1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 115
Текст из файла (страница 115)
если если В частности, при х = — отсюда следует, что Поскольку 2я1п ~12 2 при 2 — ~ +О, то, благодаря условиям Дини, на основании леммы Римана можно утверждать, что при и — > оо последний интеграл стремится к нулю. > 12. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ б33 1 (-ЦГГ зшпа а„(Г) = — ~ созахсозпхдх = 7Г ' а2 п2' 1 Г 6„(Г) = — ( созахзшпхг1х = О. По теореме 3 в любой точке х Е (-7Г, 7Г] имеет место равенство 2азшяа Г 1 ( — 1)" в=1 При х = 7Г отсюда получаем, что 1 2а~ 1 сад яа — — = — 7 7га я х а2 — П2 77=1 (29) Если ~а] < ао < 1, то ~ — 2 — 2] < — 2 — ~ — ~, поэтому стоящий в правой о части равенства (29) ряд сходится равномерно по а на любом отрезке ~а] < ао < 1.
Значит, законно его почленное интегрирование, т.е. х х 1п = ~~> 1п]а — и ] 7Га о о Пример 6. Пусть а б К и ]а] < 1. Рассмотрим 27Г-периодическую функцию Г(х), заданную на отрезке ( — 7г, 7г] формулой Г(х) = соз ах. По формулам (4), (5) найдем ее коэффициенты Фурье: ГЛ. ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 034 что дает и окончательно в1пих / х =П~1 ~ при~х~<1. их ~, п2,~ (ЗО) Мы доказали, таким образом, соотношение (ЗО), на которое в 83 главы ХЪ'11 ссылались при выводе формулы дополнения для функции Г(х) Эйлера. д. Теорема сЬейера1). Рассмотрим теперь последовательность функций 50(х) + ...
+ Я„(х) он(х):= п + 1 1 о„(х) = — ~,5(х — 1)У;,(1) с11, 2я „/ где га (1) = (170 (1) + ° ° ° + он (1) ). 1 Вспоминая явный вид (17) ядра Дирихле и учитывая, что в1п ~й + — ~ 1 = — ~в(п — 1/ ~> (сов й1 — соя(А' + 1)1) 2,/ 2 ~, 2,l а=о в=о я;П2 н4-11 2 е1п -1 2 ПЛ, Фейер (1880 — 1980) — известный венгерский математик. являющихся средними арифметическими соответствующих частичных сумм об(х),..., о„(х) тригонометрического ряда Фурье (6) 2я-периодической функции 1': Й -+ С. На основе интегрального представления (20) частичной суммы ряда Фурье имеем б35 12. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ находим яп — 2 2 а+1 .Р' (2) = 2 21 (н + 1) в!п ~2 Функция с;, называется ядром Фейера, точнее, и-м ядром Фейера.
Учитывая исходное определение (16) ядра Днрихле Р„, можно заключить, что ядро Фейера является гладкой 2х-периодической функцией значение которой равно (и + 1) там, где знаменатель последней дроби обращается в нуль. Свойства ядер Фейера и Днрихле во многом схожи, но в отличие от ядер Дирихле ядра Фейера еще и неотрицательны, позтому имеет место следующая Лемма 2. Последовательность у1унниий 21 .р„(х), если ~х~ < х, О, если )х! > гг является 6-образной на К.
м Неотрицательность сх„(х)ясна. Равенство (19) позволяет заключить, что | 1 Г Гл„(х) г(х = Гл„(х) г(х = — / У'„(х) дх а х ,'1 Щх)дх = 1. 2гг(п + 1) Наконец, при любом б > Π— б -~-оо О < ся (х)дх = Ь„(х)г(х = Ь„(х) ах < -00 б б < — О 2х(и + 1),Г гйп2 гх ГЛ. ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 636 Теорема 4 (Фейер).
Пусть 1: К вЂ” 1 С вЂ” 2я-периодическая абсолютно интегрируемая на отрезке [ — к,к] функция. Тогда, а) если на множестве Е С К функция 1' равномерно непрерывна, то о„(х) =з 1(х) на Е при и -+ оо; Ь) если 1 б С(В,С), то оп(х) =Ф 1(х) на К пРи и — 1 со; с) если 1 непрерывна в точке х Е К, то о„(х) -1 1'(х) при и -+ оо. ~ Утверждения Ь) и с) являются специальными случаями утверждения а). Само же утверждение а) является частным случаем общего утверждения 5 из 6 4 гл. ХЪ'П о сходимости свертки, поскольку 2,/ 1 Следствие 1 (теорема Вейерштрасса об аппроксимации тригонометрическими многочленами).
Если функция 1: [ — к, к] — + С непрерывна на отрезке [ — я,я] и Г ( — к) = 1'(к), то зта функция может быть сколь угодно точно равномерно на отрезке [ — к,к] аппроксимирована тригонометрическими многочяенами. ~ Продолжая 1' 2к-периодически, получим непрерывную периодическую на Ж функцию, к которой по теореме Фейера равномерно сходятся тригонометрические многочлены о„(х). ~ Следствие 2.
Если функция г'. непрерывна в точке х, то ее ряд Фурье либо вовсе расходится в этой точке, либо сходится к 1(х). < Формально в проверке нуждается только случай сходимости. Если последовательность Я„(х) при и -+ оо имеет предел, то тот же предел д ( ~ = ага+'+8"ж в р Фейера оп(х) -+ 1(х) при и -+ оо, значит, и Я„(х) -+ 1(х) при и -+ оо, если вообще предел о„(х) при и — + оо существует. > Замечание 5. Отметим, что ряд Фурье непрерывной функции и в самом деле может в некоторых точках расходиться.
12. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ 637 3. Гладкость функции и скорость убывания коэффициентов Фурье а. Оценка коэффициентов Фурье гладкой функции. Начнем с простой, но важной и полезной леммы. ,'> сь(~')ег я может быть получен формальным дифференцированием ряда Фурье сь(г)е' * самой функции, т. е. сь(У') = йсь(1), к Е Ж. (31) м Исходя из определения коэффициентов Фурье (13), интегрированием по частям находим 1 сь(~ ) = — /,1'(х)е ' *дх = = — 1(х)е ' * + — ~ 1(х)е ' ~г1х = 1ксьЦ), 2к 2к,г поскольку 1(к)е гу — 1( — я)егьа = О. Ь Утверждение 1 (о связи гладкости функции и скорости убывания ее коэффициентов Фурье). Пусть 1" е С( ~)([ — к,к],С) и 1И)( — к) = = ~П)(к), г' = О, 1,..., т — 1.
Если функция г' имеет на отрезке [ — к, к] кусочно непрерывную производную г" г ) порядка т, то сь(~~ )) = (гй) сей, й Е Ж, (32) Лемма 3 (о дифференцировании ряда Фурье). Если непрерывная функциями Е С([ — к,к],С), принимающая на концах отрезка [ — к,к] равные значения ® — к) = г'(к)), кусочно непрерывно дифференцируема на [ — к,к], то ряд Фурье ее производной ГЛ. ХУП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 838 )сь(~)( = — = о ~ — ) при Й -+ оо, Й Е л, (33) 7ь ~ц- ~й-) пРичем 2 гь~ < оо.
< Соотношение (32) получается в результате т-кратного использования равенства (31) сь(~~ 1) = (г(с)сь(~~ 1)) =... = (гй)""сь(~). Полагая уь = ~сь(у('"))~, с учетом неравенства Бесселя из (32) получаем соотношение (33). > Замечание 6. В доказанном утверждении, как и в лемме 3, вместо условий ~Н)( — к) = у"В)(к) можно было бы считать, что у является заданной на всей прямой 2х-периодической функцией. ~Ь„(У)1= — ', ЙЕ1Ч, )аь(К)! = —, (33') где 2 о~ ~< оси 2,' ф~ < оо, причем можно считать сгь =((3ь = 1ь+у ь. Ь=1 Ь=1 Ь. Гладкость функции и скорость сходимости ее ряда Фу- рье Теорема 5.
Если функция 1'( ( — к,к) — > С такоеа, что Замечание Ч. Если тригонометрический ряд Фурье записывать в форме (б), а не в комплексной форме (б'), то вместо простых соотношений (32) пришлось бы писать заметно более громоздкие равенства, смысл которых, однако, тот же: при указанных условиях ряд Фурье можно дифференцировать почленно (в какой бы из форм (6) или (6') он ни был задан). Что же касается оценок коэффициентов Фурье аьЦ), ЬьЦ) ряда (6), то, поскольку аь(~) = сь(~) + с ь(~), Ь|(~) = = г(сь(1) — с ь(~)) (см. формулы (12)), из (33) следует, что если функция 1 удовлетворяет указанным в утверждении условиям, то 22. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ б39 а) / е С~ ') [ — к, к], т Е 1ч, Ь) /В)( — к) = /В)(к), г' = О, 1,..., т — 1, с) / имеегп на [ — к,к] кусочно непрерывную производную /гг"1 порядка т > 1, то ряд Фурье функций / сходится к / абсолютно и равномерно на отрезке [ — к,к], причем отклонение и-й частичной суммы Я„(х) ряда Фурье огп /(х) на всем отрезке [ — к,к] имеет оценку Пггг — 11'2 ' где (е„) — стремягцаяся к нулю последовательность положительных чисел.
~ Частичную сумму (9) ряда Фурье запишем в компактной форме (9') Я„(х) = ~ сь(/)е' *. В соответствии с условиями на функцию /, согласно утверждению 1, имеем [сь(/)[ = уь/[й[, причем ~; уь/[й[ < сю: поскольку О < < .Уь/[й)'" < ~~(У~ь + 1/й~'") и гп > 1, имеем ~ Уь/[й[™ < оо. Значит, последовательность о'„(х) на отрезке [ — к,1г] равномерно сходится (в силу мажорантного признака Вейерштрасса для рядов или критерия Коши для последовательностей). В силу теоремы 3 предел о(х) последовательности о'„(х) совпадает с /(х), поскольку функция / удовлетворяет условиям Дини в каждой точке отрезка [ — 1г, к] (см.
пример 3) и, ввиду /( — к) = /(я), функция / периодически продолжается на гк с сохранением условий Дини в любой точке х б Ж. Теперь, используя соотношение (31), имеем возможность приступить к оценке: [/(х) — о„(х)[ = [о(х) — о„(х)[ = ~) сьЦ)е™ < ~Ь=о~-1 ГЛ. Х'»П1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 640 < ~» )сь(/)( = ~» .уь/)й)™ < ~ь=»»-~-» ыь= +» < ~ у„' Первый сомножитель в правой части неравенства Коши — Буняковского стремится к нулю при и — » оо, поскольку 2 ' у~ь < оо. Далее (см. рис. 104) /й™ ( (»1я 1 1 / я2тп 2п» 1 пзт — 1 ' ь=»»-»1 Таким образом, получается то, что и утверждает теорема 5. ь Рнс. 104.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
