1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 100
Текст из файла (страница 100)
е. как функционалы), мы, кроме классических функций, интерпретируемых как функционалы вида (12), получим и новые функции (функционалы), не имеющие прообраза в классических функциях. Пример 9. Функционал Б е ь",(Со, К) определяется соотношением (а, у):= б(~р):= ~р(0), которое должно быть выполнено для любой функции у» Е Св.
Можно проверить (см. задачу 7), что никакая локально интегрируемая на К функция 7' не способна представить функционал а в виде (12). Итак, мы вложили множество классических локально интегрируемых функций в более широкое множество линейных функционалов. Эти линейные функционалы и называют обобщенными функциями или распределениями (точное определение дано ниже). Распространенный термин «распределение» имеет физическое происхождение. Пример 10.
Пусть на К распределена единичная масса (или единичный заряд). Если это распределение достаточно регулярно, в том 54. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ 545 смысле, что оно имеет, например, непрерывную или интегрируемую на )к плотность р(х), то взаимодействие массы М с другими объектами, описываемыми функциями «о б Св, может задаваться в виде ( о) функционала М(у) = р(х)у(х) дх. Если распределение сингулярно,например, вся масса М сосредоточена в одной точке,то, «размазывая» массу и интерпретируя предельную точечную ситуацию с помощью б-образного семейства регулярных распределений, получаем, что взаимодействие массы М с указанными выше другими объектами должно выражаться формулой показывающей, что такое распределение массы на К следует отожде- ствить с Б-функцией (13) на )Й.
Проведенные предварительные рассмотрения делают осмысленным следующее общее Определение 6. Пусть Р— линейное пространство функций, называемое в дальнейшем пространством основных или пробных у«ункций с определенной в Р сходимостью функций. Пространством обобщенных функций или распределений над Р назовем линейное пространство Р' линейных непрерывных (вещественноили комплекснозначных) функционалов на Р. При этом предполагается, что каждый элемент ( Е Р порождает некоторый функционал Ау = ((',.) Е Р' и что отобРажение 1 — » А«ЯвлЯетсЯ непРеРывным вложением Р в Р', если сходимость в Р' вводится как слабая («поточечная») сходимость у»ункиионалов, т. е. Р' 3 А„— + А Е Р':= Чу б Р (А„(«о) — » А(у«)). Уточним это определение в конкретном случае, когда Р есть линейное пространство С (С,С) бесконечно дифференцируемых финит( е) ных в С функций, где С вЂ” произвольное открытое подмножество )к (быть может, и совпадающее с )к). Определение 7 (пространств » и Р').
Сходимость в Са~ )(С,С) введем следующим образом: последовательность (у„) функций у„б ГЛ. ХЧН. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 546 Е Со (С,С) бУдет считатьсЯ сходЯщейсЯ к фУнкции 1о Е Со (С,С), ( ) 1 ) если существует компакт К С С, в котором содержатся носители всех функций последовательности (у„) и при любом значении тп = О, 1, 2,... ~р~:) 1о( ) на К (а значит, и на С), когда и — ~ оо. Получаемое при этом линейное пространство с заданной в нем сходимостью принято обозначать символом Т)(С), а когда С = И вЂ” символом ь. Соответствующее этому пространству основных (пробных) функций пространство обобщенных функций (распределений) обозначают символом Р'(С) или З' соответственно. В этом и следующем параграфах мы не будем рассматривать никаких других обобщенных функций, кроме элементов введенного пространства Ю'(С), поэтому без специальных оговорок будем употреблять термин распределение или обобщенная функция, имея в виду элементы Т)'(С).
Определение 8. Распределение Г е Р'(С) называется регулярным, если его можно представить в виде Р'(~р) = ((л)~р(х) Йх, ~р е Р(С), где Т вЂ” локально интегрируемая в С функция. Нерегулярные распределения называют сингулярными распределениями или сингулярными обобщенными у)уннциями. В соответствии с этим определением Б-функция (из примера 9) является сингулярной обобщенной функцией. Действие обобщенной функции (распределения) Г на основную (пробную) функцию 1о, т.е. спаривание Р и 1о будем, как и прежде, обозначать одним из двух равнозначных символов г'(~р) или (Г, у). Прежде чем переходить к техническому аппарату, связанному с обобщенными функциями, ради которого мы и привели определение обобщенной функции, отметим, что само понятие обобщенной функции, как и большинство математических понятий, имело определенный период внутриутробного развития, когда оно лишь неявно зарождалось в трудах ряда математиков.
Физики, вслед за Дираком, уже в конце двадцатых — начале тридцатых годов активно использовали б-функцию и оперировали с сингу- 84. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ 547 лярными обобщенными функциями, не смущаясь отсутствием должной математической теории. В явном виде идея обобщенной функции была высказана С.Л. Соболевым1), заложившим в середине тридцатых годов математические основы теории обобщенных функций. Современное состояние аппарата теории распределений в значительной степени связано с выполненными в конце сороковых годов работами Л. Шварцаз). Сказанное поясняет, почему, например, пространство З' обобщенных функций часто называют иространстволз обобщенных функций Соболева — Шварца.
Изложим теперь некоторые элементы аппарата теории распределений. Развитие и расширение использования этого аппарата продолжается и в наши дни, в основном в связи с потребностями теории дифференциальных уравнений, уравнений математической физики, функционального анализа и их приложений. Для упрощения записи мы будем рассматривать дальше только обобщенные функции класса ХУ, хотя все их свойства, как будет видно из определений и доказательств, остаются в силе для распределений любого класса З'(С), где С вЂ” произвольное открытое подмножество К. Действия с распределениями определяются, исходя из интегральных соотношений, справедливых для классических функций, т.
е. для регулярных обобщенных функций. Ь. Умножение распределения на функцию. Если 7' — локально интегрируемая на )й функция, а д й С( ), то при любой функции у Е Е Сб, с одной стороны, ду Е Сб, а с другой стороны, имеет место ( ) очевидное равенство или, в других обозначениях, ПС.Л. Соболев (1908 -1989) — один из наиболее крупных советских математиков. П Л. Шварц (1915 — 2002) — известный французский математик. За упомянутые работы на Международном математическом конгрессе 1950 г.
удостоен Филдсовской премии, присуждаемой молодым математикам. 548 ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Это соотношение, справедливое для регулярных обобщенных функций, лежит в основе следующего определения распределения г д, получаемого умножением распределения Р Е З' на 4ункцию д Е С1 (Р' д,9):=(Р;д Ф. (14) Правая часть равенства (14) определена, и тем самым задается значение функционала Е д на любой функции ез б Т>, т.е. задается сам функционал Г д. Пример 11. Посмотрим, как действует распределение б д, где д б С~ ). В соответствии с определением (14) и определением распределения б получаем (б д,у):= (б,д 1о):= (д у)(0):= д(0) у(0). с. Дифференцирование обобщенных функций.
Если 1 Е С(1), а 1о Е Сб, то интегрированием по частям получаем равенство (15) Это равенство является отправной точкой для следующего основного определения ди4ференцированил обобщенной функции Г б Ю'. (16) Пример 12. Если 1 б СО), то производная от Т" в классическом смысле совпадает с производной от 1 в смысле теории распределений (разумеется, если, как всегда, отождествлять классическую функцию с соответствующей ей регулярной обобщенной функцией). Это следует из сопоставления соотношений (15) и (16), в которых правые части совпадают, если распределение Г порождается функцией 1.
Пример 13. Возьмем 4ункцию Хевисайда1) / 0 при х<0, ) 1 при х>0, '10, Хевисайд (1850 — 1925) — английский физик и инженер, разработавший на символическом уровне важный математический аппарат, который теперь называется операоионнмж всчвслением. 14. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ 549 называемую иногда единичной ступенькой и, рассматривая ее как обобщенную функцию, найдем производную Н' зтой разрывной в классическом смысле функции.
Из определения регулярной обобщенной функции Н, отвечающей функции Хевисайда, и на основании соотношения (16) находим (Н', ~р):= — (Н, <р'):= — Н(х)р'(х) дх = — ~р'(х) дх = ~р(0), поскольку у Е С( ). Таким образом, (Н', ~р) = (Б, р), какова бы ни была функция ~р е Се . Значит, Н' = д. Пример 14. Вычислим (б', у): Естественно, что в теории обобщенных функций, как и в классическом случае, для определения высших производных полагают, что с (и-~-1) . (Е(п))/ Сопоставляя результаты последних двух примеров, можно, следовательно, записать,что (Н~~, ~р) = — <р~(0).
Пример 16. Покажем, что (Б~"), ~р) = ( — 1)п~р(") (0). ~При п = 0 зто — определение б-функции. Мы видели в примере 14, что написанное равенство справедливо и при и = 1. Докажем его по индукции, считая, что для фиксированного значения и е Ы оно уже установлено. Опираясь на определение (16), находим Пример 16. Пусть функция у: К -+ С непрерывно дифференцируема при х ( 0 и при х > О, и пусть существуют односторонние пределы У( — 0), 1(+0) функции в точке О.
Обозначим через 1 )'(О) величину 1(+0) — 1( — 0) скачка функции в точке О, а через у' и (~') соответственно производную функции 1 в смысле теории распределений ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 550 и распределение, определяемое функцией, которая равна обычной производной от Г при х < 0 и х > О. При х = 0 последняя функция не определена, но зто и не важно для интеграла, которым она определяет регулярное распределение (Г'). В примере 1 мы отмечали, что если Г б С(1), то ~' = (Г'). Покажем, что в общем случае это не так, а справедлива следующая важная формула: ,Г"' = 1Г') + Г У(0) б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
