1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 102
Текст из файла (страница 102)
2(1 — ре' ) с) Проверьте, что при 0 < р < 1 1 Рр(В) га Кед(р,В) = — + рсоаВ+р ои2В+...; функция Рр(В) имеет вид г Р,(В) = -' 2 1 — 2р соя д+ рг и называется ядром Пуассона дяя круга. е1) Покажите, что семейство зависящих от параметра р В [О, 1[ функций 2 Р,(В) обладает следующим набором свойств: Рр(В) > О, ~ [ Рр(В)дд = 1, о 2е — е / Рр(В) дд — 'е 0 при р — е 1 — О.
Е)0 е) Докажите, что если р" е С[0, 2я], то функция и(р,В) = — 1 Р,( — 1)~(1) дг 1 е" о — гармоническая в круге р < 1 и и(р, В) =г 1(В) при р -+ 1 — О. Таким образом, ядро Пуассона позволяет строить гармоническую в круге функцию, имеющую заданные граничные значения на границе круга.
1) Для локально интегрируемых функций и и и в случае, когда они периодические, причем с одинаковым периодом Т, можно корректно определить операцию свертки (свертки по периоду) следующим образом: (и*и)(х):= и(у)и(х — у) ду. а Периодические функции на И можно интерпретировать как функции, заданные на окружности, поэтому введенную операцию естественно считать определением свертки двух функций, заданных на окружности. Покажите, что если 1(В) — локально интегрируемая 2я-периодическая функция на К (или, что то же самое, 1 — функция на окружности), а семейство Рр(В) зависящих от параметра р функций обладает свойствами ядра Пуассона, перечисленными в е)), то ()' е Рр) (В) -+ 1(В) при р -+ 1 — 0 в любой точке 2е непрерывности функции 1.
~ 4. СВРРТКА ФУНКЦИЙ 557 6. а) Пустыр(х):= а ехр — 7' — — ~ при (х! < 1 и ~о(х):= О при )х~ > 1; а— 1 )х( — ~ ( постоянная, выбираемая из условия ) ~р(х) Их = 1. Проверьте, что при а — > +О семейство функций у (х) = ~ у (-*) является д-образным семейством функций класса Се на й. ( ) Ь) Для любого промежутка 1 С И и любого е > О постройте функцию е(х) классасе такую,чтоО < е(х) < 1на2„е(х) = 1сьх 61и,наконец,вррре с С 1„где 1, — е-окрестность (или е-раздутие) множества 1 в 2. (Проверьте, что при соответствующем значении а > О в качестве е(х) можно взять Х7 *у„.) с) Докажите, что для любого е > О существует такой счетный набор (еь) функций еь 6 Се~ ~ (е-разбиение единицы на й), который обладает следующими свойствами; Чй 6 М, Чх Е.К (О < еь(х) < 1); диаметр носителя аирреь любой функции семейства не превосходит е > О; любая точка х 6 К принадлежит лишь конечному числу множеств епрр еь; ~ , 'еь(х) = 1 на И.
ь д) Покажите, что, каково бы ни было открытое покрытие (Г„у В Г) открытого множества С С К и какова бы ни была функция у В С~ ~(С), существует такая последовательность (рь', Й е г() функций ~рь е Се, которая 1» обладает следующими свойствами: И 6 И, Л у В Г (япрр ~рь С Г,); любая точка х 6 С принадлежит лишь конечному числу множеств епрр ~дь', ~ дь(х) = фх) на С. е) Докажите, что множество функций С,, интерпретируемых как обобщепные функции, всюду плотно в соответствующем С~ ~(С) множестве регулярнык обобщенных функций. 1) Две обобщенные функции Рм Рз из ь'(С) считаются совпадающими на открытом множестве (7 С С, если для любой функции у В ь (С), носитель которой лежит в 17, выполняется равенство (Р~,у) = (Ря, д).
Обобщенные функции Еы Ез считаются локально совпадающими в точке х е С, если они совпадают в некоторой окрестности (7(х) С С этой точки. Докажите, что (г) = РЗ) 4Э (Г~ — — гэ ЛОКаЛЬНО В ЛЮбОй ТОЧКЕ Х 6 С). 7. а) Пустыр(х):= ехр ~ — ~~ — — ~ при ~х) < 1 и ~р(х):= О при ~х! > 1. По- ~)х! — т~ кажите, что для любой локально интегрируемой на К функции 1 выполняется соотношение ) 7(х)~р,(х) Ых -+ О при е — > +О, где у,(х) = у (*-,).
Ь) Учитывая предыдущий результат и то обстоятельство, что (б,~р,) = = у(О) ф О, докажите, что обобщенная функция б не является регулярной. с) Покажите, что существует последовательность регулярных обобщенных функций (даже отвечающих функциям класса Се~ ~), которая сходится в ь" к обобщенной функции б. (На самом-то деле любая обобщенная функция является пределом регулярных обобщенных функций, отвечающих функциям ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 558 из Р = Со . В этом смысле регулярные обобщенные функции образуют всю(с«1 ду плотное в П' множество, подобно тому как рациональные числа 1о1 всюду плотны в множестве К всех действительных чисел.) 8.
а) Вычислите значение (Е, о«) обобщенной функции Г е 'П' на функции «о б 'П, если г = в1п хб; г = 2 сов хб; б' = (1+ х~)б. Ь) Проверьте, что операция б' ««ог' умножения на функцию «у Е С« является непрерывной операцией в 'Р. с) Проверьте, что линейные операции над обобщенными функциями непрерывны в ь«'. 9. а) Покажите, что если г — регулярное распределение, порожденное 0 при х< 0, функцией 1(х) = ~ то Е' = Н, где Н вЂ” распределение, х при х)0, отвечающее функции Хевисайда. Ь) Вычислите производную от распределения, отвечающего функции ]х].
10. а) Проверьте справедливость следующих предельных переходов в ь" а ах х 1пп = яб; И«п = лхб; 1пп = 1п]х]. в — «+о хз + аз а-«+о аз + хз а-«+о хз + а« Ь) Покажите, что если 1 = 1(х) — локально интегрируемая на К функция, а 1, = 1(х+ в), то 1, — «1 в Ю' при в — «О.
с) Докажите, что если (Ь ) — б-образное семейство гладких функций при х а -+ О, то г = ] Ь (1)«11 -«Н при а -+ О, где Н вЂ” обобщенная функция, отвечающая функции Хевисайда. 11. а) Через б(х — а) обычно обозначают «сдвинутую в точку а б-функиию«, т. е. обобщенную функцию, действующую на функции «о Е 'П по правилу (б(х— — а), ~р) = у(а). Покажите, что ряд 2 б(х — 1«) сходится в 1«'.
ьех Ъ) Найдите производную функции (х] ((х] — целая часть числа х). с) 2я-периодическая функция на И в пределах промежутка ]0,2х] задана формулой 1]1о з 1(х) = 2~ — ~~-. Покажите, что 1' = — ~~„- + 2 б(х — 2хк). йех «1) Проверьте, что б(х — в) — «б(х) при в — «О. е) Обозначая, как и прежде, сдвинутую в точку в б-функцию через б(х — в), покажите прямым вычислением, что ~ (б(х — в) — б(х)) -+ — б'(х) = — б'.
1) Исходя из предыдущего предельного перехода, интерпретируйте — б' как распределение зарядов, соответствующее диполю с электрическим моментом +1, расположенному в точке х = О. Проверьте, что ( — б', 1) = 0 (полный заряд диполя равен нулю) и что ( — б', х) = 1 (его момент действительно равен 1). я) Важным свойством б-функции является ее однородность: б(Лх) = А 'б(х). Докажите это равенство. 14 СВЕРТКА ФУНКЦИЙ 559 12. а) Для обобщенной функции с', заданной в виде (т, р) = ) ~!х~р(х) Их, о проверьте следующие равенства: о 1 Т~(*) — (0) 4,/ хЮ о 3 Т у(х) — ~р(0) — ху'(О) 8 / х 5/з О (Р', Р> = (~", д> = (р'а' д> = (е~"~ ~р) = ( — 1)" '(2п — 3)0 2" 9 (х) — у(0) — ху (О) —... —, у~ ~(0) х х о + у(х) — 9 (О) — х9 '(О) —...
— Ж:„-,9 (" 2) (О) (х Ю):= - -Т Нх, о то ее производной является функция — рх+, определяемая соотношением — 0+ ~ ~р(х) — у(0) — ху'(О) —... — ф —,)Рр~" 0(0) --1 о 13. Определяемая равенством обобщенная функция обозначается символом Р-. Покажите, что: 1 Ь) Покажите, что если и — 1 < р < п и обобщенная функция х~ я задана соотношением ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 560 Ь) (1и /х/)' = Р— 14. С определением произведения обобщенных функций могут возникнуть сложности: например, функция ~х~ з1з абсолютно интегрируема (в несобственном смысле) на И; она порождает соответствующую обобщенную функцию )' )х~ з~зр(х) ах, но квадрат ее (х! 4!з уже не является интегрируемой функцией даже в несобственном смысле.
Ответы на следующие вопросы показывают, что в 11' принципиально нельзя определить естественную ассоциативную и коммутативную операцию умножения любых обобщенных функций. а) Покажите, что для любой функции у б С1 1 имеет место равенство у(х)б = у'(0)б. Ь) Проверьте, что хР- = 1 в Ю'.
с) Если бы операция умножения была распространена на любые пары обобщенных функций, то она по крайней мере не была бы ассоциативной и коммутативной,иначе 0 = ОР— = (хб(х))Р— = (б(х)х)Р— = б(х) ( хР— ) = б(х)1 = 1б(х) = б. 1 1 / х х х 15. а) Покажите, что фундаментальное решение Е для линейного оператора А: Ю' — 1 Р', вообще говоря, определено неоднозначно — с точностью до любого решения однородного уравнения Ау = О. Ь) Рассмотрим дифференциальный оператор ,4 '~, (П 4п-1 Р Х, — ):= + а1(Х), +...
+ ап(Х). Покажите, что если ио = ис(х) такое решение уравнения Р (х, б-) ае = 41 = О, которое удовлетворяет начальным условиям ис(0) = ... = ие (0) = О, иеп (0) = 1, то функция Е(х) = Н(х)ие(х) (где Н(Х) — функция Хевисайда) является фундаментальным решением для оператора Р (х, ~-) . и' с) Найдите указанным способом фундаментальные решения для операторов +а 2+а +а ТОБИ 11) Используя полученные результаты и свертку, найдите решения уравнений — "- = у, (бх + а) = у, где 1 6 С(й, К). 15.
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 561 З 5. Кратные интегралы, зависящие от параметра 1. Собственные кратные интегралы, зависящие от параметра. Пусть Х вЂ” измеримое подмножество К", например, ограниченная область с гладкой или кусочно гладкой границей; У вЂ” некоторое подмножество К". Рассмотрим зависящий от параметра у б У интеграл г(у) = Г(х,у)ах, х где функция Г предполагается определенной на множестве Х х У и интегрируемой на Х при любом фиксированном значении у Е У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
