1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 114
Текст из файла (страница 114)
Карлесономл). Из результата Л. Карлесона, в частности, следует, что ряд Фурье любой функции Г Н гс2[ — я, я] (например, непрерывной) обязан сходиться почти во всех точках отрезка [ — и, я]. 2. Исследование поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье а. Интегральное представление частичной суммы ряда Фурье. Обратимся теперь к частичной сумме (9) ряда Фурье (6) и, подставив в ее комплексную запись (9') выражения (13) коэффициентов Фурье, проделаем следующие преобразования: ПА. Н. Колмогоров (1903 — 1987) — выдающийся советский ученый; работы по теории вероятностей, математической статистике, теории функций, функциональному анализу, топологии, логике, дифференциальным уравнениям и прикладным аспектам математики.
НД. Е.Меньшов (1892 †19) †советск математик, один из наиболее крупных специалистов в теории функций действительного переменного. ЕН. Н. Лузин (1883 †19) †русск советский математик, один из наиболее тонких знатоков теории функций, родоначальник большой московской математической школы (зЛузитаниие), ЕЛ. Карлссон (род. 1928) — выдающийся шведский математик; основные труды относятся к различным областям современного анализа, ГЛ.
ХУП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 626 (15) По е 1(и-Г 1)и — г(и-Г 2)и 1(и-~-1)и — 1ии Р„(и):= ,'г е' "— (16) причем, как видно из самого определения, Р„(и) = (2п+1), если е 1и Значит, гйп(п+ 2) и (17) Р„( ) яш-и 2 где отношение считается равным 2п+1, когда знаменатель дроби обращается в нуль. Продолжая выкладку (15), теперь имеем Я„(х) = — / Д1)Р„(х — 1) гй. 2гг .( (18) Мы представили о„(х) в виде свертки функции г' с функцией (17), называемой ядром Дирихяе. Как видно из исходного определения (16) функции Р„(и), ядро Дирихле 2я-периодично, четко, и, кроме того, Я„,(х) = — / .((х — 1)Р„(1) г(1 = — /,)'(х — 1) 2 Ж. (20) Делая замену переменной, мы здесь воспользовались тем, что интеграл от периодической функции по любому отрезку, длина которого равна периоду функции, одинаков.
Считая функцию у 2я-периодической на К или периодически продолженной с отрезка [ — я, я] на И„делая в (18) замену переменной, получаем, что в 2. тРиГОнОметРический РЯД ФУРье 627 Учитывая четность 11„(~), равенство (20) можно переписать в виде Е (х) — ( Г(х 2) + Г(х + 1))Р (Ф) й— 1 Г о 1 Г 81П[п+ 2) 2 = — / (Г(х — 2) + Г(х+ 2)) „2 а2, (21) 2н ./ ап -"$ о 2 Ь. Лемма Римана и принцип локализации. Полученное представление (21) частичной суммы тригонометрического ряда Фурье со- ' вместно с формулируемым ниже наблюдением Римана служит основой для исследования поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье. Лемма 1 (Риман).
Если лон льно интегрируемая функция Г: ]и~,ы2[ — ~ К абсолютно интегрируема (хотя бы в несобственном смысле) на промежутке ]оч,ю2[, то (22) < Если ] аЧ, ю2[ — конечный промежуток, а Г(х) = 1, то (22) проверяется непосредственным интегрированием и переходом к пределу. Общий случай сведем к этому простейшему. Фиксируя произвольно г > О, выберем сначала отрезок [а,Ь] с С] он, юг[ так, чтобы при любом Л е К было (23) Ввиду оценок а н2 а ОР1 ~ Г(х)евлх] с1х Р ]Г (х)еалх ~ лх ]Г (х) с1х Р ] Г](х) дх ГЛ. ХУП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 628 и абсолютной интегрируемости у на ]ш1, ы2[, указанный отрезок [а, Ь], конечно, существует.
Поскольку у Е !с([а,б],К) (точнее 1[(,ь) Е !с([а,б])), то найдется такая нижняя сумма Дарбу ,'[ т Ьх1, где т = 1п1 1(х), что 1=! Я Е !!хь — !, х! ~ Вводя теперь кусочно постоянную функцию д(х) = тб, если х б Е [х 1,х ], ! = 1,...,а,получаем, что д(х) < 1(х) на [о,б] и О< < [у(х) — д(х)[ ~е'"~[с1х = (у(х) — д(х)) с1х < е. (24) Но Ь в 1 1 !! )""! =У, 1 !г!""= а 1=! ~! — ! п — (т е!ь' ) / -+ О при Л -+ оо, 1=! Л е 2. (25) Сопоставляя соотношения (22) — (25), получаем то, что и утверждалось. ь М! !!! Г ,1 (х) соз Лх сКх -+ О и,1(х) ьйп Лх !1х -+ О (26) Ю! М! при Л -+ оо, Л е К. Если бы в последних интегралах функция )' была комплекснозначна, то, отделяя уже в них действительную и мнимую Замечание 1.
Отделяя в (22) действительную и мнимую части, получаем, что 12. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ 629 части, мы получили бы, что соотношения (26), а значит, и соотношение (22), на самом-то деле, конечно, справедливы и для комплекснозначных функций у: ] ю1, ы2[ — + С. Замечание 2. Если известно, что у Е в'.2[ — к, к], то в силу неравенства Бесселя (8) можно сразу заключить, что у(х)совпхдх — ь О и 7"(х) в1ппхдх — 1 О при и — + оо, и Е Ы Этим дискретным вариантом леммы Римана в принципе уже можно было бы обойтись в тех начальных исследованиях классических рядов Фурье, которые будут здесь проведены. Возвращаясь теперь к интегральному представлению (21) частичной суммы ряда Фурье, замечаем, что если функция 1 удовлетворяет условиям леммы Римана, то, поскольку в1п22 > я1п2б > О при 1 1 О < б < 1 < и, мы вправе на основании соотношений (26) записать, что б 1 1 /' в1п (и+ 2) 1 д„(х) = — /щх — 2)+~(х+$)) (Ы+о(1) при и — ь оо.
(27) 2к 1 в1п -1 о 2 Важное заключение, которое можно сделать, имея равенство (27), состоит в том, что сходимость ряда Фурье в точке вполне определяется поведением функции в сколь угодно малой окрестности этой точки. Сформулируем этот принцип в виде следующего утверждения.
Теорема 2 (принцип локализации). Пусть 1' и д — вещественноили комплекснозначные локально интегрируемые на промежутке ] — п,п[ и абсо~ютно интегрируемые на нем (хотл бы в несобственном смысле) функции. Если функции 1" и д совпадают в сколь угодно малой окрестности точки хо Е ] — к, и[, то их ряды Фурье ГЛ. ХУП1.
РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 630 сходятся или расходятся в точке хо одновременно, а в случае сходи- мости их суммы в хо совпадают1). Замечание 3. Как видно из проведенных при получении равенств (21), (27) рассуждений, точка хо в принципе локализации может быть и концом отрезка ( — к, я), но тогда (и зто существенно!) для совпадения в окрестности точки хо периодически продолженных на И с отрезка [ — я, к~ функций 7 и д необходимо (и достаточно), чтобы исходные функции 1 и д совпадали в окрестности обоих концов отрезка ( — я, я].
с. Достаточные условия сходимости ряда сРурье в точке Определение 2. Говорят, что функция 7": 17 -+ С, заданная в проколотой окрестности точки х Е ))1, удовлетворяет в точке х условиям Дини, если а) в точке х существуют оба односторонних предела 7'(х ) = 1пп 7'(х — 1), 7"(х+) = 1пп 7'(х+1); ь-ч-о Ь) интеграл то сходится абсолютно~) .
Пример 2. Если 7' — непрерывная в 17(х) функция, удовлетворяющая в точке х условию Гельдера то, поскольку тогда справедлива оценка 7" (х + 1) — 7'(х) М < ф1-а ' функция 7" удовлетворяет в точке х условиям Дини. ОХотя и не обязательно совпадают со значением 1(хо) = у(хе). НИмеется в виду абсолютная сходимость интеграла ) хоть при каком-нибудь знао чении е ) О. 12. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ 631 Ясно также, что если определенная в проколотой окрестности У(х) точки х непрерывная функция у имеет односторонние пределы у(х ), Дх+) и удовлетворяет односторонним условиям Гельдера [У(х+ 1) — У(х+)[ < М1~, [1(х — 1) — у(х )[ < М1, где 1 ) О, 0 < а < 1, а М вЂ” положительная постоянная, то функция у по той же причине, что и выше, будет удовлетворять условиям Дини.
Определение 3. Вещественно или комплекснозначную функцию 1 будем называть кусочно непрерывной на отрезке [а, Ь), если существует такой конечный набор точек а = хв < х1 « ... х„= Ь этого отрезка, что функция 1" определена, непрерывна на каждом интервале )хд мху[, у = 1,..., и и имеет односторонние пределы при подходе к его концам.
Определение 4. Функцию, имеющую на данном отрезке кусочно непрерывную производную, будем называть кусочно непрерывно дифференцируемой функцией на этом отрезке. Пример 4. Функция 1(х) = вЕпх удовлетворяет условиям Дини в любой точке х Е К, в том числе и в нуле. Теорема 3 (достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке). Пусть 1: К вЂ” > С вЂ” 2к-периодическая функция, абсолютно интеерируемая на отрезке [ — к, к). Если функция 1" удовлетворяет в точке х Е К условиям Дини, то ее ряд Фурье сходится в точке х, причем 1(х ) + ~(х+) 2 (28) Пример 3.
Ксли функция кусочно непрерывно дифференцируема на отрезке, то она удовлетворяет условиям Гельдера с показателем о = 1 в любой точке этого отрезка (это вытекает из теоремы Лагранжа о конечном приращении). Значит, в силу примера 1 такая функция удовлетворяет условиям Дини в любой точке рассматриваемого отрезка. В концах отрезка, разумеется, проверке подлежит только соответствующая односторонняя пара условий Дини.
ГЛ. ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 632 < На основании соотношений (21) и (19) ( ) у(х-) + у(х.~-) 2 1 /' Ц(х — 2) — у(х ))+ Щх+г) — у(хг-)), (' 1'1 я .г 2я1п1г 2! о 2 Замечание 4. В связи с доказанной теоремой и принципом локализации отметим, что изменение значения функции в точке не влияет ни на коэффициенты, ни на ряд, ни на частичные суммы ряда Фурье, поэтому сходимость и сумма такого ряда в точке определяется не индивидуальным значением функции в точке, а интегральным средним ее значений в сколь угодно малой окрестности этой точки.
Именно зто и нашло отражение в теореме 3. Пример 5. В примере 6 из 21 мы нашли ряд Фурье ( 1) ь-~-1 х ,'> 2 ягпкх й ь=г функции г(х) = х на промежутке [ — 1г,я]. Продолжая функцию г(х) периодично с интервала ] — я,я[на всю числовую ось,можно считать, что указанный ряд является рядом Фурье этой продолженной функции. Тогда на основании теоремы 3 получаем, что ( 1)ь<-1 ~2 М Й*=[ ь=г )х[ ( я, )х) = я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
