1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 108
Текст из файла (страница 108)
с. Ортогонализация. Хорошо известно, что в конечномерном евклидовом пространстве на основе любой линейно независимой системы векторов каноническим образом (с помощью процесса ортогонализации Грама1) — Шмидтаз)) можно построить ортогональную и даже ортонормированную систему векторов, эквивалентную данной.
Этим же способом, очевидно, и в любом линейном пространстве со скалярным произведением можно ортонормировать любую линейно независимую систему его векторов 1Ь1, фз,... ОИ. П. Грам (1850 — 1916) — датский математик, продолживший исследования П. Л. Чебьппева и выявивший связь между разложениями в ряды по ортогональным системам и проблемой наилучшего квадратичного приближения (см. далее ряды Фурье). Именно в этих исследованиях возникли процесс ортогонализации и известнзл матрица Грама (см. стр. 222 и систему (18) на стр. 601). МЭ.
Шмидт (1876 — 1959) — немецкий математик, изучавший в связи с интегразьными уравнениями геометрию гильбертова пространства и описывавший ее языком евклидовой геометрии. 1 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 593 Напомним, что процесс ортогонализации, приводящий к ортонормированной системе уы уз,..., описывается следующими соотношениями: 41 Ф2 (421 Ф1) ~Р1 9119 ~~42 (Ф2~ ~Р1)Ф19 в — 1 Ф. — Е (Ф,9ь)рь а=1 Фп = и — 1 Ы- — Е (Ф, дь)рь Стандартные многочлены Лежандра, определяемые формулой Родрига ~п( 2 1)в Р„(х) = нам уже встречались. Для них Р„(1) = 1.
Выпишем несколько первых многочленов Лежандра, нормированных условием равенства единице коэффициента при старшей степени переменной: Рз(х) х 1 Ра(х) 3' 5 Ре(х) = 1, Р1(х) = х, Ортонормированные многочлены Лежандра имеют вид Р„(х) = Р„(х), где и = О, 1, 2,... Прямым вычислением можно убедиться в их ортогональности на отрезке ( — 1, Ц. Принимая указанную выше формулу за определение многочлена Р„(х), проверим ортогональность системы (Р„(х)) многочленов Лежандра на отрезке ( — 1, Ц. Для этого достаточно проверить, что Пример 5. Процесс ортогонализации линейно независимой системы (1, х, х~,... ) в Я 9(( — 1, Ц, Ж) приводит к так называемой системе ортогональных многочленое Лежандра. Отметим, что многочленами Лежандра часто называют нс сами многочлсны этой ортонормированной системы, а им пропорциональные.
Множитель пропорциональности выбирается из разных соображений: например, чтобы коэффициент при старшей степени многочлена был равен 1 или чтобы значение много- члена при х = 1 было равно 1. Ортогональность системы при этом, очевидно, не нарушается, а ортонормированность, вообще говоря, теряется. ГЛ. ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 594 многочлен Р„(х) ортогонален многочленам 1,х,...,х" ', линейными комбинациями которых получаются многочлены Ря(х) степени к ( и.
Интегрируя по частям при й ( и, действительно получаем, что 1 1 Г Г д~-'1хь д -я-'( г ц Некоторые представления об источнике ортогональных систем функций в анализе будут даны в последнем пункте этого параграфа и в задачах к нему, а сейчас мы вернемся к основным общим вопросам, связанным с разложением вектора по векторам заданной системы в линейном пространстве со скалярным произведением. с1. Непрерывность скалярного произведения и теорема Пифагора. Нам предстоит работать не только с конечными, но и с бесконечными суммами (рядами) векторов.
Отметим в этой связи свойство непрерывности скалярного произведения, которое позволяет распространить привычные алгебраические свойства скалярного произведения и на случай рядов. Пусть Х вЂ” векторное пространство со скалярным произведением (, ) и с индуцированной им в Х нормой 9х((:=,„Г(х, х) (см. 91 гл. Х).
Сходимость ряда ~ х; = х из векторов х; б Х к вектору х б Х будет 1=1 пониматься именно в смысле указанной нормы. Лемма 1 (о непрерывности скалярного произведения). Пусть (, ): Хг -+ С вЂ” скалярное произведение в С-линейном пространстве Х. Тогда а) функция (х, у) + (х, у) непрерывна по совокупности переменных; Ь) ес и х = ~; х;, то (х, у) = '1 (х„у); 1=1 1=1 с) если еьег,... — ортонормированная система векторов в Х и х = ~ х'е;, а у = ~ у'е;, то (х,у) = ~ х1У'. ~ Утверждение а) вытекает из неравенства Коши — Буняковского (см.
91 гл. Х): !(х — хв, У вЂ” Ув)! ~~ Р хв!! 11У вЂ” Ув!! 5 Е ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 595 Из а) вытекает Ъ), поскольку (х,а) =',>.'(хьр)+ ',5. х;,р г=1 г=п-~-1 а ,'г, х, -+ 0 при и — з оо. г=п-г1 Утверждение с) получается повторным применением Ь) с учетом соотношения (х,у) = (у,х). > Из доказанной леммы непосредственно вытекает Теорема (Пифагор~)). а) Если (х,) — система взаимно ортоеональныт векторов и х = ~хгг то 0Х0 = с' 0хг0 Ь) Если (е,) — система ортонормированных векторов их = ~ х'е;, то ((х((~ = ~, (х'(~.
г 2. Коэффициенты Фурье и ряд Фурье а. Определение коэффициентов и ряда Фурье. Пусть (е;)— ортонормированная, а (Ц вЂ” ортогональная системы векторов в пространстве Х со скалярным произведением (, ). Допустим, х = ~ х г,. Коэффициенты х' в таком разложении векторахх находятся непосредственно: (х, 1,) ((„е,) Если 1; = е,, то выражение еще упрощается: х' = (х, е,).
ВПифагор Самосский (ориентировочно 580 — 500 до н.з.) — знаменитый древнегреческий математик и философ-идеалист, основатель Пифагорейской школы, в которой, в частности, было сделано потрясшее древних математическое открытие о несоизмеримости стороны и диагонали квадрата, Сама же классическая теорема Пифагора была известна в ряде стран задолго до Пифагора (правда, возможно без доказательства).
ГЛ. ХУП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 596 Заметим, что формулы для х' имеют смысл и вполне определены, если дан сам вектор х и ортогональная система 1(,) (или (е )). Равенства х = „'1 хЧ( (или х = 2 х'е;) для вычисления х' по этим формулам уже не требуется. Определение 5. Числа ~ (( '(1) ~ называются коэффициентами ( 1*,ц1 1 Фурье вектора х е Х в ортогональной системе (11). Определение 6. Если Х вЂ” линейное пространство со скалярным произведением (, ), а (1, (9,..., („,... — ортогональная система ненулевых векторов в Х, то любому вектору х б Х можно сопоставить ряд (х,1ь) ((ь (ь) (8) Этот ряд называется рядом Фурье вектора х по ортогональной системе 11ь).
Если система ~(ь) конечна, то ряд Фурье сводится к конечной сумме. В случае ортонормированной системы ~еь) ряд Фурье вектора х Е Если система (е,) ортонормирована, то коэффициенты Фурье имеют вид ((х, е;)). С геометрической точки зрения г-й коэффициент Фурье (х, е,) вектора х б Х есть проекция этого вектора на направление единичного вектора е,.
В знакомом случае трехмерного евклидова пространства Ез с заданным в нем ортонормированным репером е1, ез, ез коэффициенты Фурье х' = (х, е(), г = 1,2, 3, суть координаты вектора х в базисе е1, еа, ез, возникающие в разложении х = х е1+ хафез + х ез.
Если бы вместо трех векторов еь еа, ез нам было дано только два еь ез, то Разложение х = х е1+ х ез по ним имело бы место Уже Далеко 1 2 не для каждого вектора х Е Ез. Тем не менее, коэффициенты Фурье х' = (х, е,), 1 = 1, 2, определены и вэтом случае, а вектор х, = х'е1+х~еа в этом случае является ортогональной проекцией вектора х на плоскость 1 векторов е1, ез. Среди всех векторов этой плоскости вектор х, выделяется тем, что он наиболее близок к вектору х в том смысле, что для любого вектора у Е Е будет 9х — у9 > '9х — х,'9. В этом и состоит замечательное экстремальное свойство коэффициентов Фурье, к которому мы вернемся ниже в общей ситуации. 11. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 597 е Х запишется особенно просто х ~~» (х,еь)еь.
ь=г Пример 6. Пусть Х = гсз([ — я,я],К). Рассмотрим в этом пространстве ортогональную систему (1, соз йх, з)п йх; й б 1Ч) примера 1. Функции У Е гсз(( — я» ~г], К) отвечает ряд Фурье + ~~» аь(у) соя йх+ бь(~) 91пйх еУ) 2 ь=г 1 оь(У) = — ( Дх) сов йхг1х, 1 6ь(У) = — / Х(х) з1пйх1х, й=0,1,2, (10) й=1,2, Положим г(х) = х. Тогда аь = О, й = 0 1 2 ..., 6 — ( 1)ььг9 й = 1, 2,... Значит, в этом случае получаем: »2 у(х) = х ~~» ( — 1)"~ — з1пйх. й ь=1 Пример 7. В пространстве гсз(( — я,~г],С) рассмотрим ортогональную систему 1е™*;й Е Ж1 примера 1. Пусть 1' Е Ез(( — я,»г],С). В соответствии с определением 5 и соотношениями (4), коэффициенты Фурье (сь(1')) функции г' в системе (е»т*) выражаются формулой: сь(у) = — / ~(х)е»~*Йх (= г„' г„) . по этой системе. Множитель 2~ при ае(Г") поставлен, чтобы придать единообразие следующим, вытекающим из определения коэффициентов Фурье, формулам: ГЛ.
ХУП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 598 Сравнивая равенства (9), (10), (11), с учетом формулы Эйлера есл = = сов у+1 в1п у получаем следующие соотношения между коэффициентами Фурье одной и той же функции относительно тригонометрической системы, записанной в действительной и комплексной формах: -(а — 1Ь ), если Ь>0, (12) ~(а ь+1Ь ь), если к ( О. Для того, чтобы в формулах (9) и (12) случай Ь = 0 не составлял исключения, принято (считая Ьо = 0) через ао обозначать не сам начальный коэффициент Фурье, а вдвое большую величину, что и было сделано выше. Ь. Основные общие свойства коэффициентов и рядов Фурье.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
