1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 105
Текст из файла (страница 105)
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 573 где т = (т1,...,т ) — мультииндекс и (т! = ~ т;. ~=1 д~х Естественно проверить, что, = д, Но это следует иэ радх'дхэ дхэдх' венства правых членов соотношений дх'дх1' ' дх1дх' дх1дх'' ' дх'дх1 д2 д2 вытекающего из классического равенства —,-Š—, = —.х-;, справедлидх'дхэ дхэдх* вого для любой функции ~р Е Х>. Пример 10.
Рассмотрим теперь оператор Р = ~;а Р™, где т = = (тм...,т„) — мультииндекс, Р = ~,) ..... ( ~, а дх дх" числовые коэффициенты, а сумма распространяется на некоторый конечный набор мультииндексов. Это дифференциальный оператор. Транспонироааннын по отношению к оператору Р или сопряженныж к Р называется оператор, обозначаемый обычно символом 'Р или Р* и определяемый соотношением которое должно быть выполнено при любых у б Р и Г е Р'. Исходя из равенства (11), можно теперь написать явную формулу для оператора, сопряженного к указанному дифференциальному опе- ратору Р. В частности, если все значения ~т~ четны, оператор Р оказывается самосопряженньиц т.е. для него ~Р = Р.
Ясно, что операция дифференцирования в 17'(Р') сохраняет все свойства дифференцирования в ХУ(К). Рассмотрим, однако, следующий специфически многомерный и важный Пример 11. Пусть о — гладкое (и — 1)-мерное подмногообразие К", т.е. о' — гладкая гиперповерхность. Предположим, что определенная на Р' ~ о' функция 7' бесконечно дифференцируема и все ее 574 ГЛ. ХЧН. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА частные производные имеют предел в каждой точке х Е з' при одностороннем подходе к х с любой стороны (локально) поверхности з.
Разность между этими пределами будет скачком à — ~- рассматривадх' емой частной производной в точке х, соответствующим определенному направлению прохода сквозь поверхность з' в точке х. При изменении этого направления меняется знак скачка. Скачок, таким образом, можно считать функцией на ориентированной поверхности, если, например, условиться, что направление прохода задается ориентирующей поверхность нормалью.
Функция — ~1 определена, непрерывна и локально ограничена вне з, дх' причем в силу сделанных допущений у локально является финально ограниченной при подходе к самой поверхности з'. Поскольку з' — подмногообразие К", как бы мы ни доопределили — ~ на з, мы получим дх' функцию с разрывами разве что на з', и потому локально интегрируемую в 1Р.
Но интегрируемые функции, отличающиеся на множестве меры нуль, имеют равные интегралы, поэтому, не заботясь о значениях на з', можно считать, что д~,- порождает некоторую регулярную дх' обобщенную функцию ( — ~ 1, действующую по закону ~ дх' 3 —, ~р = — у (х) дх. ау ( оу ) — = ~ —.~ + (ГУ)я соло,дл, а ') ах*)' (12) где последний член понимается в смысле равенства (10); (17)я — ска- чок функции 7" в точке х б з', соответствующий любому (из двух воз- можных) направлению единичной нормали п к з' в точке х, а соя а,— проекция хх на ось х' (т. е. хх = (соя а1,..., соя аь)).
~ Формула (12) обобщает равенство (17) из ~ 4, которое мы и используем при ее выводе. Покажем теперь, что если 1 рассматривать как обобщенную функцию, то в смысле дифференцирования обобщенных функций имеет место следующая важная формула: 575 2 5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Рассмотрим для определенности случай, когда г = 1. Тогда дх' ' ' ' дх' дх' — Гх2...
Гх" à — "', Гх'= х2...х" дх ...дх" дУ М 2 н" х2 ха Здесь скачок Г Г' функции Г берется в точке х = (х, х,..., ) 1 2 а)~~ при прохождении через нее в направлении координатной оси х~. В этой же точке берется значение функции ~р при вычислении произведения ( Г У)у.
Значит, последний интеграл можно записать в виде поверхностного интеграла первого рода где а~ — угол между направлением оси х~ и нормалью к о' в точке х, направленной так, что при прохождении через точку х Е о' в направлении этой нормали функция Г имеет именно полученный нами скачок Г Г. Это означает всего-навсего, что соя а~ > О. Остается заметить, что если выбрать другое направление нормали, то для него одновременно изменят знак и скачок функции и косинус угла между направлением оси х~ и направлением нормали, значит, произведение (ГГ)сояо~ при этом не изменится. ° Замечание 1. Как видно из проведенного доказательства, формула (12) имеет место уже тогда, когда для функции Г определен скачок ( Г Г')я в любой точке х Е о, а вне о существует частная производная ~Ж,, локально интегрируемая в К" хотя бы в несобственном смысле, дх' порождающая регулярную обобщенную функцию ) 576 ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Замечание 2.
В точках х Е о, в которых направление оси х1 не трансверсально о', т.е. касательно к о', могут возникнуть затруднения в определении скачка Г Г по такому направлению. По из доказательства формулы (12) видно, что последний ее член получен в связи с интегралом ( Г Г ) ~р сЬ~...
дх". х~ ..х~ Проекция на плоскость х~,...,х" множества Е указанных точек имеет (и — 1)-мерную меру нуль и потому не влияет на значение интеграла. Значит, форму (12) можно считать имеющей смысл и справедливой всегда, если при соя о, = 0 символу ( Г Г) я сое о; приписывать значение нуль.
Замечание 3. Аналогичные соображения позволяют пренебрегать и множествами, имеющими площадь нуль, поэтому формулу (12) можно считать доказанной и для кусочно гладких поверхностей. В качестве следующего примера покажем, как из дифференциального соотношения (12) непосредственно получается классическая интегральная формула Гаусса — Остроградского, причем в том наиболее свободном от излишних аналитических требований виде, о котором мы в свое время поставили читателя в известность. Пример 12. Пусть С вЂ” конечная область в Р', ограниченная кусочно гладкой поверхностью о; А = (А1,..., А") — векторное поле, недА' прерывное в С и такое, что функция АЬ А = 2; —,. определена в С и ;, д *' интегрируема в С хотя бы в несобственном смысле.
Если считать, что вне С поле А равно нулю, то скачок такого поля в любой точке х границы о области С при выходе из области С равен — А(х). Полагая, что и — единичный вектор внешней нормали к о, применяя формулу (12) к каждой компоненте А' поля А и, суммируя эти равенства, приходим к соотношению (13) ЖАЛА = (с11яА) — (А п)5я, в котором А и — скалярное произведение векторов А и и в соответствующей точке х б о'.
Соотношение (13) — это равенство обобщенных функций. Применим его к функции ф Е С, равной единице на С (существование и 0~) 5 5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 577 построение такой функции уже неоднократно обсуждаюсь). Поскольку для любой функции у Е Х> (14) (йчА,у) = — (А ~уу) ох (что вытекает непосредственно из определения дифференцирования обобщенной функции), то для нашего поля А и функции ф, очевидно, (йч А, ф) = О. Но с учетом равенства (13) зто дает соотношение О = (1йч А), ф) — ((А п) бя, ф), которое в классической записи (15) О = йчАНх — (А п) йт совпадает с формулой Гаусса — Остроградского.
Разберем еще несколько важных примеров, связанных с дифференцированием обобщенных функций. Пример 13. Рассмотрим векторное поле А = — *, определенное )х) в Из '1 О, и покажем, что в пространстве Р'(йз) обобщенных функций имеет место равенство (1б) йч з — — 4з д. ~ .~з Заметим сначала, что при х ~ О в классическом смысле йч * = О.
)х) Теперь, используя последовательно определение йчА в виде соотношения (14), определение несобственного интеграла, равенство йч — * = О при х ф О, формулу (15) Гаусса — Остроградского и фи- ~ ~з нитность функции ~р, получаем ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 578 з »г'Р(х) ЕС~Х~е 1(Е 1пп — г11» дх = е ( ~ х ~ ( 1 Ге Š— Е.~-О 1пп — гр(х) г(ег = 4лгр(0) = (4лд, гр). (х.и) ~ .~з Для оператора А: е"(С) — + е"(С), как и прежде, фундаментальным решением назовем обобщенную функцию Е С Р'(С), для которой А(Е) = д. х 111» — ггпу~ 1х~" (16') 2л"ге где а„= л- — площадь единичной сферы в Ж".
1 110121 Отсюда с учетом соотношения Ь = г11» етаг1 можно заключить, что 1."1 1п ~Х) = 2лб в 22 1 Ь = — (и — 2)гг„,д в К", и > 2. (х!" 2 Пример 15. Проверим, что функция Н(г) 1е1' .Е(х,з) = Е Е е, (2а~/лз)" Пример 14. Проверим, что в Тг'(Ф) регулярная обобщенная фун- кция Е(х) = — 4 (-( является фундаментальным решением оператора 1 ЛапласаЬ=( —,) +( ) +( ), Действительно, Ь = Й» етаг1, а ягаг1 Е(х) = * при х ~ О, поэтому 4л)х)~ равенство г11» ягаг1 Е = б вытекает из доказанного соотношения (16). Можно, как и в примере 13, проверить, что при любом и е 14, и > 2, в К" 55.
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 579 — — а Ь Е=б. Здесь Ь вЂ” оператор Лапласа по х в К", а о = 6(х, ~) есть о-функция в Щ х К~ = Кп+~. При ~ > 0 Е Е С1оо)(КЯ Ы ) и прямым дифференцированием убеждаемся в том, что — — аЬ/Е=О при ~>0. < д д1 Учитывая это обстоятельство, а также результат примера 7, для любой функции ~р Е о (К"+~ ) получаем — — а~Ь Е ~р = — Š— + а~Ь ~р — Й$ Е(х, 1) — + а~Ь~о сЬ' = О Ж" = — 1пп <И Е(х,1) ~ — +а ЬОо сЬ = 7'ду е — >+О ~ д1 е н~ с Е(х,е)~о(х,О) дх + М вЂ” а ЬЕ 1одх и" л Н~ = 1пп е — ~+О Е(х,е)~р(х, 0) с1х + Е(х,е)(р(х, е) — уо(х, 0)) йх 1пп я-Н-О 1пп Е(х,е) р(х,О) с1х = 1о(0,0) = (Б,ср). Пример 16. Покажем, что функция 1 Е(х, ~) = — Н(໠— (х0, 2а гдех Е К", 1 Е К, аН вЂ” функцияХевисайда(т.е.
мыполагаем Е(х,~) = = 0 при Ф ( 0), удовлетворяет уравнению ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 580 Е Р' 1 Е Щ Н вЂ” функция Хевисайда, удовлетворяет а~ "С 1 где а > О, х уравнению < у д'" о2 Е дС2 Ы) = 6(х,С) есть 6-функция пространства Т>'<К" х Вс) в котором Б = З'(%2). Пусть ср Е д 2д Ю<К2), полагая для краткости П„:= — — а —,, находим (П,Е,ср) = <Е,П,ср) = сгх Е(х,Ф)П,ср<х,С)сгС = На Жс — ССХ 2 ССС вЂ” — ССС 2 ССХ = -аа 1*1 О -ас ду | др ( Ц~ „о ~ ~ар ..
ОЭ о .С-са +СО 1ГГр — — — <аС,С) сМ вЂ” — / — ( — аФ,С) С1С = 2 сй ' 2 с' СИ о о р<О, О) + р<О, О) р<О, О) <д, р). 2 С а+аСС- 1 и(х, с) = — / сст Г <Г, т) сГ~ 1 2а .С о * — (с — > В 84 мы достаточно подробно изложили роль аппаратной функции оператора и роль свертки в задаче определения входного воздействия и по выходу й линейного оператора Аи = й, сохраняющего сдвиги. се изложенное там по этому поводу без изменений переносится на многомерный случай.
Значит, если нам известно фундаментальное решение Е оператора А т.е. если АЕ = б, то можно предъявить и решение и и уравнения Аи =,Г в виде свертки и = Г * Е. Пример 1Ч. Используя функцию Е<х,С) примера 16, можно, таким образом, предъявить решение 581 15. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА уравнения дзи д~и — — о — = Г, И~ дх~ являющееся сверткой Г * Е функций Г и Е, заведомо существующей в предположении, например, непрерывности функции Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
