1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 122
Текст из файла (страница 122)
— х2 г Положим здесь д(х) = е ~*~ ~г. В примере 10 мы видели, что д(и) = вг г г = е ~"~ ~г. Вспоминая интеграл Эйлера — Пуассона ) е * дх = ~/я, с помощью теоремы Фубини заключаем, что ) е ~"~ ~г ди = (2я)"1г, и в Ж результате получаем равенство (32). ~ Замечание 4. В отличие от одного равенства (32), означающего, что у = 1, в соотношениях (31) присутствует еще равенство 1 = у. Но оно немедленно вытекает из доказанного, поскольку г(С) = у( — С) и У(-х) = У(х) Замечание 5.
Мы уже видели (см. замечание 3), что если 1 Е о, то 1 Е о', а значит, и 1 Е о', т.е. о' С о' и о' С о'. Из соотношения 1 = у = у теперь заключаем, что о' = о' = о'. е. Равенство Парсеваля. Так принято называть соотношение (У,д) = (У,д), которое в развернутой форме означает, что (34) 1(х)д(х) йх = НОд(О <. (34') и" и Из (34), в частности, следует, что ~Лг ( г ) (г- у) ~~г-~~г (35) С геометрической точки зрения равенство (34) означает, что преобразование Фурье сохраняет скалярное произведение между функциями (векторами пространства о') и, значит, является изометрией пространства о. 685 з 3, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ (37) (38) (~ я д) = (2я)"7~~ д, (у д) = (2я) "'~г" яд (называемые иногда формулами Бореля), которые связывают операции свертки и умножения функций посредством преобразования Фурье.
Докажем зти формулы: М (7 *д)(С) = (Г яд)(х)е '(~~) г(х = (2я)гг/з г у (х — у)д(у) Ну е '~Е*~ дх = (2п) !з д(у)е '(г") у(х — у)е '(г~ ") йх йу = (2 .)аг'2 ( Яп Щп д(у)е '(~*~) у(и)е ц~") Ни ду = (2 )~1~ / д(у)е Ф(г 9) Г (С) ггу (2д ) 2У (С)д(С) Законность проведенного изменения порядка интегрирования не вызывает сомнений, если у,д Е Я. Формула (38) может быть получена аналогичной выкладкой, если воспользоваться формулой обращения (32). Впрочем, равенство (38) Равенством Парсеваля иногда называют также соотношение ,Я)д(()г(~ = у(х)д(х)г(х, (36) Ж" Ж которое получается из равенства (33), если положить там х = О. Основное равенство Парсеваяя (34) получается из соотношения (36), если в нем вместо д написать д и воспользоваться тем, что (д) = д (ибо д = д ид=д =д).
Г. Преобразование Фурье и свертка. Имеют место следующие важные соотношения: ГЛ. ХЧ111. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 686 У (2 )-н/2У -) У*д =(2 )"7'(У д). (37') (38') 4. Примеры приложений. Продемонстрируем теперь преобразование Фурье (и отчасти аппарат рядов Фурье) в работе. а. Волновое уравнение. Успешное использование преобразования Фурье в уравнениях математической физики связано (в математическом отношении) прежде всего с тем, что преобразование Фурье заменяет операцию дифференцирования алгебраической операцией умножения. Пусть, например, ищется функция и: К вЂ” > К, удовлетворяющая уравнению аеи(")(х) + а1и1" )(х) +...
+ а„и(х) = 7" (х), где ае,..., а„— постоянные коэффициенты, а 7" — известная функция. Применяя к обеим частям этого равенства преобразование Фурье (в предположения достаточной регулярности функций и и 7"), благодаря соотношению (28) получим алгебраическое уравнение (аеЯ) + а1(гС)~ ~ +... + а„)й(С) = 7(С) относительно б. Найдя из него й(С) = 7Ф, обратным преобразованием РЮ Фурье получаем и(х).
Применим эту идею к отысканию функции и = и(х, 1), удовлетворяющей в 1к х 2 одномерному волновому уравнению дэи з дэи — =а — (а) О) Д12 Дх2 и начальным условиям и(х,0) = 7(х), — (х,0) = д(х). можно вывести из уже доказанного соотношения (37), если вспомнить, что 7" =,1 = 7,,1 = 7", 7 = 7" н что йи = Н й, йи = Н * В. ь Замечание 6. Если в формулы (37), (38) подставить 1' и д вместо 7' и д и применить к обеим частям полученных равенств обратное преобразование Фурье, то придем к соотношениям 6 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 687 Здесь и в следующем примере мы не будем останавливаться на обосновании промежуточных выкладок, потому что, как правило, легче бывает найти нужную функцию и непосредственно проверить, что она решает поставленную задачу, чем обосновать и преодолеть все возникающие по дороге технические трудности.
Существенную роль в принципиальной борьбе с этими трудностями, кстати, играют обобщенные функции, о чем уже упоминалось. Итак, рассматривая 2 как параметр, сделаем преобразование Фурье по т обеих частей нашего уравнения. Тогда, считая возможным выносить дифференцирование по параметру 2 за знак интеграла, с одной стороны, и, пользуясь формулой (28), с другой стороны, получим откуда находим йЯ,2) = А(С) сов аС2+ В(О81паР1. В силу начальных данных й(с,0) = у(~) = А(с), й~~((,0) = (и~)((,0) = д(с) = аРВЯ. Таким образом, й(~, $) =,~(() сова(2+ — 81паР2 = дЫ) .
а~ = — Я)(е"~ + е "6 ) + — —, (е"~ — е "6 ). Домножая это равенство на е'*6 и интегрируя по ~, короче, взяв ~/2~г обратное преобразование Фурье и используя формулу (28), непосредственно получаем 1 1 и(х, 8) = -(7'(я — а1) + 7'(х + аЯ + — 1 (д(х — ат) + д(я + ат)) Йт. 2 2/ о ГЛ. ХНП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 688 Ъ.
Уравнение теплопроводности. Еще один злемент аппарата преобразований Фурье (а именно формулы (37'), (38')), оставшийся в тени при рассмотрении предыдущего примера, хорошо проявляется при отыскании функции и = и(х, 1), х Е К", 1 > О, удовлетворяющей во всем пространстве К" уравнению теплопроводности — = а 1хи (а > О) Дп д1 и начальному условию и(х, 0) = 7" (х). аг 82 Здесь, как всегда, Ь = +... + дх д* Выполнив преобразование Фурье по переменной х Е К", получим в силу (28) обыкновенное уравнение — ((,1) = а (1) (С1 +...
+ ~„)й((,1), из которого следует,что й(С,1) = с(С)е ' ~6~ ', где фя = Ц +... + С2. Учитывая, что й(С, О) = Я), находим й((,1) =.1(~) е а™Р~ Применяя обратное преобразование Фурье, с учетом соотношения (37') получаем и(х,1) = (2я) "1~ 7(у)Ее(у — х,1) Ну, где Ед(х, 1) — та функция, преобразованием Фурье которой по х полу- 2 21 чается функция е ' ~6~ '. Обратное преобразование Фурье по С функции е ' 6 ', в сущности, нам уже известно из примера 10.
Сделав очевидную замену переменной, найдем ЕО(х 1) = (2я)"7з ~, а~5) Полагая Е(х,1) = (2я) "7зЕе(х,1), находим уже знакомое нам (см. гл. Х'Л1, 8 4, пример 15) фундаментальное решение ~2 Е(х,1) = (2а~й~) ве 4а~с (1 > О) 13. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 889 уравнения теплопроводности и формулу и(х, 2) = (/ я Е)(х, 2) для решения, удовлетворяющего начальному условию и(х,0) = /(х). с. Формула Пуассона. Так называется следующее соотношение: ~/2я ~~> у(2ггп) = ~~> ~р(п) (39) между функцией р: К -+ С (пусть гр Е Я) и ее преобразованием Фу- рье гр. Формула (39) получается при х = 0 из равенства ~/2я ,'г 9г(х + 2 гп) = ) ~гр(п)ег"*, (40) 2я 2я сь(~):= — )( 1'(х)е г~*дх = ~~) — / гр(х+2ггп)е ™хг1х = ~/2я „~/2з О О 2~г(п->Ц 00 — гр(х)е ™*дх = — гр(х)е ' *Их =: ~р(й).
Но г" — гладкая 2и-периодическая функция, поэтому ее ряд Фурье сходится к ней в любой точке х е К. Значит, в любой точке х Е К справедливо соотношение СО е'"* 1 ) гр(х + 22гп) = Г(х) = ~> с„(Г') — = — ~~> гр(п)е™ которое мы и докажем, считая, что гр — быстро убывающая функция. < Поскольку 92, гр Б Я, ряды в обеих частях равенства (40) сходятся абсолютно (поэтому их можно сумммировать как угодно) и равномерно по х на всей прямой К. Далее, поскольку производные быстро убывающей функции сами являются функциями класса Я, то можно заключить, что функция г"(х) = 2; гр(х + 2ггп) принадлежит классу Сг )(К,С).
Функция у, очевидно, 2и-периодическая. Пусть (сь(~)) — ее коэффициенты Фурье по ортонормированной системе (-4-е'"*; А е У (. Тогда ~/2т ГЛ. ХУП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 090 Замечание Т. Как видно из доказательства, соотношения (39), (40) справедливы далеко не только для функции класса о. Но если все же 1о Е з, то равенство (40) можно сколько угодно раз дифференцировать почленно по аргументу т, получая как следствие новые соотношения между ~р, <р', ... и 9З.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
