1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 97
Текст из файла (страница 97)
11. Покажите, что Г(х) = 2 ~:~- -„-, + ) 1* 'е 'й. Это соотношение позволяет определить Г(г) для комплексных г Е С вне точек О, — 1, — 2,... 84. Свертка функций и начальные сведения об обобщенных функциях 1. Свертка в физических задачах (наводящие соображения). Разнообразные приборы и системы живой и неживой природы осуществляют свои функции, отвечая соответствующим сигналом )тна воздействие )'. Иными словами, каждый такой прибор или система является оператором А, преобразующим входной сигнал )' в сигнал у" = А)' на выходе.
Разумеется, у каждого такого оператора своя область воспринимаемых сигналов (область определения) и своя форма ответа на них (область значений). Удобной математической моделью для большого класса реальных процессов и аппаратов является линейный оператор А, сохраняющий сдвиги. Определение 1. Пусть А — линейный оператор, действующий на линейном пространстве определенных на К вещественно- или комплекснозначных функций.
Обозначим через Твв оператор сдвига, действующий на том же пространстве по закону Говорят, что оператор А инвариантен относипгельно сдвигов (или сохраняет сдвиги), если для любой функции )' из области определения оператора А справедливо равенство А(ТМ,)') = Тм(А,)). 14. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ 529 Определение 2.
Отклик Е(2) прибора А на единичное импульсное воздействие б называют аппаратной функцией прибора (в оптике) или импульсной переходной функцией прибора (в электротехнике). «» ! ! ! ! ! ! Мы будем, как правило, пользоваться бо- А*(1) лее коротким термином «аппаратная функция». Пе вдаваясь пока в детали, скажем, что импульс имитируется, например, функцией Б (2),изображенной на рис. 100, причем эта Рис.
100. имитация считается все более точной по мере уменьшения длительности с««импульса» при сохранении его общей «энергии» «» . — = 1. Вме- 1 сто ступенчатых функций для имитации импульса можно использовать гладкие функции (рис. 101) с соблюдением естественных условий: 0 с» > О, 1 (2)с11 = 1, 1 (1)«11 — » 1 при с» — » О, п(о) где 1!"(0) — произвольная окрестность точки 1 = О. Откликом прибора А на идеальный единичный импульс (обозначаемый вслед за Дираком через б) следует считать функцию Е(2), к которой стремятся отклики прибора А на имитирующие импульс Б входные Если 2 — время, то соотношение А о Тм — — Т»ь о А можно трактовать как предположение о том, что свойства прибора А неизменны во времени: реакции прибора на сигналы Я) и 1(1 — 29) отличаются только сдвигом на 29 по времени и больше ничем.
Для любого прибора А возникают две следующие основные задачи: во-первых, предугадать реакцию у' прибора на произвольное входное воздействие 1 и, во-вторых, зная сигнал 1' на выходе прибора, определить, если это возможно, поступивший на прибор входной сигнал 1". Сейчас на эвристическом уровне мы решим первую из этих двух задач применительно к инвариантному относительно сдвигов линейному оператору А.
Простой, но очень важный факт состоит в том, что оказывается для описания отклика у такого прибора А на любой входной сигнал 1 достаточно знать отклик Е прибора А на импульсное воздействие б. ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 530 сигналы по мере того, как эта имитация улучшается. Разумеется, при этом подразумевается некоторая (не уточняемая пока) непрерывность оператора А, т.е.
непрерывность изменения отклика 1' прибора при непрерывном изменении входного воздействия 1. т, т;~~ Рис. 102. Рис. 101. Например, если взять последовательность (Ь„(1)) ступенчатых функций Ь„(1):= б~д,(1) (рис.100), то, полагая АЬ„=: Е„, получаем А6:= Е = 1пп Е„= 1пп АЬ„. и — кю и — ~сс Рассмотрим теперь входной сигнал 1', рис. 102 и изображенную на этом же рисунке кусочно постоянную функцию 1ь(1) = ,') ~(т,)бь(1— — т,)6.
Поскольку 1ь -+ 1 при 6 -+ О, то надо считать, что 1л = А1л -+ А~ =,1т при 6 -+ О. Но если оператор А — линейный и сохраняющий сдвиги, то 1ЬЯ = ~1(т,)ЕЬ(1 — з1)Ь, где Еь = Абь. Таким образом, при Ь -+ 0 окончательно получаем 1(1) = 1(т)Е(1 — т) с1т. Формула (1) решает первую из двух указанных выше задач. Она представляет отклик 1(1) прибора А в виде специального интеграла, зависящего от параметра 1. Этот интеграл полностью определяется входным сигналом 1(1) и аппаратной функцией Е(1) прибора А. С математической точки зрения прибор А и интеграл (1) просто одно и то же. 14. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ Отметим заодно, что задача определения входного сигнала по выходу ) сводится теперь к решению относительно 1 интегрального уравнения (1). Определение 3.
Сверткой функций и:  — 1 ч', и ьч В -+ С называется функция и * ьч К вЂ” > С, определяемая соотношением (и * и)(х):= и(у)и(х — у) ау, (2) в предположении, что указанный несобственный интеграл существует при всех х Е В. Таким образом, формула (1) утверждает, что отклик линейного прибора А, сохраняющего сдвиги, на входное воздействие, задаваемое функцией )', является сверткой 1 я Е функции 1 и аппаратной функции Е прибора А.
2. Некоторые общие свойства свертки. Рассмотрим теперь с математической точки зрения основные свойства свертки. а. Достаточные условия существования. Напомним сначала некоторые определения и обозначения. Пусть (: С -+ С вЂ” вещественно или комплекснозначная функция, определенная на открытом множестве С С В. Функция 1' называется локально интеерируемой на С, если любая точка х е С имеет окрестность 11(х) с С, в которой функция Дп(,) интегрируема. В частности, если С = К, условие локальной интегрируемости функции у, очевидно, равносильно тому, что ) [(, ь) б Я.[а, 6) для любого отрезка [а, 61. Носителем функции 1' (обозначение впрр1) называется замыкание в С множества (х е С [ ) (х) ф 0). Функция 1 называется финитной (в С), если ее носитель — компакт.
Множество функций ): С -+ С, имеющих в С непрерывные производные до порядка т (О < т < оо) включительно, принято обозначать символом С1 1(С), а его подмножество, состоящее из финитных функций, символом Св ~(С). В случае, когда С = К, вместо С( ~(К) и Св~ ~ (К) пРинЯто УпотРеблЯть сокРащениЯ С1т1 и Св( ) соответственно. ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 532 Укажем теперь наиболее часто встречающиеся случаи свертки функций, в которых без труда обосновывается ее существование. Утверждение 1. Каждое из перечисленных ниже трех условий является достаточным для существования свертки и*о локально интегрируемых 4ункций и: 1с — + С и о: и — ~ С.
1) Функции (и~2 и (о(2 интегрируемы на К. 2) Одна иэ 4ункций ~и(, ~о~ интегрируема на К, а другая ограничена на И. 3) Одна из 4ункций и, о 4инитна. 1) По неравенству Коши — Буняковского с 2 )и(у)о(х — уИ ду < ~и( (у) ду ~о~ (х — у) ду, откуда и следует существование интеграла (2), поскольку +Ос -~-00 ~2( ) ~ ~ ~2( ) 2) Если, например, (и! — интегрируемая на К функция, а )о) < М най, то 3) Пусть вирр и С [а, Ь) С 2. Тогда, очевидно, ь Г и(у)о(х — у) у = и(у)о(х — у) ду. Поскольку и и о локально интегрируемы, последний интеграл существует при любом значении х е К. Случай, когда финитной является функция о, сводится к разобранному заменой переменной х — у = х.
> 34. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ 533 Ь. Симметричность У верждение 2. Если свертка ияи существует, то существует также свертпка о * и и имеетп место равенство < Вьгполнив в интеграле (2) замену переменной х — у = г, получаем и * о(х):= и(у)о(х — у) ау = и(х)и(х — я) дх =: о * и(х). ~ с. Сохранение сдвигов. Пусть, как и выше, Т, — оператор сдвига, т.е.
(Т,)У(х) = т'(х — хо). Утверждение 3. Если свертка и*и функиий и и и существует, то справедливы следутощие равенства: Т*о(и я и) Т*ои я о и" Гяоо (4) ~ Если вспомнить физический смысл формулы (1), то первое из написанных равенств становится очевидным, а второе тогда получается из симметричности свертки. Проведем, однако, формальную проверку первого равенства: (Т,)(и * о)(х):= (и * и)(х — хо):= и(у)о(х — хо — у) с1у = и(у — хо)о(х — у) ду = (Т,и)(у)о(х — у) ду =: ((Т,и) * о)(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
