1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 117
Текст из файла (страница 117)
Этот сходится к 7" в среднем на отрезке [ — к, к), то он является рядом Фурье усункции г'; Ь) если 4ункции г" и д имеют один и тот же ряд Фурье, то они совпадают почти всюду на отрезке [ — гг, я) т. е. 7" = д в гс2[ — я, к). ГЛ. ХУП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ контраст с только что доказанной теоремой единственности рядов Фурье не следует слишком абсолютизировать, поскольку всякая теорема единственности относительна в том смысле, что она относится к определенному пространству и определенному виду сходимости. Например, в пространстве аналитических функций (т. е. функций, допускающих локально представление в виде поточечно сходящегося к ним степенного ряда 2' ав(г — го)") две различные функции в любой и=о точке имеют не совпадающие тейлоровские разложения.
Если, в свою очередь, при изучении тригонометрических рядов отказаться от пространства Ез[ — н, н) и рассматривать поточечную сходимость тригонометрического ряда, то, как уже отмечаюсь (см. стр. 520), можно построить тригонометрический ряд, не все коэффициенты которого равны нулю и который тем не менее почти всюду сходится к нулю. Но утверждению 3 такой нуль-ряд, конечно, не сходится к нулю в смысле среднего квадратичного уклонения. В заключение в качестве иллюстрации использования свойств тригонометрических рядов Фурье рассмотрим следующий принадлежащий ГурвицуП вывод классического изопериметрического неравенства в двумерном случае.
Чтобы избавиться от громоздких выражений и случайных технических трудностей, мы будем пользоваться комплексной записью. Пример Т. Между объемом к' области в евклидовом пространстве Е", и > 2 и (и — 1)-мерной площадью Е, ограничивающей область гиперповерхности, имеется соотношение и"н„$" ' < Р™, (40) называемое изоперилетрическим неравенсгпеолц здесь е„— объем единичного и-мерного шара в Е".
Равенство в изопериметрическом неравенстве (40) имеет место только для шара. Название «изопериметрическое» связано с классической геометрической задачей отыскания среди замкнутых плоских кривых данной длины Е той кривой, которая ограничивает наибольшую площадь Я. В этом случае неравенство (40) означает, что 4но ( Ь~.
(41) ПА. Гурвиц (1859 — 1919) — немецкий математик, ученик Ф. Клейна. 92. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ 649 Именно зто неравенство мы теперь и докажем, считая, что рассматриваемая кривая является гладкой и задана параметрически в виде х = гр(л), у = ф(л), где в †натуральн параметр (длина) вдоль кривой, а функции гд и г)г принадлежат классу Сгг) (О, Ь].
Условие замкнутости кривой означает, что р(0) = р(5), ф(0) = ф(Ь). Перейдем от л к параметру 1 = 2я~ — я, изменяющемуся от — я до л, и будем считать, что наша кривая задана в параметрическом виде х = х(г), у=у(~), — я<~<я, (42) причем х( — я) = х(я), у( — я) = у(гг). (43) Соотношения (42) запишем в виде одной комплекснозначной функции гь я(г), — я<1<я, (42') где х(й) = х(й) + гу(Х), и ввиду (43) г( — я) = х(я). Заметим,что ~2 ~г (~)~ = (х (г)) + (д (г)) = ф и, значит, при нашем выборе параметра ~ ~2 4гг9 (44) Я = — ( (ху' — ух')(~) гИ = —, г' х'(г)Е(г) М. 2,/ 2г',г (45) Напишем теперь разложение функции (42') в ряд Фурье х(г) = ~сьег Учитывая далее, что Ех' = (х — гу)(х'+гу') = (хх'+уу')+г'(ху' — х'у), и пользуясь равенствами (43), запишем в комплексном виде формулу площади области, ограниченной замкнутой кривой (42): ГЛ.
ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 550 тогда я (1) г 11гс~е Равенства (44) и (45) означают, в частности, что ~2 2 2 4з' — (я',я) = — У г'(1)Е(1) 1г = — о. 2я ' 2~г г' ~г В терминах коэффициентов Фурье, как следует из равенств (37), (39), полученные соотношения приобретают вид 4ггз ~~;. ~~,с, ~г о = гг ,'> Йсг,с~. Таким образом, ХР— 4яЯ = 4я~ ~~г (йз — Щс~~з. Правая часть этого равенства, очевидно, неотрицательна и обращается в нуль только при условии, что ся = О, когда 1г Е У и гг ~ О, 1. Итак, неравенство (41) доказано, и заодно получено уравнение з(1) = се+ сге", — я<у<я, той кривой, для которой оно превращается в равенство.
Это комплексный вид параметрического уравнения окружности с центром в точке сб комплексной плоскости и радиуса ~сг~. э 2. тРиГОнОметРический РЯД ФУРье 651 Задачи и упражнения 1. а) Покажите, что ИП ПХ 1à — Х при 0<х<2гг, п 2 п=1 и найдите сумму этого ряда в остальных точках х Е К. Используя предыдущее разложение и пользуясь правилами действий с тригонометрическими рядами Фурье, покажите теперь,что: Ь) 2 — г — — т — 2пРиО<х<Я.. 1=1 с) 2. — (Š— ~- — х пРи 0 < х < гг.
Кп1 11п-1 г1) 2, "— '„— гйпох = ~2 при [х] < гг. п=г е) хэ = ~~ + 4 2 ь:+- совах при [х] < гг. п=1 ' г пл~ .Р.юг 7 л (2Ь 1)Э п=1 Ь) Нарисуйте графики сумм встретившихся здесь тригонометрических рядов над всей осью К. Используя полученные результаты, найдите суммы следующих числовых рядов: ( 1)п лп 1 пл ( 1)п Е,„~, Ер Е 2. Покажите, что: а) если у: [ — я,я] -+ С нечетная (четная) функция, то ее коэффициенты Фурье имеют следующую особенность: аь(г) = 0 (61(у) = 0) при й = О, 1, 2,...; Ь) если г": К -+ С имеет период 2я/т, то ее коэффициенты Фурье сь(~) могут быть отличны от нуля, лишь когда 1г кратно т; с) если у: [ — я,я] -+ К вещественноэначна, то при любом й ~ 1ч сь(у) = = с ь(у); 11) [аь(~)[ < 2 япр ]Дх)], [Ьь(~)] < 2 япр [Дх)[, [сь(1)] < япр ]Дх)[.
ф<л ~л)<л (л)<л 3. а) Покажите, что каждая из систем функций (сояях;я = 0,1,...), (Ип йх; й е И) полна в пространстве 1<э[а, а+ я] при любом значении а Е К. Ь) Разложите функцию у(х) = х в промежутке [О, я] по каждой из этих двух систем. с) Нарисуйте графики сумм найденных рядов над всей числовой осью. ГЛ. ХЧП1.
РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 662 сов х сов пх 1+ — +... + +... = е"'*сов(япх), 1! пг япх яп пх 1г ''' и) — +... + +... = е"'* яп(яп х); ~2 4 3 5 е) использУЯ Разложениасозг = 1 зт+ 4т вш» = з зт+ 61 проверьте,что „сов(2п+ 1)х (2п+ 1)! „в1п(2п + 1)х (2п+ 1)! „сов 2пх (2п)! „яп 2пх (2п)! = зш(совх) сЬ(япх), = сов(соз х) вЬ(вш х), = соз(созх) сЬ(япх), = сов(сов х) вЬ(в1п х) . г1) Укажите тригонометрический ряд Фурье функции у (х) = ]х] на отрезке [ — я, т] и выясните, сходится ли он равномерно к втой функции на всем отрезке [ — я, я]. 4.
Ряд Фурье 2 сь(У)е'"* функции у можно рассматривать как специалью / — 1 -'гсю ный случай степенного ряда 2.' сох~ [ = ) сьз" + 2 сьз~, в котором в про— 00 — СО о бегает единичную окружность комплексной плоскости (т. е. х = ен), Покажите, что если коэффициенты Фурье сь((') функции у: [ — я, гг] -+ С убывают так быстро, что 1пп ]се(1)['г~ = с > 1, а 1пп ]се(у)]гг~ = се < 1, ь-г — сс гг — г-гсо то: а) функцию у можно рассматривать как след на единичной окружности некоторой функции, представимой в кольце с < [х[ < с~ рядом 2 сьх~; Ь) при х = х + 1у и 1п —, < у < 1п —, ряд 2', сь(у)е"' сходится абсолютно (и, в частности, его сумма не зависит от порядка суммирования членов); с) в любой полосе комплексной плоскости, задаваемой условиями а < < Ьпз < 6, где 1п,~ < и < 6 < 1п,~, ряд 2, сь(г')е'"' сходится абсолютно и равномерно; гз г)) использУЯ Разложение е' = 1 + П + 2г +...
и фоРмУлУ ЭйлеРа е'* = = совх+ г'япх, покажите, что 12. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ 653 5. Проверьте, что: а) системы ~1,соей ~~х,в1пЬ ~~х; Ь Е М~, 1(е1"~ *;Ь е о~ ортогональны и полны в пространстве Тсз((а, а + Т~, С) при любом а е И; Ь) коэффициенты Фурье аь(1), Ь|(~), сь(~) Т-периодической функции ~ по указанным системам не зависят от того, раскладывается ли функция в ряд Фурье на отрезке ~ — 2, ~~ или на любом ином отрезке вида [а, а+ Т) т т1 с) если сь(1) и сь(д) — коэффициенты Фурье Т-периодических функций у и д, то а-~-Т 1 — / у(х)д(х)1(х = ~~~ сь(1)сь(д); а с1) коэффициенты Фурье сь(Ь) нормированной множителем Т «свертки> 1 Т-периодических гладких функций у и д и коэффициенты Фурье сь(у), сь(д) самих функций у и д связаны соотношением сь(Ь) = сь®сь(д), Ь е Ж.
6. Докажите, что если а несоизмеримо с х, то: Ф 1 а) ]пп 1 ~ е1ь1х~.пп) )' с1ы Щ, 2х Ь) для любой непрерывной 2л.-периодической функции у: И -+ С 1пп — ~ у(х + па) = — / у ($) йй 1 1 1Ч- Х 2я,/ я=1 7. Докажите следующие утверждения: а) Если функция 1': И -+ С абсолютно интегрируема на И, то 1(х)е1 * с(х Ь) Если функции у: И вЂ” 1 С и д: К -+ С абсолютно интегрируемы на К и, кроме того, д по модулю ограничена на К, то у(х+1)дЯе™й =: ~рх(х) =1 0 на И при Л -+ оо. ГЛ. ХНП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 654 с) Если г": К вЂ” > С вЂ” 2з-периодическая абсолютно интегрируемая на периоде функция, то остаток Б„(х) — у(х) ее тригонометрического ряда Фурье может быть представлен в виде Б„(х) — ((х) = — (С!г |)(х, С)Р„(С) ССС, о где Є— и-е ядро Дирихле, а (газу)(х, С) = 1(х + С) — 21(х) + 1(х — С).
г1) Для любого б Е]0, я[ полученную выше формулу остатка можно привести к виду 0 Б„(х) — ~(х) = — / (г.'гз()(х, С) С(С+ о(1), о где о(1) стремится к нулю при и -+ оо, причем равномерно на каждом отрезке [а, б], на котором функция г' ограничена. е) Если функция г": [ — я, я] — > С удовлетворяет на отрезке [ — гг, г] условию Гельдера ]у(хг) — 1(хг)] ( М]хг — хо] (где М и о — положительные числа) и, кроме того, у ( — я) = у (я), то ряд Фурье функции г' сходится к ней равномерно на всем отрезке. 8. а) Докажите, что если у: И -+ К вЂ” 2я-периодическая функция, имеющая кусочно гладкую производную уг 1 порядка т (т Е Ы), то у можно представить в виде С(х) = — "+ — ' 1В «-х)УС-1«)СС, 2 гг„С вЂ” л „.л (.~= г -о' — ' ~ .,н.
о=1 Ь) Пользуясь указанным в задаче 1 разложением в ряд Фурье функции ~ — ~-*- на промежутке [0,2я], докажите, что Вг(и) — многочлен степени 1, а В (и) — многочлен степени т на отрезке [О, 2гг]. Эти многочлены называются многочленами Бернулли. с) Проверьте, что при любом т б И ] В„,(и) г(и = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
