1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Именно в этом случае доказанное утверждение 2 обычно называют мажорантнььм признаком Вейерштрасса равномерной сходимости интпеграла. Пример 5. Интеграл | сов ох 1+х2 о сходится равномерно на всем множестве И значений параметра о, по- 1 скольку ~~ ~*, <, а интеграл | ~* сходится. 1+я 1+х О 1+~ ГЛ. ХНП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 49б ьзг ьзг Пример 6. Ввиду неравенства [в1пхе '* [ < е '* интеграл Г -ьзь вшхе * дх, в как следует из утверждения 2 и результатов примера 3, сходится равномерно на любом множестве вида )1 Е ж [ 1 > ~в > О).
Поскольку при 1 = О интеграл расходится, на основании следствия критерия Коши заключаем, что он не может сходиться равномерно ни 'на каком множестве Е, имеющем нуль своей предельной точкой. Утверждение 3 (признак Абеля — Дирихле). Предположим, что функции у(х, у), д(х, у) при каждом значении у Е У интегрируемы по х на любом отрезке [а,6) С [а,ю[. Для равномерной сходимости интеграла Г У дПх у)«. а ь Г у" [х, у) дх а <М; р1) при каждом у Е У функция д(х,у) монотонна по х на промежутке [а, ю[ и д(х, у) л О на У при х ь ю, х Е [а,ы[.
ог) Интеграл а сходится равномерно на множестве У; Д) при каждом у е У функция д(х,у) монотонна по х на промеэсутке [а, ю[ и существует постоянная М е ж така, что при любом х Е [а, ы[ и любом у Е У выполнено неравенство [д(х,у)[ < М. на множестве У достаточно, чтобы была выполнена любая из следующих двух пар условий: о1) Существует постоянная М Е И такая, что при любом Ь б Е [а,ю[ и любом у Е У выполнено неравенство Ь2, НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 497 < Применяя вторую теорему о среднем для интеграла, запишем, что 66 66 61 где ~ Е [Ь6,Ь2].
Если Ь1 и Ь2 брать в достаточно малой окрестности У(, ((ю) точки ь~,то правую часть написанного равенства можно сделать по модулю меньшей любого наперед заданного числа е > О, причем сразу для всех значений д Н У. В случае первой пары условий а1), Д) зто очевидно. В случае второй пары а2), ~32) зто становится очевидным, если воспользоваться критерием Коши равномерной сходимости интеграла (утверждение 1).
Таким образом, вновь ссылаясь на критерий Коши, заключаем, что исходный интеграл от произведения ~. д по промежутку [а, ы[ действительно сходится равномерно на множестве У значений параметра. ~ Пример 7. Интеграл как следует из критерия Коши и признака Абеля — Дирихле сходимости несобственных интегралов, сходится лишь при а > О. Полагая у(х, а) = я1пх, д(х, а) = х '*, видим, что при а > ов > 0 для рассматриваемого интеграла выполнена пара а1), з1) условий утверждения 3.
Следовательно, на любом множестве вида 1о Е К [ а > ов > 0) данный интеграл сходится равномерно. На множестве (а б К [ о > 0) всех положительных значений параметра интеграл сходится неравномерно, поскольку он расходится при а = О. Пример 8. Интеграл Г в1пх — е *"дх х о сходится, и притом равномерно, на множестве (у Е Н ~ у > 0). м Прежде всего, на основании критерия Коши сходимости несобственного интеграла легко заключить, что при у ( 0 данный интеграл 498 ГЛ.
ХУП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА вообще расходится. Считая теперь у > 0 и полагая Т"(х,у) = д(х,у) = е *я, видим, что выполнена вторая пара а9),,3г) условий утверждения 3, откуда и вытекает равномерная сходимость рассматриваемого интеграла на множестве (у б Й ~ у > 0). 1ь Итак, мы ввели понятие равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра, и указали некоторые наиболее важные признаки такой сходимости, вполне аналогичные соответствующим признакам равномерной сходимости рядов функций. Прежде, чем переходить к дальнейшему, сделаем два замечания.
Замечание 1. Чтобы не отвлекать внимание читателя от основ- ного введенного здесь понятия равномерной сходимости интеграла, мы всюду подразумевали, что речь идет об интегрировании вещественнозначных функций. Вместе с тем, как теперь легко проанализировать, полученные результаты распространяются и на интегралы от векторноэначных функций, в частности, на интегралы от комплексноэначных функций.
Здесь стоит только отметить, что, как всегда, в критерии Коши необходимо дополнительно предполагать, что соответствующее векторное пространство значений подынтегральной функции является полным (для К, С, И", С" это выполнено), а в признаке АбеляДирихле, как и в соответствующем признаке равномерной сходимости рядов функций, надо считать вещественнозначным тот сомножит1ль произведения Т". д, относительно которого предполагается, что он является монотонной функцией.
Все сказанное в равной степени относится и к основным результатам последующих пунктов этого параграфа. Замечание 2. Мы рассмотрели несобственный интеграл (1), единственная особенность которого была связана с верхним пределом интегрирования м. Аналогично определяется и исследуется равномерная сходимость интеграла, единственная особенность которого связана с нижним пределом интегрирования. Если же интеграл имеет особенности на обоих концах промежутка интегрирования, то его представляют в виде Т"(х,у)дх = ~(х,у)дх+ Т"(х,у)дх, где с б ]юь юз(, и считают сходящимся равномерно на множестве Е С У, ~2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 499 2.
Предельный переход под знаком несобственного интеграла и непрерывность несобственного интеграла, зависящего от параметра Утверждение 4. Пусть |(х, у) — семейство зависящих от параметра у Е У функций, интегрируемых хотя бы в несобственном смысле на промежутке а < х < щ, и пусть ву — база в У. Если а) для любого 6 Е [а, ьо[ ~(х,у) =з ~р(х) на [а, Б) при базе ву Ь) интеграл [ ~(х,у) дх сходится равномерно на У, а то предельная функция 9ь несобственно интегрируема на [а,щ[ и справедливо равенство 1пп / у(х,у)дх = 9ь(х)дх. „э/ а а (8) < Доказательство сводится к проверке следующей диаграммы: Гь(у):= [ у [х, у) йх ====4 [ у [х, у) дх =: Е(у) а Ь-~ а ьаы, ( 6.1 [н„ Ь ы [ 9ь(х) дх — + [ 9ь(х) Йх .
а Ь-ьа а Ьиа,« ~ Левый вертикальный предельный переход следует из условия а) и теоремы о предельном переходе под знаком собственного интеграла (см. теорему 3 из 93 гл. ХЪЧ). Верхний горизонтальный переход есть запись условия Ь). если на Е сходятся равномерно оба стоящие в правой части равенства интеграла. Легко проверить, что такое определение корректно, т. е.
не зависит от выбора точки с й )щы юг[. ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 500 По теореме о коммутировании двух предельных переходов отсюда следует существование и совпадение стоящих под диагональю пределов. Правый вертикальный предельный переход есть то, что стоит в левой части доказываемого равенства (8), а нижний горизонтальный предельный переход дает по определению несобственный интеграл, стоящий в правой части равенства (8). ~ь Следующий пример показывает, что в рассматриваемом случае несобственного интеграла одного условия а) для обеспечения равенства (8), вообще говоря, недостаточно. Пример 9. Пусть У = (у Е м м~ у > 0), а 1/у, если О < х < у, О, если у < х.
Очевидно, 1 (х, у) ~ О на промежутке О < х < +ос при у -+ +со. Вместе с тем, при любом у е У -~-со и Р | Р1 1(х, у) дх = |(х, у) дх = 1 — дх = 1, у О О О поэтому равенство (8) в данном случае не имеет места. Используя теорему Дини (утверждение 2 0 3 гл. ХЧ1), из только что доказанного утверждения 4 можно получить иногда весьма полезное Следствие 2. Пусть при каждом значении веи1ественного пара- метра у Е У С К веи1ественнозначная функция 1(х, у) неотрицатель- на и непрерывна на промежутке а < х < ю. Если а) с ростом у функции 1(х,у), монотонно возрастац стре ятся на [а, ю[ к функции ~р(х), Ь) у Е С([а, м[, К) и с) интеграл | ~о(х) дх сходится, а то справедливо равенство (8). ~ Из теоремы Дини следует, что |(х, у):~ ~р(х) на каждом отрезке [а,Ь] С [а,ш[.
12. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 501 Из неравенств О < у(х, у) < ~р(х) и мажорантного признака равномерной сходимости вытекает равномерная относительно параметра у сходимость интеграла от 1(х, у) по промежутку а < х < ы. Таким образом, оба условия утверждения 4 выполнены и, значит, имеет место равенство (8).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
