У существует, то отмеченные точки Ц Е Х; х У, можно выбирать по своему усмотрению, и мы их выбрали как «прямое произведение« выборов х« Е Х, С Х и у« Е У С У.
Тогда можно записать, что ЕУ(хи~,)!Х,! Щ = Е!Х.! ЕУ(х„;)1У,! = = Е !У21 Е «(Хиуэнх1! а это и есть допредельный вид нашей теоремы. Дадим теперь ее формальное доказательство. м Любое разбиение Р промежутка Х х У индуцируется соответствующими разбиениями Рх, Р1 промежутков Х и У. При этом каждый промежуток разбиения Р есть прямое произведение Х; х У1 некоторых промежутков Х,, Уа разбиений Рх, РР соответственно. По свойствам объема промежутка 1Х, х У1! = (Х,( Щ, где каждый из объемов вычисляется в том пространстве К"'«", К™, К", которому принадлежит рассматриваемый промежуток. Используя свойства нижней и верхней граней, а также определения нижних и верхних интегральных сумм и интегралов, проведем теперь г4. СВЕДЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ 155 следующие оценки: з((,Р) = 1пГ у(х,у)~Х, х Ц < ~1 шГ ~~~ ш1 ~(х,у)~1'( (Х;( < Оз хе У.
< ~ впр Р(х))Х;) < ~ впр / у(х,у)ду (Х,) < хЕХ, хЕХ; < ~~~ впр ~~~ впрДх,у)~1'~ (Х;~ < хЕХ; хИ'. < ~~> впр 1'(х, у)~Х, х Ц = Я(~, Р). хях~ хеу~ Поскольку 1 Е '1с(Х х У), то при А(Р) — ~ 0 оба крайних члена этих неравенств стремятся к значению интеграпа от функции у по промежутку Х х У. Это обстоятельство позволяет из написанных оценок заключить, что Р Е '1С(Х) и что имеет место равенство Хх1 Мы провели доказательство в случае повторного интегрирования по У, а затем по Х. Ясно, что аналогичные рассуждения можно провести и в случае, когда сначала идет интегрирование по Х, а затем поУ.
ь 2. Некоторые следствия Следствие 1. Если 1' Е Я(Х х У), то при почти всех (в смысле Лебега) значениях х е Х интеграл ) 1(х,у) ду существует и при Р почти всех значениях у е У существует интеграл ) 1(х,у)ах. Х ~ По доказанной теореме | |'(х,у) ду — ~(х,у) !(у ах = О. х У Но стоящая в скобках разность верхнего и нижнего интеграпов неотрицательна. На основании леммы из 23 можно заключить, что эта разность равна нулю почти во всех точках х с Х.
Тогда по критерию Дарбу (теорема 3 21) интеграл 1 у(х, у) ау су- У ществует почти при всех значениях х Е Х. Аналогично доказывается и вторая часть сделанного утверждения. Следствие 2. Если промежуток 1 ! К" является прямым произвеоепием отрезков 1; = (а', Ь') !' = 1,..., и, то ь ь"-' ь! а~ а" а! < Эта формула, очевидно, получается повторным применением доказанной теоремы. Все внутренние интегралы в правой части понимаются, как и в теореме. Например, всюду можно поставить знак верхнего или нижнего интеграла.
~ Пример 1. Пусть |'(х,у,я) = яв1п(х + у). Найдем интеграл от ограничения этой функции на промежуток 1 С Кз, определяемый соотношениями О < х < и, ~у! < и/2, О < 2 < 1. По следствию 2 !г!2 !! Г ~(х,у,я) !1хе1у!Ь = еЬ ду яв1п(х+ у) йх = 1 О -!г/2 О я!г ! я/2 дя ( — ясов(х+ у) ~, О) ду = сЬ 22совуду = Π—,!2 О -,!г 14. СВЕДЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ 157 1 1 ~2г сйп у ~™ ) сЬ = ~ 4г <Ь = 2. уг о о Доказанную теорему можно использовать и для вычисления интегралов по достаточно общим множествам. Следствие 3.
Пусть Р— ограниченное множество в К" 1, а Е = ((х,у) Е К" ~ (х Е Р)/~(~р1(х) < у < уз(х))). Если ~ Е Я(Е), то Фз(т) ((х, у) Йх Иу = сЬ г'(х, у) ду. и т(х) ч Пусть Е = ((х,у) Е К" ~ у1(х) < у < уг(х)), если х б Р, и пУсть Е = И пРи х )е Р. Заметим, что )е (х, У) = )еп(х) )се (У). Вспоминая определение интеграла по множеству и используя теорему Фубини, получаем 1Хе(х,у) 1у= 1(х,у)Хе (у) 1у Хп(х)с1х= е„зп ь ве. 1р и2 (х) ч'з(х) У(х,у) Ь )С (х)1х Х(х,у)с1у и т<) Внутренний интеграл здесь тоже может не существовать на некотором множестве точек х б Р меры нуль в смысле Лебега, и тогда ему приписывается тот же смысл, что и в доказанной теореме Фубини. )н Замечание.
Если в условиях следствия 3 множество Р измеримо по Жордану, а функции ~р;: Р -+ К, 1 = 1, 2, непрерывны, то множество Е С К" измеримо по Жордану. < Граница дЕ множества Е состоит из двух графиков непрерывных функций ~р,: Р— ~ К, 4' = 1, 2 (являющихся в силу примера 2 ~ 1 множествами меры нуль), и части Я прямого произведения границы дР множе- ГЛ. Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 158 ства Р с К" ' на достаточно большой одномерный отрезок длины 1.
По условию дР можно покрыть системой (и — 1)-мерных промежутков, сумма (и — 1)-мерных объемов которых будет меньше е/1. Прямое произведение этих промежутков на выбранный отрезок (длины 1) даст покрытие множества У промежутками, сумма объемов которых меньшее. Ф д(Е) = (~р2(х) — 1о1(х)) дх.
В (2) Пример 2. Для круга Е = ((х,у) Е К2 ~ х2+ у2 ( г2) по этой формуле получаем ь с к/2 к/2 2 =41 УT — У'ь=41', УЯ ю ф=4 1 . 1Я= О О О Следствие 5. Пусть Š— измеримое множество, лежащее в промежутке 1 С К". Представим 1 в виде прямого произведения 1 = = 1 х 1ь (и — 1)-мерного промежутка 1 и отрезка 1, . Тогда при почти всех значениЯх УО Е 1д сечение Ель — — ((х, У) б Е ~ У = УО) множества Е (и — 1)-мерной гиперплоскостью у = ув является измеримым ее подмножеством, причем На основании этого замечания можно сказать, что на измеримом множестве Е такой структуры (как и на любом измеримом множестве Е) функция 1': Š— > 1 Е К интегрируема.
Опираясь на следствие 3 и на определение меры измеримого множества можно теперь заключить, что справедливо Следствие 4. Если в условиях следствия 3 множество Р измеримо по Жордану, а функции 121: Р— 1 К, 1 = 1,2, непрерывны, то множество Е измеримо и его объем можно вычислять по формуле 24. СВЕДЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ 159 где р(Ея) — (и — 1)-мери я мера множесгпва Ею если оно измеримо, и любое число между числами ) 1 дх и / 1 дх, если Ев оказалось йз Ег неизмеримым множеством.
~ Следствие 5 вытекает непосредственно из доказанной теоремы и следствия 1, если положить в них )' = Х, и учесть, что Хе(х, у) = = ХЕ (х) Отсюда, в частности, получается Следствие 6 (принцип Кавальери')). Пусть А и  — два гпела в пространстве Кз, имеющие объем (т.
е. измеримые по Жордану). Пусть А, = ((х,у,г) Е А ~ г = с) и В, = ((х,у,я) Е В ~ г = с)— сечения тел А и В плоскостью г = с. Если при каждом с Е К множества А„Ве измеримы и имеют одинаковую площадь, то тела А и В имеют одинаковые объемы. Ясно, что принцип Кавальери можно сформулировать и для пространства К" любой размерности. Пример 3.
Используя формулу (3), вычислим объем У„шара В = = (х Е К" ! (х~ < т) радиуса г в евклидовом пространстве К". Очевидно, У~ = 2т. В примере 2 мы нашли, что 1'2 = пг2. Покажем, что У„= с„гп, где с„— постоянная (которую мы ниже вычислим). Выберем какой-нибудь диаметр ( — г, г) шара и для каждой точки х Е ( — г, г~ рассмотрим сечение В шара В гиперплоскостью, ортогональной выбранному диаметру.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
