1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 94
Текст из файла (страница 94)
~ Пример 10. В примере 3 из 33 гл. ХЧ1 мы проверили, что последовательность функций 1„(х) = н(1 — х1~") является монотонно возрастающей на промежутке О < х < 1, причем )'„(х),з 1п — при и -+ +ос. 1 Значит, по следствию 2 1 1 1пп п(1 — х ~ )дх = ! 1п — с(х. 1 и в-~ОО / х Ъ'тверждение 5. Если а) функция Дх,у) непрерывна на множестве ((х,у) е 22 ~ а < х < <оде<у<а), Ь) интеерал Е(у) = [ ~(х,у) с(х сходится равномерно на [с,д[, то а функция г'(у) непрерывна на [с, а[. ~ Из условия а) следует, что при любом б Е [а, ю[ собственный ин- теграл Еь(у) = Пх,у) дх а Пример 11.
В примере 8 было показано, что интеграл 1 в1пх г"(у) = / — е *"ах о (9) сходится равномерно на промежутке 0 < у < +со. Значит, на основании утверждения 5 можно заключить, что функция г'(у) непрерывна на каждом отрезке [О, д) С [О, +ос[, т. е. непрерывна и на всем промежутке является функцией, непрерывной на [с, д[ (см. утверждение 1 3 1).
По усяовию Ь) Рь(у) =2 Е(у) на [с, с1[ при Ь -+ м, Ь е [а,м[, откуда теперь и следует непрерывность на [с, д[ функции г (у). ~ь ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 502 0 < у < +ос. В частности, отсюда следует, что Г тйпх Г тйпх 1пп ( — е *"ах = / — дх. р-т-тв,( Х / х (10) 3. Дифференцирование несобственного интеграла по пара- метру 'Утверждение 6. Если а) функции Г(х,у), т,',(х,у) непрерывны на множестпве ((х,у) Е К а<х<отЛс<у<а), Ь) интеграл Ф(у) = [ фх,у) дх сходитпся равномерно на множеса тпве У = [с, д), а с) интеграл Г(у) = ),Г(х, у) дх сходится хотая бы при одном эначеа нии ув б У, то он сходится, и даже равномерно, на всем множестве У; при этом функция Г(у) окаэываетсл дифференцируемот1 и справедливо ра- венство Г'(у) = фх,у) дх.
а ~ В силу условия а) при любом Ь Е [а, ы[ функция Гь(у) = Г(х у) « а определена и дифференцируема на промежутке с < у < д, и по правилу Лейбница (Гь)'„(у) = 1,(х>у)д . а В силу условия Ь) семейство зависящих от параметра Ь Е [а, ы[ функций (Гв)'„(у) сходится равномерно на [с, д) к функции Ф(у) при Ь вЂ” + ы, Ь Е [а,ы[. 12.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 503 По условию с) величина Ро(уо) имеет предел при Ь вЂ” + ы, Ь е [а, ы[. Отсюда следует (см. теорему 4 0 3 гл. ХЪ'1), что само семейство функций Ро(у) сходится на [с,д] равномерно к предельной функции Р(у), когда Ь вЂ” ~ и, 6 Е [а, ы[, при этом функция Р оказывается дифференцируемой на промежутке с < у < д и имеет место равенство Р'(у) = Ф(у). Но это как раз то, что и требовалось доказать.
~ Пример 12. При фиксированном значении а > О интеграл | х е *"дх о сходится равномерно относительно параметра у на любом промежутке вида (у Е И ~ у > уо > 0): это следует из оценки О < хое *а < х е *"' < < е * ~, справедливой при всех достаточно больших значениях х Е 1я'. Значит, по утверждению б, функция Р(у) = е *"дх о бесконечно дифференцируема при у > О и РОО(у) = ( — 1)" х"е *"дх. о Но Р(у) = — „", поэтому РОВ(у) = ( — 1)" — „"-'-т, и, следовательно, можно заключить, что Д Г ! х е "дх=— п.
уи-~-1 ' а В частности, при у = 1 получаем | -~-со х"е *сЬ' = и! о Пример 13. Вычислим интеграл Дирихле ГЛ, ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 504 Для этого вернемся к интегралу (9) и заметим, что при у > 0 +«О Р (у) = — япхе *ггдх, о поскольку интеграл (11) сходится равномерно на любом множестве вида (у е К [ у > уо > 0). Интеграл (11) легко вычисляется через первообразную подынтегральной функции и получается, что 1 .г"(у) = — при у > О, уз откуда следует,что Г(у) = — агсфу+ с при у > О. (12) При у -+ +ос, как видно из соотношения (9), г (у) -» О, поэтому из ( ) (12) следует,что с = я/2.
Теперь из (10) и (12) получается,что Е(0) = я/2. Итак, Г япх я Йх = —. х 2 (13) о Заметим, что использованное при выводе равенства (13) соотношение «г (у) » 0 при у » +ос» не является прямым следствием утверждения 4 поскольку ''~*е *" =3 0 при у -+ +со лишь на промежутках вида (х Е К ~ х > хо > О), а на промежутках вида 0 < х < хо равномерной сходимости нет: ведь о — '"*е *" — » 1 при х -+ О. Но при хо > 0 яо Г -~-оо 0 0 яо и, если задано е > О, то сначала выберем хо столь близко к нулю, что япх > 0 при х Е [О, хо] и яо яо Г япх 1 япх 0 < / — е Я" г«х < ( — г»х <— х / х о о при любом у > О, а затем, фиксирован хо, на основании утверждения 4, устремляя у к +ао, сделаем интеграл по промежутку [хо, +ос[ тоже по модулю меньшим, чем е/2.
12. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 505 4. Интегрирование несобственного интеграла по пара- метру Утверждение Т. Если а) функция ~(х, у) непрерывна на множестпве ((х, у) е к2 [ а < х < <ыЛс<у<д) и к Ь) интеграл Г(у) = [ Дх, у) дх сходитпся равномерно на промежутпа ке [с,с(], то функция Г интегрируема на [с,д) и справедливо равенство ду т(х,у)дх = дх у(х,у)ду. (14) м При 6 Е [а,ю[ на основе условия а) и утверждения 3 из 21 для собственных интегралов можно записать, что л ь ь в ду )'(х,у) дх = дх т (х,у) ду.
(15) Используя условие Ь) и теорему 3 3 3 гл. ХЧ1 о предельном переходе под знаком интеграла, в левой части равенства (15) делаем предельный переход при 6 -+ ш, Ь Е [а,ы[ и получаем левую часть равенства (14). Правая часть равенства (14) по самому определению несобственного интеграла является пределом при Ь вЂ” + ы, Ь Е [а,ы[ правой части равенства (15).
Таким образом, благодаря условию Ь) из (15) при Ь т ы, 6 е [а,ы[, получаем равенство (14). ~ Следующий пример показывает, что, в отличие от случая перестановки двух собственных интегралов, одного условия а), вообще говоря, недостаточно для справедливости равенства (14). О = ду (2 — ху)хуе *" дх ф дх (2 — ху)хуе *и ду = 1. о о о о Пример 14. Рассмотрим функцию 1(х,у) = (2 — ху)хуе *в на множестве ((х,у) Е К2 [ О < х < +оо Л О < у < 1).
Используя первообразную иге " функции (2 — и)ие ", легко подсчитать непосредственно, что ГЛ. ХНП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 506 Следствие 3. Если а) 4ункцил 1(х,у) непрерывна на множестве Р = ((х,у) Е К [ а < <х<ыЛс<у<сЦ, Ь) неотрицательна на Р и с) интеграл Р(у) = [ )'(х,у)ах как 4ункция у непрерывен на проа межутке [с, д], то имеет место равенство (14). ~ Из условия а) следует, что при любом Ь Е [а, ы[ интеграл Рь(у) = 1(х,у) дх а является непрерывной по у функцией на отрезке [с, с(). Из условия Ь) вытекает, что Рь1 (у) < Рь,(у) при 61 < Ьз. На основании теоремы Дини и условия с) теперь заключаем, что Рь --~ Р на [с, а) при Ь -+ ы, Ь б [а, ы[. Таким образом, выполнены условия утверждения 7 и, следовательно, в рассматриваемом случае равенство (14) действительно имеет место.
Ь Следствие 3 показывает, что пример 14 связан с тем, что в нем функция 1(х, у) не является знакопостоянной. В заключение докажем теперь одно достаточное условие перестановочности двух несобственных интегралов. Ъ'тверждение 8. Если а) функция 1(х,у) непрерывна на множестве ((х,у) Е К [ а < х < <ыЛс<у<ш), Ь) оба интеграла Р(у) = 1(х, у) дх, Ф(х) = 7"(х, у) ау а с сходлтсл равномерно, первый — относительно у, на любом отрезке [с,д] С [с,й[, а второй — относительно х на любом отрезке [а,6) С С [а,ы[, 12. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 507 с) существует хотя бы один из двух повторных интеер яов йу (Д(х,у)дх, дх (Д(х,у)с1у, с а а с то имеет место равенство м м м ду ~(х, у) дх = дх 7" (х, у) ду.
с а а с (16) Фл(х):= 7'(х, у) с1у. с При любом фиксированном д Е (с, со( функция Фв определена и, ввиду непрерывности у, непрерывна на промежутке а < х < ы. В силу второго из условий Ь) на любом отрезке [а, Ь) С [а, ы[ Фя(х) ~ =2 Ф(х) при д -+ со, д Е [с, со[. Поскольку [Фе(х)[ < / (Д(х,у) с1у =: С(х), а интеграл / С(х)дх, сос а впадающий со вторым из интегралов условия с), по предположению сходится, на основе мажорантного признака равномерной сходимости заключаем, что интеграл [ Фа(х) дх относительно параметра д сходится а равномерно. м Пусть для определенности существует второй из двух указанных в с) повторных интегралов. Ввиду условия а) и первого из условий Ь) на основании утверждения 7 можно сказать, что при любом д Е (с, й( для функции 7' справедливо равенство (14).
Если мы покажем, что при д — ~ со, д е [с,со[ правая часть равенства (14) стремится к правой части соотношения (16), то равенство (16) будет доказано, поскольку тогда его левая часть тоже будет существовать и являться пределом левой части равенства (14) по самому определению несобственного интеграла. Положим а 508 ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Таким образом, выполнены условия утвержде ния 4 и можно заклю- чить,что 1пп Фл(х) Нх = Ф(х) Нх; ~-гя / '1еав1 а а а именно это нам и оставалось проверить. > Следующий пример показывает, что появление в утверждении 8 дополнительного по сравнению с утверждени у ем 7 словия с) не является случайным. Пример 15. Вычисление при А > 0 интеграла + А 1 х — Р х (хэ+ уз)2 хэ+ уэ Аз+ уз .4 А А>0 показывает заодно, что при любом фиксированном значении он сходится равномерна относительно парам р ет а на всем множестве К действительных чисел.
о ж . Т е самое можно было бы сказать об интеграле, отличающемся от написанного заменой дх а у. " д н о' . Значения этих интегралов, кстати, отличают аются только знаком. Прямое вычисление показывает, что -~-сю -~.оо 2 2 / / ( 2 2)2 ~~ ~ Р/ (х21 2)2 4' 4 ./ ./ (х +у) А А А А Пример 16. При а > 0 и,9 > 0 повторный интеграл -~-оо -~-оо -~-оо -~-со Г +8+1 О+*)" ДХ = 1 уОЕ "Др (Хр)ос ~*")уДХ др! ху е о о о о от неотрицательной непрерывной функции, как показывает написанное тождество, существует: он равен нулю пр у — р и = 0 и авен „1 уее "ду.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
