1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 112
Текст из файла (страница 112)
3, а) Покажите, что если система (хм хз,... ) векторов полна в пространстве Х, а пространство Х является всюду плотным подмножеством пространства 1', то система (хм хз,... ) полна также и в 1'. Ь) Докажите, что линейное пространство С[а, Ь] функций, непрерывных на отрезке [а, Ь], всюду плотно в пространстве Яз[а, Ь]. (В задаче Ьк из ~ 5 гл. ХЧП утверждалось, что это верно даже для бесконечно дифференцируемых финитных на отрезке [а, Ь] функций.) с) Используя аппроксимационную теорему Вейерштрасса, докажите, что тригонометрическая система (1, сов Ьх, Гйп Ьх; Ь Б Ы) полна в Яз[ — я, т].
б) Покажите, что системы (1,х,хз,...), (1,совйх,в1пйх;Ь б 1Ч) полны в 1сз [ — я, т], но первая не является, а вторая является базисом этого пространства. е) Объясните, почему для любой функции 1 б Е([ — т, т],С) справедливо равенство (Парсеваля) л ]2 ОΠ— ]1[~(х) пх = — + С [аь[~ + ]Ьь[~, я / 2 я=1 где числа аы Ьь определены формулами (9), (10). 615 г 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ Оь 1) Используя результат примера 8, покажите теперь, что 1 ь=1 о 4.
Ортогоиальность с весом. а) Пусть ро,ры...,р„— непрерывные положительные в области Р функции. Проверьте, что формула задает скалярное произведение в СОВ(Р, С). Ь) Покажите, что в пространстве Н(Р, С) при отождествлении функций, отличающихся лишь на множествах меры нуль, с помощью положительной и непрерывной в Р функции р можно ввести следующее скалярное произведение: ((, д) = р(х)1(х)д(х) дх. о Функция р в этом случае называется весовой функцией, а если (1,д) = О, то говорят, что функции 1 и д ортоеональим с весом р.
с) Пусть ((г) Р -+ С вЂ” диффеоморфиэм области Р С Н" на область С С Н", и пусть (иь(у); Й б 1ч) — ортогональная в смысле стандартного скалярного произведения (2) или (3) система функции в С. Постройте систему функций, ортогональных в Р с весом р(х) = [с)его'(х)[, а также систему функций, ортогонэльных в Р в смысле стандартного скалярного произведения. д) Покажите, что система функций (е „(х,у) = ед *+""1;т,п Б И) ортогональна на квадрате1 = ((х,у) Е Н~ [ [х[ < яд[у[ < х), е) Постройте систему функций, ортогональную на двумерном торе Т С г С Кг, заданном параметрическими уравнениями, указанными в примере 4 иэ г 1 гл.
ХП. Скалярное произведение функций 1 и д на торе при этом понимается как поверхностный интеграл [ 1дд(г. ч' г 5. а) Из алгебры известно (и мы это попутно в теории условного экстремума тоже доказали), что каждый симметрический оператор А)Е" -+ Е", действующий в и-мерном евклидовом пространстве Еь, имеет отличные от нуля собственные векторы. В бесконечномерном случае это, вообще говоря, не так. Покажите, что линейный оператор 1(х) ье х1(х) умножения на независимую переменную является симметрическим в Сг([а, 5[, К), но не имеет отличных от нуля собственных векторов. Ь) Задача ШтурмаО -Лиувиллл, часто возникающая в уравнениях математической физики, состоит в отыскании отличного от тождественного нуля ') Ж.
Ш. Ф, Штурм (1803 — 1855) — французский математик (кстатн, иностранный почетный член Петербургской Академии наук); основные работы относятся к решению краевых задач уравнений математической физики. 616 ГЛ. ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ решения уравнения ио(х) + [д(х) + Лр(х))и(х) = 0 на промежутке [а, 6], удовлетворяющего некоторым краевым условиям, например, и(а) = и(6) = О.
При этом функции р(х) и д(х) считаются известными, непрерывными на рассматриваемом промежутке [а, 6], причем р(х) > О на [а, Ь]. Такая задача нам уже встретилась в примере 15, где нужно было решить уравнение (26) при условии, что Х(0) = Х(1) = О. В этом случае у нас было д(х) = О, р(х) = 1 и [а, Ь) = [0,1). Мы убедились в том, что задача ШтурмаЛиувилля, вообще говоря, может оказаться разрешимой лишь при некоторых специальных значениях параметра Л, которые по этой причине называют собстеенными значенилми соответствующей задачи Штурма — Лидеиллл. Покажите, что если функции 1 и д являются решениями задачи Штурма— Лиувилля, отвечающими собственным значениям Лу ф Лю то на отрезке [а, Ь] выполнено равенство ~~(д'~ — 1'д) = (Лу — Ле)руд и функции 1, д ортогонзльны на [а, Ь) с весом р.
с) Известно (см. 6 4, гл. Х1Ч), что малые колебания неоднородной струны, закрепленной в концах отрезка [а, Ь], описываются уравнением (ри',)', = ри,"„ где и = и(х, 1) — функция, задающая форму струны в каждый момент 1, р = = р(х) †линейн плотность, а р = р(х) †коэффицие упругости в точке х Е [а, Ь). Условия закрепления означают, что и(а, С) = и(6,1) = О. Покажите, что если искать решение этого уравнения в виде Х(х)Т(1), то дело сведется к системе Т" = ЛТ, (рХ')' = ЛрХ, в которой Л вЂ” общее для обоих уравнений число.
Таким образом, для функции Х(х) возникает задача Штурма †Лиувил на отрезке [а, Ь], разрешимая лишь при определенных (собственных) значениях параметра Л (Считая, что р(х) > 0 на [а, Ь] и что р Е СОВ[а, 6), заменой переменной е = ] Ж уравнение (рХ')' = ЛРХ, очевидно, приводится к виду, =. о61О в котором оно уже не содержит первой производной.) о) Проверьте, что оператор 5(и) = (р(х)и'(х))' — д(х)и(х), действующий на пространстве тех функций класса СОВ [а, Ь], которые удовлетворяют условиям и(а) = и(Ь) = О, является симметрическим на этом пространстве (т.е.
(Ьи, и) = (и, Би), где (, ) — стандартное скалярное произведение вещественных функций). Проверьте также ортогональность собственных функций оператора Б, отвечающих его различным собственным значениям. е) Покажите, что решения Хы Хз уравнения (рХ')' = ЛрХ, отвечающие различным значениям Лы Лз параметра Л и обращающиеся в нуль на концах отрезка [а, 6], ортогональны на [а, Ь] с весом р(х). 6.
Полиномы Лежандра как собстеенные функции. а) Используя указанное в примере 5 выражение полинома Лежандра Р„(х), а также равенство (хз— — 1)" = (х — 1)" (х + 1)", покажите, что Р„(1) = 1. з 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 617 Ь) Дифференцируя тождество (хт — 1) ~~-(хт — 1)" = 2пх(хт — 1)", покажите, что Р„(х) удовлетворяет уравнению (хт — 1) Р„"(х) + 2х . Р„'(х) — п(п + 1)Р„(х) = 0 с) Проверьте симметричность оператора г А:= (хт — 1) — + 2х — = — (х — 1)— ,(хз дх (х ~ ,(х~ на пространстве СОВ[ †, Ц С тсз[ — 1, Ц и, исходя из соотношения А(Р„) = п(п + 1)Р„, объясните ортогональность полиномов Лежандра.
с1) Используя полноту системы (1,х,хт,... ) в СОВ[ — 1, Ц, покажите, что размерность собственного пространства оператора А, отвечающего его собственному значению Л = п(п + 1), не может быть больше единицы. е) Докажите, что оператор А = ~ [(х — 1)~-~~ не может иметь в прож ~ 2 а1 странстве СОВ[ — 1, Ц собственных функций, не входящих в систему (Ра(х), Р,(х),... ) полиномов Лежандра, и собственных значений, отличных от чисел (п(п+ 1); 7.
Сферические функции. а) В Нз при решении различных задач (например, задач теории потенциала, связанных с уравнением Лапласа тли = 0) решение ищут в виде ряда из решений специального вида. В качестве таковых берут однородные многочлены Б„(х, у, х) степени и, удовлетворяющие уравнению т1и = О. Такие многочлены называются гармоническими миоеочленами. В сферических координатах (т, ут, д) гармонический многочлен л„(х, у, л), очевидно, имеет вид т"У„(6, ~р).
Возникающие при этом функции У„(д, ут), зависящие только от координат 0 < д < я, 0 < 1а < 2я на сфере, называют сферическими функциями. (Они являются тригонометрическими многочленами от двух переменных с 2п+1 свободными коэффициентами у У„, что связано с условием ЬБ„= 0.) Используя формулу Грина, покажите, что при т ф и функции У, У„ ортогональны на единичной сфере в К~ (в смысле скалярного произведения (У, У„) = ] ] У . У„тйт, где поверхностный интеграл берется по сфере т = 1). Ь) Отправляясь от полиномов Лежандра, можно ввести еще полиномы Р„,„= (1 — хт)~жтт "(х), тп = 1, 2,..., и, и рассмотреть функции лпъ р ах™ Р„(сов 6), Р„, (сов 0) сов ттир, Р„(в!и д) з1п ту. (ж) Оказывается, любая сферическая функция У„(д, ут) с индексом и является линейной комбинацией указанных функций.
Принимая это к сведению и учитывая ортогональность тригонометрической системы, покажите, что функции системы (*) образуют ортогональный базис в (2п + 1)-мерном пространстае сферических функций данного индекса и. ГЛ. ХУН1. РЯД ФУРЬК И ПРЕОБРАЗОВАНИК ФУРЬК 618 8. Полиномы Эрмита. В квантовой механике при исследовании уравнения линейного осциллятора приходится рассматривать функции класса СОВ (И) со .~-Оь скалярным произведением (1,д) = ) (дух в СОО(Н) С 1сг(гс,С), а также г ав г специальные функции Н„(х) = ( — 1)"е* — „е~ * ), п = 0,1,2,... хо а) Покажите, что На(х) = 1, Нг(х) = 2х, Нг(х) = 4хг — 2.
Ь) Докажите, что Н„(х) — полипом степени п. Система функций (Но(х), Нг(х),... ) называется системой полиномов Эрмита. с) Проверьте, что функция Н„(х) удовлетворяет уравнению Н„''(х)— — 2хН,',(х) + 2пНп(х) = О. с1) Функции г(г„(х) = е * 1гН„(х) называют угункиилми Эрмита. Покажите, что г)го(х) + (2п + 1 — х~)г(г„(х) = 0 и г(г„(х) г 0 при х -+ оо. + гг е) Проверьте, что 1 ф„гр дх = 0 при т ~ п. г 1) Покажите, что полиномы Эрмита ортогональны на Н с весом е * . 9.
Полиномы Чебышева — Лаеерра0 (Е„(х);и = 0,1,2,... ) можно опредег ав~хпе — гг лить формулой Т„(х):= е* — ~ — — ). и Проверьте, что: а) Ь„(х) есть полипом степени п; Ь) функция Х„(х) удовлетворяет уравнению хЬ'„'(х) + (1 — х)Е'„(х) + пй„(х) = 0; с) система (Т,„; и = О, 1, 2,... ) полиномов Чебышева — Лагерра ортогональна с весом е * на полупрямой [О, +со[.
10. Полиномы Чебышева (Та(х) = 1,Т„(х) = 2г "совп(агссовх);и Е )Ч) при [х[ < 1 можно задать формулой Т„(х) =,/1 — хг — (1- х')"- г. ( — 2)ап! г (2п)! ах а Покажите, что: а) Т„(х) есть полипом степени п; Ь) Т„(х) удовлетворяет уравнению (1 — х )Т„''(х) — хТ„'(х) + пгТ„(х) = 0; с) система (Т„; и = О, 1, 2,... ) многочленов Чебышева ортогональна с весом р(х) = на промежутке ] — 1,1[.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
