1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 118
Текст из файла (страница 118)
о 5 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ 655 9. а) Пусть х = ~~~™1, т = О, 1,..., 2п. Проверьте, что 2к соайх„,соз1х 2~+ 1 =О 2к Ош йх вгп 1х 2п+ 1 2к 81П Ххгк СОЯ 1хгк = бы, = бы, =О, кг=О где/с,1 — неотрицательныецелые числа, а бы = 0 при /с ф1 и бы = 1 при /с = Е Ь) Пусть у: И -+ И вЂ” 2гг-периодическая абсолютно интегрируемая на периоде функция. Отрезок [О, 2л] разобьем точками х,„= ~-„— +-1, т = О, 1,..., 2п, 2кт на 2п+ 1 равных отрезков.
Интегралы 1 Г 1 /' оь(2) = — / 2(х)соайхдх, 62(2) = — [ у(х)О1пйхдх 2п+ 1 у(х )совйх кг=е 2к 1 ((х ) О1п йх кг=е 6 (у)— которые и подставим в и-ю частичную сумму о„(у', х) ряда Фурье функции у вместо соответствующих коэффициентов аь(у) и 62(у). Докажите, что при этом получится тригонометрический полипом о„(у, х) порядка и, интерполипующий функцию (' в узлах х, т = 0,1,...,2п, т.е. в ЭТИХ ТОЧКОХ У(хгп) — о (2 г Хга).
10. а) Пусть функция у: [а, 6] -+ И непрерывна и кусочно дифференцируема, и пусть ее производная у' интегрируема в квадрате на промежутке ]а, 6[. Используя равенство Парсеваля, докажите, что; а) если [а,6] = [О,гг], то при выполнении любого из двух условий ((О) = к = )(х) = 0 или ] ((х)11Х = 0 справедливо неравенстпео Стеклоеа О 1 (х)11х ( (У') (х)11Х 1 О О вычислим приближенно по формуле прямоугольников, соответствующей это- му разбиению отрезка [О, 21г].
Тогда получим величины ГЛ. ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 656 в котором равенство возможно лишь при 1(х) = а сов х; Ь) если [а, Ь] = [ — н, н] и одновременно выполнены два условия 1( — л) = 1(я) и ] 1(х) дх = О, то справедливо неравенство Виртинзера — л где равенство возможно лишь при 7(х) = асов х + Ьяп х. 11. Явление Гиббса — так называется описываемая ниже особенность поведения частичных сумм тригонометрического ряда Фурье, «впервые обнаруженная Унлбрейамом (1848 г.) и позже (1898 г.) переоткрытая Гиббсом>. (Математическая энциклопедия, том 1, Москва, 1977 г.) а) Покажите,что 4 яп(21« — 1)х в8пх = — ~~> при ]х] < >г. >г „2й — 1 Ь) Проверьте, что функция Вп(х) = — 2 -' — ~~ — --~ имеет максимум при 1>=1 х = ~~- и что при н -+ оо я 1 2 в!п(2й — 1)2„2 2 Г япх — -+ — дх 1,179. 2н я (2Й вЂ” 1) л п н,г' х „( — ) — — ~,2п — ~ д 1,179.
1=1 2п о Таким образом, колебание В„(х) при и -+ со около точки х = О примерно на 18% превышает скачок самой функции вяп х в этой точке (проскакивание 5„(х) «по инерции>). с) Нарисуйте предел графиков функций В„(х) задачи Ь). Пусть теперь вообще В„(г", х) — и-я частичная сумма тригонометрического ряда Фурье функции 1, и пусть при и -+ ~х; Вп(7',х) -+ 1(х) в проколотой окрестности О < [х — С[ < б точки С, в которой 1 имеет односторонние пределы Я ) и Я+).
Для определенности будем считать, что Я ) < Яе). Говорят, что в точке С имеет место явление Гиббса длл сумм 5„(1', х), если 1пп В„(1, х) < 1(С ) < 7'(С>.) < 1пп В„(у,х). д) Используя замечание 9, покажите, что для любой функции вида 1р(х) + + св8п(х — С), где с ф О, [С[ < >г, а го 6 СОВ[ — я,н], в точке ~ имеет место явление Гиббса. 12.
Многомерные гпригонометричесние ряды Фурье. а) Проверьте, что система функций е>"*, где /с = (Йг,...,я„), х = (хг,...,х„), Йх = (2 )и/2 2 г. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ 657 = к1х1 +... + к„х„и 721,..., й„Е К, ортонормальна на любом п-мерном кубе 1=(хййп ~а <х <а +2я,у'=1,2,...,п). .~-00 Ь) Интегрируемой на 1 функции 7' сопоставим сумму 7' 2 сь(7)е1~*, которая называется рядом Фурье функции 7' по системе е'"*, ес( (гл)п12 ли сь(1) = „2 (,7(х)е 1~*ах. Числа сь(7) называются коэффициентами (гл)п12 Фурье функции 7' по системе 1( 1 е"* ( (г )п1' В многомерном случае ряд Фурье часто суммируют с помощью сумм Ел(х) = ~~1 сь(7)е1 *, )И<л1 где запись |72! < 111 означает, что 12' = (121,..., л„) и (lс; ) < 121, у = 1,..., и. Покажите, что для любой 2я-периодической по каждой из переменных функции )'(х) = 7'(х1,...,хп) где Вм,(и) — 12"-е одномерное лдро Дирихле.
с) Докажите, что сумма Фейера 12 1 Л11 М ол (х):= ~ оь(х) — ~~ ... ~ зь1 ь„(х) о=о ' ' " ь,=о ь„=о 2х-периодической по каждой из и переменных функции 7'(х) = 7'(х1,...,хп) может быть представлена в виде 1 ол (х) = — / 7'(1 — х)Фл (1) й, ! где Фл (и) = П Ул (и,), а Ул~г — 121-е одномерное ядро Фейера.
1=1 б) Распространите теперь теорему Фейера на п-мерный случай. е) Покажите, что если 2я-периодическая по каждой из переменных функция 7' абсолютно интегрируема на периоде 1 хотя бы в несобственном смысле, то ) ~1(х + и) — 1(х) ( дх — э О при и -+ О и ) (~ — ол ~(х) дх -+ О при 12' -+ оо. 1 1 ГЛ. ХЧ111. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 658 1) Докажите, что две абсолютно интегрируемые на кубе 1 функции Х и д могут иметь совпадающие ряды Фурье (т.е, ся(1) = ся(д) для любого мультииндекса й) в том лишь случае, когда 1(х) = д(х) почти всюду на 1.
Это усиление утверждения 3 о единственности ряда Фурье. 8) Проверьте, что исходная ортонормальная система е'"* полна ( ~(эх)ь~ е в кз(1), значит, ряд Фурье любой функции 1 б ссз(1) сходится к 1 в среднем на 1. Ь) Пусть 1 — 2л-периодическая по каждой из переменных функция класса Сс >(И").
Проверьте, что сей~ 1) = с~"~й сь®, где а = (аы...,а„), я = (/сю..., /с„), (а) = (ас)+... + )о„), Й~ = lс '.... /с~", сс — неотрицательные целые. 1) Пусть Х вЂ” 2я-периодическая по каждой из переменных функция класса С~ "~(И"). Покажите, что если для каждого мультииндекса а = (аы...,а„) такого, что о есть О или пс (при любом 1 = 1,..., п), выполнена оценка 1 (2я)е )у~ 1~э(х)с1х < Мз, с то Щх) — бп(х)! < СМ Астап — ~т где 1Ч = сп1п(МВ..., М„), а С вЂ” постоянная, зависящая от т, но не зависюцая от сЧ и от х б 1. )) Заметьте, что если какая-то последовательность непрерывных функций сходится в среднем на промежутке Х к функции 1 и одновременно сходится равномерно к функции сс, то 1(х) = сс(х) на 1.
Используя это наблюдение, докажите, что если 2х-периодическая по каждой из и-переменных функция Х: К" — с С принадлежит классу СОВ(И", С), то тригонометрический ряд Фурье функции Х сходится к ней равномерно на всем пространстве И". 13. Ряды Фурье обобщенных функций. Любую 2х-периодическую функцию Х: И -+ С можно рассматривать как функцию 1(я) точки на единичной окружности Г (точка фиксируется значением я натурального параметра О < л < 2я).
Сохраняя обозначения 84 гл. ХЧП, рассмотрим на Г пространство ь(Г) функций класса С~~'~ (Г) и пространство Р'(Г) обобщенных функций, т. е. линейных непрерывных функционалов на ь(Г). Действие (значение) функционала Р б З'(Г) на функцию у б ь (Г) будем обозначать символом Р(у), избегая символа (Р, сс), использованного в этой главе для обозначения эрмитова скалярного произведения (7). Каждая интегрируемая на Г функция Хможет рассматриваться как элемент ь'(Г) (регулярная обобщенная функция), действующий на функции ~р б о 2.
тРиГОнОметРический РЯД ФУРье Е '0(Г) по формуле гх Пр) = 1(л)р( )б. о Сходимость последовательности (б'„) обобщенных функций пространства 0'(Г) к обобщенной функции Р' Е 0'(Г), как обычно, означает, что для любой функции р Е Ю'(Г) )пп Р"„(~р) = б'(р). а) Используя то обстоятельство, что для любой функции ~р Е С<~~(Г) по теореме 5 на Г справедливо соотношение р(л) = 2 сь(р)егам и, в частности, равенство у(0) = С сь(р), покажите, что в смысле сходимости в пространстве обобщенных функций 0'(Г) — епм -+ б при п -+ оо.
2я ь= — в Здесь б — тот элемент пространства '0'(Г), действие которого на функцию р Е '0(Г) определено соотношением б(го) = р(0). Ъ) Если у е гс(Г), то коэффициенты Фурье функции г' по системе (егл'), определенные стандартным образом, можно записать в виде (у) ! у( ) гы у( нм) 2я! 2я о По аналогии определим теперь коэффициенты Фурье сь(б') любой обобщенной функции Г Е 0'(Г) формулой сь(Г) = 2-Г(е ™), имеющей смысл, поскольку е гы е 0(Г).
Так любой обобщенной функции Р' Е Э'(Г) сопоставляется ее ряд Фурье Г ~~~ сь(Г)ег '. Покажите, что б 2 ~-ег"'. с) Докажите следующий замечательный по своей простоте и открывающейся свободе действий факт: ряд Фурье любой обобщенной функции Г Е Е 0'(Г) сходится к Р' (в смысле сходимости в пространстве 0'(Г)). ГЛ. ХУП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 660 б) Покажите, что ряд Фурье функции Г е '0'(Г) (как и сама функция г' и как любой сходящийся ряд обобщенных функций) можно дифференцировать почленно любое число раз. е) Исходя из равенства б = 2', ~~-ем', найдите ряд Фурье функции б'. 1) Вернемся теперь с окружности Г на прямую К и рассмотрим функции еим как регулярные обобщенные функции пространства 0'(Е) (т. е, как линейные непрерывные функционалы на пространстве '0(Е) финитных на Й функций класса Се1 1(К)).
Любая локально интегрируемая функция у может рассматриваться как злемент пространства 0'(К) (регулярная обобщенная функция из '0'(К)), действующий на функции р е Се ~(К, С) по закону ((р) = ) у(х)~р(х) их. Сходимость в 0'(К) определяется стандартным образом: ( 1пп б'„= Р):= Чр е 0(К) (!пп Р'„(р) = б'(р)) . Покажите, что в смысле сходнмости в Ю'(й) справедливо следующее равенство: ОО (Ю вЂ” ~емх = ~ б(х — 2я/с), 2п в обеих частях которого подразумевается предельный переход при п -+ оо по симметричным частичным суммам 2,', а б(х — хе), как всегда, обозначает сдвинутую в точку хо б-функцию пространства 0'(И), т.е. б(х — хе)(1р) = = р(хо). 2 3.
Преобразование сРурье 1. Представление функции интегралом 4>урье а. Спектр и гармонический анализ функции. Пусть у(1)— Т-периодическая функция, например, периодический сигнал частоты 7, 1 как функция времени. Будем считать, что функция у абсолютно интегрируема на периоде. Раскладывая (' в ряд Фурье (в случае достаточной регулярности у ряд Фурье, как известно, сходится к у) и преобразо- 13, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ бб1 выввя этот ряд ,Г(1) = + ~~, аеф сов йюо1 + Ья Ц) в1п йюо1 = ава 2 в=1 сеЦ)е'~"" = со+ 2~~> ~се~ сов(1сюв1+ агдс~), (1) Г(1) = ~) сяе' г' в следующем виде: лв=1,'(а-)" ' —, Гяяс я / (2) где 1 Г св = — / Г(1)е нм сЫ 21 ./ получаем представление Г в виде суммы постоянного члена ф = сов среднего значения Г по периоду и синусоидальныя компонент с частотами ов = ~, (основная частота), 2ов (втор я гармоническая ча- 1 сиота), и т.д.
Вообще Й-я гармоническая компонента 2~ся~ сов(й-~4+ +аяксе) сигнала 1(с) имеет частоту Йив = —, круговую частоту /с йыв = 2якив = -~~А, амплитуду 2(ся( =,/а~ + Ьв~ и фазу агяся Ь = — вгс1я ф. Разложение периодической функции (сигнала) в сумму простых гармонических колебаний называют гармоническим анализом функции Г. Числа 1ся Ц); к е,Е) или 1ав(Г ), ае(Г), Ье Ц); 1с е М) называют спектром функции (сигнала) Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
