1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Итак, показано, что степенной ряд можно дифференцировать почленно. Проверим теперь, что его можно и интегрировать почленно. Если у: [О, Ц -+ К вЂ” гладкий путь в К, то найдется круг Ка такой, что .1 С Ка и Ка С К. На Ка исходный степенной РЯд сходитсЯ равномерно, поэтому в равенстве стоящий справа ряд из непрерывных на отрезке О < ~ < 1 функций сходится равномерно на этом отрезке к непрерывной же функции 1 (г(г)). ГЛ. ХЧ1. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ 462 Умножение этого равенства на функцию г'(1), непрерывную на отрезке (О, 1), не нарушит ни самого равенства, ни равномерной сходимости ряда.
Значит, по теореме 3 получаем 1 1 Г Л*«О 1Е = 2=„)',( О1- Г 1Е о о=о о Но Г ( (4) — (0))" '(4)114 = 1 4 (4) — (0))" о о (г(1) — л(0))"+1 = (л(1) — ло)"+', и + 1 и+1 и мы приходим к равенству (16). ~и Поскольку в разложении 1 (е) = 2 ' со(г — ео)", очевидно, со = 1(го), о=о то, последовательно применяя равенство (15), вновь получаем знакомые До)1 соотношения с„= е — „-ф~~, которые показывают, что степенной ряд однозначно определяется своей суммой и он является ее рядом Тейлора.
Пример 5. Бесселева функция,ун(х), и е г1 есть решение уравнения Бесселя 1) х ун + ху'+ (х2 — и )у = О. Попробуем найти решение этого уравнения, например, при и = О, в виде степенного ряда у = ~, сьх~. Последовательно используя формуь=о лу (15), после элементарных преобразований приходим к соотношению с1 + ~~1 ()сясь + сь 2)хь 1 = О, а=о из которого, в силу указанной единственности степенного ряда с дан- ной суммой, находим с1 = О, )с~се+се 2 = О, )с =2,3, '1Ф. В. Бессель (1784 — 1846) — немецкий астроном. ЗЗ. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 4бЗ Отсюда легко вывести, что с2ь 1 = О, к Е Я, и сяь = ( — 1)" — $ — г~. (Ы)222 Если считать 1е(0) = 1, то мы приходим к соотношению х2Ь ~.о = +,'>.'(- )',„,,„,„ ь=е Написанный ряд сходится на всей прямой К (и во всей плоскости С), поэтому проведенные выше до конкретизации его вида операции над этим рядом являются законными.
Пример 6. В примере 5 мы искали решение уравнения в виде степенного ряда. Если же ряд задан, то, используя формулу (15), можно непосредственно проверить, является ли сумма ряда решением данного уравнения. Так, прямым вычислением можно убедиться в том, что введенная Гауссом функция а(а+ 1)... (а+ п — 1) Я(3+ 1)... (,3+ и — 1) Р(а„З,.~,х) = 1+ ~ х" ) ь+ )" ь+.— ) (гипергеометрический ряд) корректно определена при |х~ ( 1 и удовлетворяет так называемому гипергеометрическому дифференциальному уравнению х(х — 1)уо — [у — (а+,3 — 1)х) у'+ а)З. у = О. Отметим в заключение, что, в отличие от теорем 2, 3, в теореме 4 требуется, чтобы не исходное семейство, а семейство производных сходилось равномерно.
Мы уже видели (см. пример 2 21), что последовательность функций 1„(х) = — е1п пгх может сходиться к дифференцируемой функции ) (х) = 0 равномерно, в то время как последовательность производных Д(х) не сходится к ~'(х). Дело в том, что производная— это характеристика скорости изменения функции, а не величины значений функции. Даже при очень малых по абсолютной величине изменениях значений функции производная формально может меняться очень сильно, как это имеет место в рассмотренном случае малых колебаний большой частоты.
Именно это обстоятельство легло в основу построенного Вейерштрассом примера непрерывной нигде не дифференцируемой функции, которую он задал в виде ряда у 1х) = ,') а" сое(Ь"ях), п=е ГЛ. ХН1. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ очевидно, равномерно сходящегося на всей прямой И, если 0 < о < 1.
Вейерштрасс показал, что если параметр 6 выбрать удовлетворяющим условию а . 6 ) 1 + 2я, то, с одной стороны, 1 будет непрерывна как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций, а с другой стороны, она не будет иметь производную ни в одной точке х б И. Формальная проверка последнего утверждения довольно утомительна, поэтому желающие получить более простой пример непрерывной функции без производной могут посмотреть задачу 5 из 21 гл. У. Задачи и упражнения 1. Используя степенные ряды, найдите решение уравнения р" (х) — р(х) = О, удовлетворяющее условиям а) р(0) = О, р(1) = 1; ь) р(о) = 1, р(1) = о.
ь — г 2. Найдите сумму ряда 2 ь=1 3. а) Проверьте, что задаваемая в виде ряда функция ( ць х гье й! (й + и)! ( 2) о=о является решением уравнения Бесселя с индексом п > 0 из примера 5. Ь) Проверьте, что гипергеометрический ряд из примера 6 доставляет решение гипергеометрического уравнения. 4. Получите и обоснуйте следующие пригодные для вычислений разложения полных эллиптических интегралов первого и второго рода при 0 < 6 < 1 ко)= 1 ~г/г о а=1 5. Найдите а) 2, гье'"4', о=о Ь) 2 г" соя/с~о; о=о и с) 2 г~ошйу. о=о 53. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 465 Покажите, что при ~г~ < 1 «1) ~ гйе'"е = 1 — )' со» т — «г»ю»» ! й=о Оо «2 ) 1; — ь~ »«=,' )«=1 1 — 2« со» и -Ь г й=) Проверьте, что в смысле суммирования ряда методом Абеля я) 2 + 2.' соа !»)р = О, если у) ~ 2яп, п В л; й=1 Ь) ! з!ай)»» = 2 с!8 $, если )р ф 2яп, п е Ж.
й=1 6. Рассмотрев произведение рядов (ао )- а» -)-... ) (Ьо -)- Ь«+... ) = (со + с» +... ), где с„= аоЬ„+ а»Ь„» + ... + а„) Ь) + а„Ьо, и используя утверждение 1, покажите, что если ряды 2 а„, 2 Ь„, 2 с„сходятся соответственно к А, В о=о о=о о=о иС,тоА.В=С. о о «о 7. Пусть л„= 2 ай и ««„= — „~ лй. Ряд 2 ай называется суй»мируел«ь«и й=» й=1 й=) по Чезаре'~), точнее (с, 1)-суммируемым к А, если !пп «г„= А. В этом случае о-» «о пишут 2 ай = А(с,1). й=) а) Проверьте, что 1 — 1+ 1 — 1+... = 2~(с, 1). Ь) Покажите, что о„= 2 (1 — — "„~) ай. й=» с) Проверьте, что если 2 ай = А вобычном смысле, тон 2 ай = А(с,1). й=1 й=» <1) (с,2)-суммой ряда 2 , 'ай называют величину 1пп ~1 (о) +...
+ и„), если й=» о — »о» этот предел существует. Так можно определить сумму (с, г) любого порядка г. Покажите, что если 2 ай = А(с, г), то 2 ай = А(с, г + 1). й=1 й=» е) Докажите, что если 2 ай = А(с, 1), то и методом Абеля этот ряд сумй=) мируется к той же величине А. 8. а) «Теорема таубероеа тип໠— это собирательное название для теорем, дающих возможность при тех или иных дополнительных условиях ре- 1) Э. Чезаро (1859 — 1966) — итальянский математик, занимался анализом и геометрией.
ГЛ. Х111. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ гулярности судить о поведении самих величин по поведению некоторых их средних. Примером такой теоремы, относящейся к методу Чезаро суммирования рядов, является следующее утверждение, которое вы можете попробовать доказать вслед за Харди' >. Если ~ ап = А(с,1) и если ап = О [1), то рлд ~ ап сходитпсл в обычп=1 п=1 ном смысле и к той лсе сумме. Ь) Сама теорема Таубераз) относится к методу Абеля суммирования рядов и состоит в следующем. ПУсть Рлд ~ апхп сходитсЯ пРи 0 < х < 1 и 1!1п ~ апхп = А.
Есп=1 а->1 — О и а +2а -Ь....>пап «а « „''' ""= °, рдхпа д б и-раа причем к А. 9. Полезно иметь в виду, что в отношении предельного перехода под знаком интеграла существуют теоремы, дающие гораздо более свободные достаточные условия для возможности такого перехода, чем те, которые предоставляет теорема 3. Эти теоремы составляют одно из основных достижений так называемой теории интеграла Лебега. В случае, когда функция интегрируема по Риману на отрезке [а, 6], т.е.
7 е 'д«.[а, Ь], зта функция принадлежит также пространству и[а, 6] функций, интегрируемых по Лебегу, причем значения ь ь интегралов (Е) ] 7'(х) дх, (Е) ] 7" (х) дх Римана и Лебега от 7' совпадают. а а Вообще пространство ь[а, Ь] есть пополнение пространства Я.[а, Ь] (точнее, ь 7с[а, Ь]) по интегральной метрике, а интеграл (Е) ] есть продолжение линейной а ь функции (В) ] с «с[а,6] на ь[а, Ь]. а Итоговая теорема Лебега «об ограниченной сходимости> утверждает, что если последовательное«пь (~„; и ч 1>() функций ~„6 ь[а, 6] такова, чтпо сущее«подет неотрицательная функция г' 6 ь[а,Ь], маневрирующая функции последовательности, тп.
е. [7п(х)[ < Е(х) почти всюду на [а,6], то из сходи- мости 7п -+ 7 почти во всех тпочках отРезка [а,6] вытекает, что 7 6 1;[а, 6] ь ь и !пп (Е) ]' ~„(х) дх = (Е) ]' /(х) дх. а) Покажите на примере, что даже если все функции последовательности (7„; и Е И) ограничены одной и той же константой М на отрезке [а, Ь], из ОГ, Х.Харди (1877-1947) — английский математик; основные труды посвящены теории чисел и теории функций. ~дА. Таубер (род.
1866;год смерти неизвестен) — австрийский математик; основные исследования относятся к теории чисел и теории функций. ЬЗ. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 467 условий /„ б Я.[а,Ь], и Е Я и /„ -+ / поточечно на [а,Ь] не следует, что / б Я.[а,Ь] (см.пример 5 из З 1). ь ь Ь) Основываясь на сказанном о взаимоотношении интегралов (11) ], (ь) [ а Я и теореме Лебега, покажите, что если в условиях предыдущего пункта задачи ь ь известно, что все же / е Я.[а, 6], то (ль) [ /(х) дх = 1пп (В) ] /„(х) дх. Это п -ьео существенное усиление теоремы 3.
с) Применительно к интегралу Римана можно сформулировать еще следующий вариант теоремы Лебега о монотонной сходимости. Если последовательность (/„; и Е И) функций /„Е н.[а, 6] сходится н нулю монотонно, т. е. 0 < /„ьь < /„и /„-ь 0 при и -ь оо длл любого ь Х Е [а, Ь], та (лг) ) /„(Х) С(Х -+ О. а Докажите это утверждение, используя при необходимости следующее полезное наблюдение.
1 д) Пусть / Е '1с[а,Ь], [/[ < М и ] /(х)дх > а > О. Тогда множество о Е = (х Е [0,1] [ /(х) > а/2) содержит конечное число таких интервалов, сумма 1 длин которых не меньше, чем а/(4М). Докажите это, используя, например, интервалы такого разбиения Р отрезка [О, 1], которому отвечает нижняя сумма Дарбу в(/, Р), удовлетворяющая 1 соотношению 0 < ] /(х) дх — в(/, Р) < а/4. о 10. а) Покажите на примерах из з 1, что не всегда иэ сходящейся на отрезке последовательности функций можно извлечь подпоследовательность, которая сходилась бы равномерно на этом отрезке. Ь) Гораздо труднее непосредственно проверить, что из последовательности (/„; и б 1л) функций /„(х) = я1п пх нельзя извлечь подпоследовательность, которая сходилась бы в любой точке отрезка [О, 2н].
Докажите, что это, однако, именно так (используйте результат задачи 9Ь) и то обстоятельство,что ] (сйппьх — сйппьых) дх = 2я ~ 0 при пь < пььь). о с) Пусть (/„; и Е 'г() — равномерно ограниченная последовательность функций /„Е Яа, Ь].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
