1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 92
Текст из файла (страница 92)
с) Пусть у' — определенная в окрестности нуля функция класса СЬ">. Проверьте, что справедлива следующая формула Тейлора с остаточным членом в форме Адамара: У( ) = У(О) + — У'(О)х + ... + ('"-"(О)х"-' + х" р(х), 1 1 1! (и — 1)! где ьо — функция, непрерывная в окрестности нуля, и у(0) = -„-~100(0). д) Обобщите результаты задач а), Ь), с) на случай, когда 1 — функция нескольких переменных. Запишите основную формулу Тейлора в мультииндексных обозначениях и — 1 И ) = ~ — ',В.ПО)ха+ ~: *..(.) )а)=0 )а)=а и заметьте в дополнение к сказанному в задачах а), Ь), с), что если 1 Е СЬа" "1, то ьоа а С~ 12.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 489 82. Несобственные интегралы, зависящие от параметра 1. Равномерная сходимость несобственного интеграла относительно параметра а. Основное определение и примеры. Пусть при каждом значении у Е У сходится несобственный интеграл Е(у) = У(х у) дх а Определение. Говорят, что несобственный интеграл (1), зависящий от параметра у Е У, сходится равномерно на мнолсестве Е С У, если для любого числа г > 0 существует такая окрестность о'(, ((ш) точки ш в множестве [а, ш[, что при любом 6 Е У(„м((ю) и любом значении у Е Е имеет место следующая оценка Г у(х, у) дх ь (2) остатка интеграла (1).
Если ввести обозначение Еь(у) = ах, у) дх а для собственного приближения несобственного интеграла (1), то приведенное основное определение этого параграфа можно (и, как будет видно из дальнейшего, весьма полезно) переформулировать также в иной, равносильной прежней, форме: равномерная сходимость интеграла (1) на множестве Е С У по определению означает,что Еь(у) =4 Е(у) на Е при Ь-+ со, Ь б [а,ш[. (4) по промежутку [а,ш[С 2. Для определенности будем считать, что ин- теграл (1) имеет единственную особенность, связанную с верхним пре- делом интегрирования (т. е. или ю = +ос или функция ~ неограничена как функция х в окрестности точки ш). ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Действительно, ведь Е(у) = ~(х, у) дх:= 1пп Дх, у) 61х = 1пп Еь(у), 6Е1а, 6Е16, поэтому соотношение (2) можно переписать в виде (5) ~ Е (у) — гь (у) ~ е.
е. Последнее неравенство справедливо при любом Ъ Е Е1(, ь((ы) и любом у Е Е, что и указано в соотношении (4). Итак, соотношения (2), (4), (5) означают, что если интеграл (1) сходится равномерно на некотором множестве Е значений параметра, то с любой наперед заданной точностью и одновременно для всех у Е Е этот несобственный интеграл (1) можно заменить некоторым собственным интегралом (3), зависящим от того же параметра у. Пример 1. Интеграл е(х хо+уз 1 сходится равномерно на всем множестве К значений параметра у Е К, поскольку при любом у Е К хз + уз хз Ь ь ь как ТОлько Ь > 1/е. Пример 2.
Интеграл Г е *"дх, о очевидно, сходится, лишь когда у > О. При этом на любом множестве (у Е К ~ у > уо > О) он сходится равномерно. 22. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 491 В самом деле, если у > уо > О, то Вместе с тем на всем множестве К. = (у Е И [ у > О) равномерной сходимости нет. Действительно, отрицание равномерной сходимости интеграла [1) на множестве Е означает, что Г Дх,у) сКх ь В нашем случае в качестве еа можно взять любое действительное число, поскольку Рассмотрим еще один менее тривиальный пример, которым мы в дальнейшем воспользуемся. в которых о и 13 — фиксированные положительные числа, сходится рав- номерно на множестве неотрицательных значений параметра. — -ь О ( е "дх = — е ьь ( — е ь"' -+ О при Ь -+ +оо. У Уо Ь зео >О УВы [а,ю[ ВЬЕ [В,ы[ ВУ ЕЕ Г 1 ь е *"йх = — е ь" — ++ос, когда у-++О, у Ь каково бы ни было фиксированное значение Ь Е [О, +ос[.
Пример 3. Покажем, что каждый из интегралов ф[х) = х'*у ье-ь1е П4-*)",1у, а г"[у) = х у +~+ е ~ ~*ЕЙх а ") ГЛ. ХУП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 492 Для остатка интеграла Ф(х) сразу получаем, что О < 1 ха а+0+10-(1<-х)у 1~ Ь [ху) е *ууе+ е "ду < М узо1е "Ну, где М = шах и е ". Поскольку последний интеграл сходится, то 0<о<-Ооо при достаточно больших значениях 6 Е К он может быть сделан меньше любого наперед заданного числа е > О.
По зто и означает равномерную сходимость интеграла Ф(х). Теперь рассмотрим остаток второго интеграла 6'(у): 0 < 1 х у .ьуь1е 11+*~" 11х = ь = у~е " (ху) е Уус1х = у~е " и е 11и. Поскольку при у > 0 ьу а уре у -+ 0 при у -+ О, то для е > О, очевидно, найдется такое число уе > О, что при любом у Е [О, уе] остаток интересующего нас интеграла будет меньше е независимо даже от значения 6 Е [О, +со[. Если же у > уе > О, то, учитывая, что Мо = шах уле У < +ос, а 0(у<аоо .~-оо +оо 0 < [ и е "ои < [ и е "ои — о 0 при 6 — ь +со, заключаем, что при Ьу Ьуо всех достаточно больших значениях 6 Е [О, +ос[ одновременно для всех значений у > уе > 0 остаток интеграла г (у) можно сделать меньшим, чем е.
12. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 493 Объединяя участки [О, ув], [уо, +оо[, заключаем, что, действительно, по любому е > О можно так подобрать число В, что при любом Ь > В и любом у > О соответствующий остаток интеграла Е(у) будет меньше, чем е. Ь. Критерий Коши равномерной сходимости интеграла о'тверждение 1 (критерий Коши). Для того, чтобы несобственный интеграл (1), зависящий от параметра у Е У, сходилсл равномерно на множестве Е С У, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > О существовала такая окрестность У( ((ю) точки щ, что при любых Ьп Ь2 Е У( ((ы) и любом у Е Е выполняется неравенство ь, (б) У(х,у) дх ь, м Неравенство (б) равносильно соотношению ]Еь,(у) — Еь,(у)] ( е, поэтому утверждение 1 является прямым следствием записи (4) определения равномерной сходимости интеграла (1) и критерия Коши равномерной сходимости на Е семейства функций Еь(у), зависящих от па- раметра Ь Е [а,ю[.
ь В качестве иллюстрации использования этого критерия Коши рассмотрим следующее иногда полезное его Следствие 1. Если функция 7" в интеграле (1) непрерывна на множестве [а,ш[х[с,д], а сам интеграл (1) сходится при любом у е Е]с,д[, но расходится при у = с или у = д, то он сходится неравномерно на интерва е ]с,д[, равно как и на любом множестве Е С]с, д[, замыкание которого содержит точку расходимости. < Если при у = с интеграл (1) расходится, то на основании критерия Коши сходимости несобственного интеграла существует число гв > О такое, что в любой окрестности У(„„((ю) найдутся числа Ьы Ь2, для которых ь2 (7) > ев ь, ГЛ.
ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Собственный интеграл ЬЬ ьь является в нашем случае непрерывной функцией параметра у на всем отрезке [с, И) (см. утверждение 1 из ~ 1), поэтому при всех значениях у, достаточно близких к с, вместе с неравенством (7) будет выполняться неравенство Ьь 7'(х, у) ьКх > ее. Ь| На основании критерия Коши равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра, теперь заключаем, что рассматриваемый интеграл не может сходиться равномерно ни на каком подмножестве Е С )с, д(, замыкание которого содержит точку с. Аналогично рассматривается случай, когда интеграл расходится при у = д. > Пример 4. Интеграл сходится при 1 > 0 и расходится при 1 = О, поэтому он заведомо сходится неравномерно на любом множестве положительных чисел, имеющем нуль предельной точкой.
В частности, он сходится неравномерно на всем множестве (1 Е ж ~ 1 > О) положительных чисел. В данном случае сказанное легко проверить и непосредственно: | ьяь 1 Г 2 е ь* с1х = — 1 е " Ди -+ +ос при 1-++О. =д/ ь,ь Подчеркнем, что тем не менее на любом отделенном от нуля множестве 11 Е К ~ 1 > Ье > 0) наш интеграл сходится равномерно, поскольку 0 ( — / е " ди ( — / е " ди -+ 0 при Ь -+ +ос. ,л/ ч'Ье ь|/К Ь|'Мь з2, НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 495 с. Достаточные условия равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра Утверждение 2 (признак Вейерштрасса).
Пусть функции т (х, у), д(х, у) интпегрируемы по х на любом отпрезке [а, б] С [а, от[ при каждом значении у е У. Если при каждом значении у Е У и любом х Е [а,ьт[ имеет место неравенство [1(х, у)~ < д(х,у), а интеграл | д(х,у) дх а сходится равномерно на У, то интпеграл Г у(х,у) дх а сходится абсолютно при каждом у Е У и равномерно на множест- ве У. < Это следует из оценок ьт Ь2 у(х,у) дх < [у[х,у)[ дх < д(х,у)дх ь1 ь, ь, и критерия Коши равномерной сходимости интеграла (утвержде- ние 1). ь Наиболее часто встречается тот случай утверждения 2, когда функция д вообще не зависит от параметра у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
