1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Ф>ормула Эйлера — Гаусса. Так обычно называют следующее равенство: (и — 1)! Г(а) = 11т и" . и — ~ а(а+ 1) ... (а+ п — 1) < Для его доказательства сделаем в интеграле (2) замену переменной х = 1п ~ и получим новое интегральное представление функции Г: и 1 Г(а) = 1п~ 1 — ои. о (12) Совмещая зти выводы, получаем, что интеграл (8) сходится равномерно на любом отрезке (а, Ь) С )О, +ос[.
Но при зтих условиях дифференцирование под знаком интеграла (1) законно. Значит, на любом таком отрезке (а, Ь], а следовательно и на всем промежутке 0 < а, функция Г бесконечно дифференцируема и справедлива формула (8). » 13. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 519 В примере 3 9 3 гл. ХЧ1 было показано, что последовательность функций у„(и) = п(1 — иь и), монотонно возрастая, сходится на промежутке 0 < и < 1 к функции 1п ( — „) при п — ~ оо. Используя следствие 2 из 92 (см. также пример 10 из 9 2), заключаем, что при а > 1 | 1п 1 — ди = 1пп и" 1 (1 — и'~") 'ди. (13) о о Сделав в последнем интеграле замену переменной и = о", из (12), (13), (1), (3) и (5) получаем 1 Г(а) = 11п1 и о" "(1 — о) 'сЬ = о = 11ш и"В(п,а) = 11т и'"В(а,п) = (п — 1)! 11ш и".
-~ о а(а + 1)..... (а + п — 1) ' Применяя к доказанному для а > 1 соотношению Г(а) = 1пп п~В(а, п) формулы понижения (4) и (9), убеждаемся в справедливости формулы (11) при всех а > О. > е. <формула дополнения. При 0 < а < 1 значения а и 1 — а аргумента функции Г называют взаимно дополнительными, позтому равенство Г(а) Г(1 — а) = , (О < а < 1) (14) з1пяа называют формулой дополнения длл гамма-функции. м Используя формулу Эйлера-Гаусса (11), после простых тождественных преобразований находим, что (п — 1)! -~ ~ а(а+1) ...
(а+и — 1) ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 520 (гг — 1)! х ггг-" (1 — сг)(2 — гг) ... (гг — о) ) 1 -"-~ .(1+У) ... (1+„-,) (1 — г) (1 — Т) ... (1 — ~~ г) (и — гг) : '(.-) 1 1 = — 1пп ( —,') ( Ф)...,. ( 'П ) Итак, при 0 < о < 1 1 1 Г(а)Г(1 — ) = — П 1 — и гг=1 ат (15) Но имеет место классическое разложение ьйпягг = гггг П 1 —— -) к=1 (16) Из формулы (14), в частности, следует, что гн =,г (17) Заметим,что п~ 'г Г „2 Г~ — ~=~ л гг2е *г1л=2~ е "г1и, Ы l (Сейчас мы не останавливаемся на его доказательстве, поскольку позже, при рассмотрении рядов Фурье, оно будет получено в качестве простого примера использования общей теории; см.
гл. ХЧ111, 0 2, пример 6.) Сопоставляя соотношения (15) и (16), приходим к формуле (14). ~ 521 13. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ и, таким образом, мы вновь получаем значение интеграла Эйлера- Пуассона: +Ог -иг 1 е " г1и = — 1/я. 2 о 3. Связь между функциями В и Г. Сопоставляя формулы (6) и (10), можно заподозрить следующую взаимосвязь: (18) между функциями В и Г. Докажем эту формулу.
< Заметим, что при у > 0 Г(ег) = у ха 'е х" г1х, о поэтому справедливо также равенство Г(о+11) Уа ' а 1 1 а„.д, („л>х,~ (1 + у)а-г-гг / о используя которое, с учетом формулы (7), получаем / Г(сг+ 13)у Г(о+13) В(сг,(3) = ~ г(у = о а-1 ~ а1-д-1 -(1~-у)х ~х~,1 о о . Г(Г ...„, „,„,.„,~„ ( у х е о о ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 522 — ха 1е * (ху)" 1е г*")хг1у Дх = о о х~ 1е * и е "г1и Йх = Г(о) Г(,3). ~ ~ ~ | ~ ~ ~ ~ а ~ | ~ а о о Нам остается объяснить отмеченное восклицательным знаком равенство.
Но именно оно было рассмотрено в примере 16 из 2 2: ~ 4. Некоторые примеры. Рассмотрим в заключение небольшую группу взаимосвязанных примеров, в которых встречаются введенные здесь специальные функции В и Г. Пример 1. гг/2 | яп грсоо грг1гр = — В ~ —, — ~ . а — 1 д — 1 2 12'2( о (19) ~ Для доказательства достаточно в интеграле сделать замену перЕМЕННОй явг гр = Х. Ь Используя формулу (18), интеграл (19) можно выразить через функцию Г.
В частности, с учетом (17) получаем гг/2 гг,Г2 2 Г(-ф-')' о о (20) ггггг $~„(г) = са 1(гг — хг) ~ дх = — г с„1 соя" гр гагр г", — !г Пример 2. Одномерный шар радиуса г — зто попросту отрезок, а его (одномерный) объем У~(г) — зто длина 2т такого отрезка. Итак, Уг(г) = 2г. Если считать, что Цп — 1)-мерный) объем (п — 1)-мерного шара радиуса г выражается формулой Ъ'„1(г) = с 1г" ', то, интегрируя по сечениям (см. пример 3 24 гл. Х1), получаем т.е. $'„(г) = с„г™, где л/2 с„= 2с„1 соз" у с6р. о таким образом, „,г(" ) г("-,) г(-',) Г ( — "") Г ("-~21) Г (Й) или, короче, г (з) г (-"т222) ' Но с1 — — 2, а Г ~2~ = 2Г ~2~ = -~/я, поэтому Г( ~~)' Следовательно, я2 У"( ) г( +2) или, что то же самое, из У„(г) = „„) т". 2 2 (21) Пример 3.
Из геометрических соображений ясно, что <й~„(т) = = Б„1(г) Йт, где Б„1(т) — (и — 1)-мерная площадь сферы, ограничивающей в К" п-мерный шар радиуса г. Таким образом, Я„1(г) = ф(г), и с учетом формулы (21), получаем Я„~(г) = — „г" г® Благодаря соотношениям (20), последнее равенство можно переписать в виде г ("+') Ск — — ~~, ~ 2) Си г(" 2 524 ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Задачи и упражнения 1. Покажите, что: а) В(1/2,1/2) = я. Ь) В(а,1 — а) = ] ~~~а 11х.
о 1 ) ав[ д) ] -~[1 )д-~ 1„ о еии 4х о и'1 Е хи йБ1и— и .~-СЮ 1) Г ах 2я 1-1. х а-1 о и-1 и о 1) Длина кривой, задаваемой в полярных координатах уравнением ги = = аи сояпо1, где п 6 И и а ) О, выражается формулой аВ 11 2, 2и ). Г1 2. Покажите, что: а) Г(1) = Г[2); Ь) производная Г' функции Г в некоторой точке хо Е]1,2[ обращается в нуль; с) функция Г' является монотонно возрастающей на промежутке ]О, +со[; е)) функция Г монотонно убывает на промежутке ]О,хо] и возрастает на промежутке [хо, +со[; е) интеграл / ~1п — „) 1п 1п — ди равен нулю при х = хо, 1' 1 о 1) Г[а) 1 при о -++О; -~-сю Е) 1пп ] е * ах=1.
о и-1 3. Формула Эйлера Е зх П Г [-"1 = Ь вЂ” ) —. а) Покажите, что Е~ = П Г (-„") Г ("— „) . 1=1 и — 1 Ь) Проверьте, что Е и — 1 Г хи 1 Г .11 С) ИСХОдя ИЗ тОждЕСтВа —; — -1- — — П 11Х вЂ” Ее и ), ПОЛуЧИтЕ Прн Х вЂ” 1 1 1=1 53. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 525 последовательно соотношение и-1 =П(1 — ег ), 2=1 а из него соотношение л — 1 к.я п=2 Пягп —, и 2=1 г1) Используя последнее равенство, получите формулу Эйлера. 4.
Формула Лежандра Г(о)Г (о+ 2~) = -Щ-Г(2сг). а) Покажите, что В(о,о) = 2 1 ~ ~~ — (2~ — х) ) г1х. о Ъ) Сделав в предыдущем интеграле замену переменной, докажите, что В(гг, гг) = — ~~--Т В (2~, гг) . с) Получите теперь формулу Лежандра. 5. Сохраняя обозначения задачи 5 из 5 1, укажите путь, на котором с использованием интегралов Эйлера может быть выполнена вторая, более деликатная часть указанной задачи. а) Заметьте, что при й = 1 будет й = й и ъ'2 л/2 л1 2 2 Г(гР Е = Е лл / 1 — — я1п гр гйр, К = К лл / 2 о о 1 —;огп Р Ь) После соответствующей замены переменных зти интегралы приводятся к виду, из которого следует, что при й = 1/2/2 К = — В(1/4,1/2) и 2Š— К = — В(3/4,1/2).
1 1 21/2 21/2 с) Теперь получается, что при й = 1/1/2 ЕК + ЕК вЂ” КК = гг/2. 1 6. Интеерал РаабеИ ) 1п Г(х) йх. о Покажите, что; 1 1 а) / 1п Г(х) дх = 1 1п Г(1 — х) 11х. о о ПЖ. Л. Роабе (1801 — 1859) — швейцарский математик и физик. ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 526 1 л/2 Ь) 1 1пГ(х)дх = 2~1пн — 1 ) 1поупх)(х. о о л/2 л/2 с) ) 1пв!пхдх = ) 1по!п2хдх — 2~1п2. о о л/2 11) ) 1и 21п х дх = — л2 1п 2. о 1 е) ( 1пГ(х)дх = 1п1/2н. о 7.
Используя равенство 1 1 — = — /у у' е *"ду Г(.) / о и обосновав возможность изменения порядка соответствующих интегрирований, проверьте, что -)-оо о л) / льлль= )Олд 2). )Г) ' + лл) с) Получите теперь еще раз значение интеграла Дирихле ) ' дх и знао .)-00 +ло чение интегралов Френеля ) соях дх, 1 21пх йх. о о 8.
Покажите, что при а > 1 х 1(х = Г(а) ),(а), о где ),(о) = 2 -~~ — дзеп1а-1))унниил Римана. л=1 9. Формула Гаусса. В примере 6 2 3 гл. ХЧ1 была указана введенная Гауссом функция являющаяся суммой написанного гипергеометрического ряда. Оказывается, имеет место следующая формула Гаусса: Г( у) Г(у — а — /у) Г( у — а) Г( у — /3) 2 5. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 527 а) Раскладывая функцию (1 — 8х) д в ряд, покажите, что при а > О, 7 — а > > О и 0 < х < 1 интеграл У о можно представить в виде Р(х) л лР х р УУД-~-1 ... Д-1-и — 1 Го-у.п Гч — и) где и. Г 7-~-и Ь) Покажите, что Г(а) .
Г( у — а) а(а + 1)... (а + и — 1)33(у3+ 1)... (13+ и — 1) Г(7) и17(7 + 1) ° ° ° (7 + и — 1) с) Докажите теперь, что при а > О, 7 — а > 0 и 0 < х < 1 Г(а) . Г(у — а) Г(7) 13) При дополнительном условии 7 — а — 33 > О обоснуйте возможность перехода к пределу при х — у 1 — 0 в обеих частях последнего равенства и покажите,что Г(а) . Г(7 — а — 33) Г(а) Г( у — а) Г(7 — 33) Г(7) откуда и следует формула Гаусса.
10. Формула Стирлинеа.11 Покажите, что: а) 1и ~~ — ~-*- = 2х 2 2-* — +-~ при ~х~ < 1. т=о с) 1 < (и+ 2) 1и (1+ -) < 1+ Г2 — ( — 1 при и Е М п.~-1/2 б) 1 « ", — '.-г —. е +11 и1еп е) а„= „'-; - — монотонно убывающая последовательность. и п~п-~-1ггг 11Дж. Стирлинг (1692 — 1770) — шотландский математик. ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 528 1) 6„= а„е г)г — монотонно возрастающая последовательность. в я) и. '= спп у ге "+гй, где О < д„< 1, а с = 1пп а„= 1пп 6„. Ь) Из соотношения в1пих = ях П ~1 — -*-2~ при х = 1/2 вытекает формула а=1 Валлиса (п~)г2гн ~/н = 1 п -н (2п)! ~/и 1) Имеет место формула Стирлинга и! = ~/2яп ( — ) егяс, О < 0„< 1. е )) Г(х+ 1) ~/2лх (*— ) при х -++со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
