1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Пусть Р„(х) = /„(8) д1 (а < х < 6). а Покажите, что из последовательности (Р„; и Е 'г1) можно извлечь подпоследовательность, равномерно сходящуюся на отрезке [а, Ь]. ГЛ. ХУ1. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ 468 11. а) Покажите, что если 1,1„е Я([а,Ь],К) и 1„.=4 1 на [а, Ь] при и -+ со, то для любого числа в > О найдется такой номер Ь1 е г(, что при любами > А1 будет выполнено соотношение ь (1 — 1„)(х) ь(х < в(Ь вЂ” а).
а Ь) Пусть 1'„Е СО~([а, Ь], К), и й 'г). Используя формулу ~„(х) = 1'„(хв) + + ] 1„'(г) <й, докажите, что если 1„' =4 ~р на отрезке [а, Ь] и существует точка ьь хв е [а, Ь], для которой последовательность ( („(хв); и е 1Ч) сходится, то последовательность функций (1„; и Е 1Ч) сходится равномерно на [а, Ь] к некоторой функции 1 Е СОВ([а, Ь], К), причем 1ь =4 1' = у. * 8 4. Компактные н плотные подмножества пространства непрерывных функций Этот параграф посвящен более специальным вопросам, относящимся, однако, к вездесущему для анализа пространству непрерывных функций. Все эти вопросы, как, впрочем, и сама метрика пространства непрерывных функций" ), тесно связаны с понятием равномерной сходимости. 1. Теорема Арцела — Асколи Определение 1. Семейство г' функций 1: Х вЂ” ь У, определенных на множестве Х и принимающих значения в метрическом пространстве У, называется равномерно ограниченным на множестве Х, если множество T = (у Е У [ 3 у Е .г' 3 х Е Х (у = 1(х))) значений функций семейства ограничено в У.
Для числовых функций или для функций у: Х -ь Ии это попросту означает существование такой константы М е И, что для любого х е Х и любой функции 1 Е В будет [1(х) ~ ( М. Определение 1'. Если множество У с У значений функций семейства г' вполне ограничено (т. е. при любом г > О для У в У найдется конечная в-сеть), то семейство г называется вполне ограниченным. '~ Если вы еще не вполне освоились с общими поплтпями из главы 1Х, то без потери содержательности дапьпейщего можете считать, что всюду речь идет о функциях, действующих из К в К, или из С в С, или из К в К~.
14. ПРОСТРАНСТВО НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 469 Для пространств У, где понятия ограниченного и вполне ограниченного множества совпадают (например для К, С, й", С"" и вообще в случае локально компактного пространства У), понятия равномерно ограниченного и вполне ограниченного семейства функций со значениями в У тоже совпадают. Определение 2. Пусть Х и У вЂ” метрические пространства. Семейство У' функций 1: Х вЂ” > У называется равностепенно непрерывным на множестве Х, если для любого е > 0 существует б > 0 такое, что при хм хг Е Х соотношение дх(хм хг) < Б влечет дуЩх1), ~(хг)) < е, какова бы ни была функция 1 семейства. Пример 1. Семейство функций (х"; и е И) не является равностепенно непрерывным на отрезке [О, 1], но оно равностепенно непрерывно на любом отрезке вида [О,о], где 0 < о < 1.
Пример 2. Семейство функций (в1пих; п Е И) не равностепенно непрерывно ни на каком невырожденном отрезке [а, Ь] С й. Пример 3. Если семейство ((': [а,Ь] — + 2; о Н А) дифференцируемых функций )' таково, что семейство (1'; о б А) их производных С„равномерно ограничено постоянной, то, как следует из формулы конечных приращений, ]~ (хг) — 1 (х1)] < М[хг — х1], и, значит, исходное семейство равностепенно непрерывно на отрезке [а, Ь]. Связь введенных понятий с равномерной сходимостью непрерывных функций демонстрирует уже следующая Лемма 1.
Пусть К и У вЂ” метрические пространства, причем К вЂ” компакт. Длл того, чтобы последовательность (~„; и Н И) непрерывных функций ~„: К вЂ” ~ У сходилась на компакте К равномерно, необходимо, чтобы семейство (~„; и Е И) было вполне ограниченным и равностепенно непрерывным. < Пусть ~„=Ц 1' на К. По теореме 2 из 93 заключаем, что )' б Н С(К, У). Из равномерной непрерывности )' на компакте К вытекает, что для любого е > 0 найдется такое б > О, что при хмхг Е К (дк(хыхэ) < б =~ ду(Дх1),~(хг)) < е). По этому же е > 0 найдем такой номер И Н И, чтобы при и > И в любой точке х Е К иметь дуЩх),(„(х)) < е. Сопоставляя эти неравенства, пользуясь неравенством треугольника, находим, что при любом и > И и хыхг Е К из дк(хыхг) < б следует ду(('„(х1),)'„(хг)) < Зе.
Значит, семейство ГЛ. ХЧ1. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ 470 1/„;и > А7) равностепенно непрерывно. Добавляя к нему равностепенно непрерывное семейство 1/ы ...,/А ), состоящее из конечного числа непрерывных на компакте К функций, получим равностепенно непрерывное семейство 1/„; и Е И). То, что оно вполне ограничено, вытекает из неравенства ду®х),/„(х)) ( е, справедливого при х Е К и и > Х, а также из к того, что /(К) и Ц /„(К) компактны в У, и, значит, вполне огранив=1 ченывК ~ На самом деле справедлива следующая общая Теорема 1 (Арцела — Асколи).
Пусть У' — семейство функций /: К вЂ” ~ У, определенных на метрическом компакте К со значениями в полном метрическом пространстве К Для того, чтобы любая последовательность (/„Е .с'; п б И) содержала равномерно сходяи4уюся подпоследовательность, необходимо и достаточно, чтобы семейство с' было вполне ограниченным и равностепенно непрерывным. м Необходимость. Если бы т не было вполне ограниченным семейством, то, очевидно, можно было бы построить такую последовательность 7,/„; и Е И) функций /„Е У', которая не была бы вполне ограниченной и из которой (см. лемму) уже нельзя было бы извлечь равномерно сходящуюся последовательность.
Если семейство У' не равностепенно непрерывно, то найдутся число ео > О и такие последовательность функций 1/ Е .с'; и Е И) и последовательность 1(х'„, х,",); и Е И) пар (х'„, х,",) точек х'„, х'„', сходящихся при и — + оо к некоторой точке хо Е К, что дг(/п1х'„), /„(х'„')) > ео > О. Тогда из последовательности 1/„; и Е И) уже нельзя извлечь сходящуюся равномерно подпоследовательностгс ведь по лемме 1 функции такой подпоследовательности должны были бы составлять равностепенно непрерывное семейство. Достаточность.
Компакт К будем считать бесконечным множеством, иначе утверждение тривиально. Фиксируем в К счетное всюду плотное подмножество Š— последовательность 1х„е К; и е И). Такое множество Е легко получить, взяв, например, объединение точек конечных е-сетей в К, получаемых при е = 1, 1/2,..., 1/и,... Пусть 1у„; и Е И) — произвольная последовательность функций се- 14. ПРОСТРАНСТВО НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 471 мейства У'. Последовательность (~„(х1); и б И) значений этих функций в точке х1 по условию ограничена в У и, поскольку У вЂ полн пространство, из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность (7„»(х1); 7» б И). Функции полученной последовательности, как будет видно, удобно обозначить через 7'1, и Е И. Индекс 1 показывает, что это последовательность, построенная по точке хь Из полученной последовательности извлечем подпоследовательность (1'„„; Й Е И), которую обозначим через (ф и б И), такую,что последовательность (~„'„(хэ); 1» е И) является сходящейся.
Продолжая этот процесс, получим серию ( ф и Е И), и = 1,2,... последовательностей. Если теперь взять »диагональную» последовательность (д„ = Д;и е И), то она,как легко видеть, будет сходиться в любой точке всюду плотного множества Е С К. Покажем, что последовательность (д„; и б И) сходится в любой точке компакта К и что ее сходимость равномерная на К. Для этого фиксируем е > О и подберем б > О в соответствии с определением 2 равностепенной непрерывности семейства У. Пусть Е1 = (См..., (ь)— конечное подмножество Е, образующее б-сеть в К. Поскольку последовательности (д„(~,); и Е И), » = 1, 2,..., к сходятся, найдется такой номер г7, что при т, и > г7 будет ду(д,,ф),д„ф)) < е для» = 1,2,..., )с.
Для каждой точки х Е К найдется такая точка С Е Е, что дк(х,( ) < б. В силу равностепенной непрерывности семейства г' отсюда следует, что оу(д„(х),д„(С )) < е при любом и Е И. Используя полученные неравенства, теперь находим, что при любых т, и > Д7 ду(д„(х),д„(х)) <»1у(д„(х),дп(сб)) + дг(д ф),д (С7)) + + Ну(д, (х),д,„ф)) < с+ е+е = Зе.
Но х — произвольная точка компакта К, значит, по критерию Коши последовательность (д„; и Е И) действительно равномерно сходится наК. ь 2. Метрическое пространство С(К,У). Одной из наиболее естественных метрик на множестве С(К, У) функций у: К -+ У, непрерывных на компакте К и принимающих значения в метрическом пространстве У, является следующая метрика равномерной сходимо- ГЛ. ХУЕ РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ 472 а(э, д) = шах ау ® х), д(х) ), где 1,д е С(К, У), а максимум существует, так как К вЂ” компакт. Происхождение названия метрики связано с тем, что, очевидно, д(7"„, 1) -+ — >О «» ~„~~наК.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
