1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 113
Текст из файла (страница 113)
г ОЭ. Н. Лагерр (1834 — 1886) — французский математик. 2 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 619 11 а) В теории вероятностей и теории функций встречается следующая систаема функций Радемахерат) Ц„(х) = (е(2"х); и = О, 1,2,... ), где 12(1) = = е8п(еш2к(). Проверьте, что это ортонормированная система на отрезке [О, 1]. Ь) Систаема функций Хаара 21 (Х„д(х) ), где и = О, 1, 2,..., а к = 1, 2, 22,... определяется соотношениями 21 — 2 21-1 1, если 2,хт < х < 2 2хт, Х д(х) = 21-1 22 — 1, если 2 хт <х< 0 в остальных точках [0,1].
Проверьте ортогональность системы Хаара на отрезке [О, 1]. 12. а) Покажите, что любое и-мерное векторное пространство со скалярным произведением изометрически изоморфно арифметическому евклидову пространству К" той же размерности. Ь) Напомним,что метрическое пространство называется сепарабельным, если в нем имеется счетное всюду плотное подмножество. Докажите, что если линейное пространство со скалярным произведением сепарабельно, как метрическое пространство с индуцированной этим скалярным произведением метрикой, то в нем есть счетный ортонормированный базис. с) Пусть Х вЂ” сепарабельное гильбертово пространство (т.е. Х вЂ сепарабельное и полное метрическое пространство с метрикой, индуцированной скалярным произведением в Х). Взяв в Х ортонормированный базис (ей 1 Б И), построим отображение Х Э х е+ (с1, с2,...
), где сс = (х,ет) — коэффициенты Фурье разложения вектора х по базису (ет), Покажите, что это отображение является биективным, линейным и изометричным отображением Х на пространство (2, рассмотренное в примере 14. д) Используя рис. 103, укажите, в чем состоит идея построения примера 14, и объясните, почему она связана именно с бесконечномерностью рассматриваемого пространства. е) Объясните, как построить аналогичный пример в пространстве функций С[а, е] с 'тс2[а, 8].
11Г. А. Радемахер (род. 1892) — немецкий (с 1936 г, — американский) математик. ЮА. Хаар (1885 — 19ЗЗ) — венгерский математик. ГЛ. Х'л'П1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 620 3 2. Тригонометрический ряд сФурье 1. Основные виды сходимости классического ряда 1Фурье а.
Тригонометрический ряди тригонометрический ряд сФурье. Классический тригонометрический ряд — это ряд видаП ао — + ~> аьсоойх+Ььо1пйх, а=1 получаемый на базе тригонометрической системы (1, соо йх, яп йх; й Е Е Ь(1. Коэффициенты (ао,ам Ьь; й Е И) здесь вещественные или ком- плексные числа. Частичные суммы тригонометрического ряда (1) суть триеоно нстричеснис,нноеочлсны Т„,(х) = — + ~~> аьсоойх+ Ььяпйх ао 2 а=1 (2) ао ,1(х) = — + ~~1 а1, соо йх + Ьь яп йх 2 а=1 (3) равномерно сходящегося к ней тригонометрического ряда.
Тогда коэффициенты разложения (3) легко и вполне однозначно находятся. Домножзя в этом случае равенство (3) последовательно на каждую из функций системы (1, сов йх, яп йх; й б 1Ч), пользуясь возможностью 0 Запись свободного члена в виде оо/2, удобная для рядов Фурье, здесь не обязательна. соответствующей степени п. Если ряд (1) сходится поточечно на Я„то его сумма 1 (х), очевидно, 2я-периодическая функция на К. Она вполне определяется заданием ее ограничения на любой отрезок длины 2я.
Обратно, если дана 2л-периодическая функция на К (колебания, сигнал и т. п.) и мы желаем разложить ее в сумму некоторых канонических периодических функций, то для этой цели первыми претендентами служат простейшие 2я-периодические функции (1,соойх,япйх;й Е И), представляющие простые гармонические колебания целых частот. Допустим, нам удалось представить непрерывную функцию в виде суммы З 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ 621 почленно интегрировать получаемые при этом равномерно сходящиеся ряды и учитывая соотношения 1 сЬ'=2к, Г созтхсозпхдх = з1птхз1ппхдх = О при т ~ п, т,п Е 14, находим коэффициенты 1 аь = аь(1') = — / ~(х) созйхдх, 1 Р 5ь = бь()') = — / )'[х) яп ах сЬ, (4) к = О, 1,..., (5) к=1,2,...
Определение 1. Если для функции у имеют смысл интегралы (4), (5), то сопоставляемый ~ тригонометрический ряд + ~~ аьЦ) соя кх+ бь(~) япкх оУ) 2 ь=1 (б) называется тригонометрическим рядом Фурье функции ~. Поскольку других рядов Фурье, кроме тригонометрических, в этом параграфе не будет, мы для краткости позволим себе порой опускать разложения (3) функции 1 в тригонометрический ряд. Мы пришли к тем же коэффициентам, какие бы мы имели, рассматривая (3) как разложение Фурье вектора ~ е Яз[ — я, я] по ортогональной системе 11,соя кх,з1пкх; к Е 1Ч1. Это не удивительно, поскольку из равномерной сходимости ряда (3), конечно, вытекает и его сходимость в среднем на отрезке [ — я, я], а тогда коэффициентами ряда (3) должны быть коэффициенты Фурье функции у по рассматриваемой ортогональной системе (см.
З 1). ГЛ. ХУП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 622 слово «тригонометрический» и будем говорить просто «ряд Фурье функции 1». В основном мы будем иметь дело с функциями класса Я.([ — »г, «г], С) или,несколько шире, с функциями, квадрат модуля которых интегрируем (хотя бы в несобственном смысле) на промежутке ] — я,«г[. Сохраним прежний символ )с2[ — »г, я] для обозначения линейного пространства таких функций со стандартным скалярным произведением в нем (1 9) = »'9«гх. (7) Неравенство Бесселя »2 )ж)г))»)ь )г)) < — /)г) ) )«*, )8) я=1 справедливое для любой функции Г' Е )с2([ — »г,я],С), показывает, что далеко не каждый тригонометрический ряд (1) может быть рядом Фу- рье некоторой функции 7' е гс2[ — я, гг]. Пример 1. Тригонометрический ряд »йп г«х %' Е Итак, изучаться здесь будут не произвольные тригонометрические ряды (1), а ряды Фурье (6) функций класса )с2[ — я, «г], а также класса абсолютно интегрируемых на ] — «г, я[ функций.
Ь. Сходимость в среднем тригонометрического ряда Фурье. Пусть 5„(х) = — + ~~» аЯ) сов кх+ Ьь(1) Я1п1сх еУ) 2 )«=1 (9) как нам уже известно (см. пример 7 из 2 2 гл. ХЧ1), сходится на К, но он не является рядом Фурье никакой функции 7' Е гс2[ — я, »г], так как ряд 2 ~-)-) расходится.
»» ~д) 12. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ 623 — н-я частичная сумма ряда Фурье функции |' Е гс2[ — к, к]. Отклоне- ние о'„от 7" можно измерять как в естественной метрике пространства гс2[ — к, к], индуцированной скалярным произведением (7), т. е. в смысле среднего квадратичного уклонения У вЂ” ~ [[= (10) о'„от 7" на промежутке [ — к, к], так и в смысле поточечной сходимости на этом промежутке.
Первый из указанных видов сходимости для произвольного ряда Фурье был рассмотрен в 2 1. Конкретизация полученных там результатов применительно к тригонометрическому ряду Фурье связана прежде всего с тем, что тригонометрическая система (1,сов кх, в1пйх; й Е 1ч) полна в 17.2[ — к, к] (это уже отмечалось в 2 1 и будет независимо доказано в п. 4 настоящего параграфа).
Значит, основная теорема из 21 в нашем случае позволяет утверждать, что справедлива следующая Теорема 1 (о сходимости в среднем тригонометрического ряда Фурье). Ряд Фурье (6) любой функции 7' Е гс2([ — к,к],С) сходигася к ней в среднем (10), т. е. |(х) = + ~~г аьЦ) совlсх+ Ьь® в1пкх, ава нг 2 Ь=1 и имеет место равенство Парсеваля л [а У)[' — [|[~(х) дх = + ~ [аь(|)[ + [Ьь(|)[ . (11) я=1 Мы часто будем использовать более компактную комплексную форму записи тригонометрических полиномов и тригонометрических рядов, основанную на формулах Эйлера есл = сов х+гв1пх, сов х = 2(е'*+ 1 1х + е **), в1пх = —.
(еги — е '*). Используя их, частичную сумму (9) ряда Фурье можно записать в виде о'„(Х) = ~~ СЬЕ1 *, Ь= — в (9') ГЛ. ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 624 а сам ряд Фурье (6) — в виде ~) сьег *, (6') где 2(аь — гЬь), если й >О, (12) 1 2ае~ если к =О, 2(а ь+гЬ ь), если Гг ( О, т. е. 1 Г сь = сь(Г) = — / Г(х)е ' *ггх, Й е К, 2х „I (13) и, значит, сь — попросту коэффициенты Фурье функции Г по системе (е'"*;Й Е У). Обратим внимание на то, что суммирование ряда Фурье (6') понимается в смысле сходимости сумм (9').
Теорема 1 в комплексной записи означает, что для любой функции Г Е %2([ — гг,гг],С) Г(х) = ~) сь(Г)е — [[Г)) = ~> [сь(Г)! . (14) с. Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье. Теорема 1 полностью решает вопрос о сходимости ряда Фурье (6) в среднем, т. е.
по норме пространства гс2[ — гг,.г[. Вся дальнейшая часть этого параграфа в основном будет посвящена изучению условий и характера поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье. Мы рассмотрим только наиболее простые аспекты этого вопроса. Исследование поточечной сходимости тригонометрического ряда, как правило, дело настолько тонкое, что, несмотря на традиционное центральное место, которое после Эйлера, Фурье и Римана в теории функций занимали ряды Фурье, до сих пор нет внутреннего описания класса тех 12.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ 825 функций, которые представляются сходящимся к ним в каждой точке тригонометрическим рядом (ироблелга Римана). До недавнего времени не было даже известно, обязан ли ряд Фурье непрерывной функции сходиться к ней почти всюду (то, что сходимости всюду при этом может не быть, уже знали).
В свое время А. Н. Колмогоровг) даже построил пример всюду расходящегося ряда Фурье функции Г Н Г [ — и, я] (где Г[ — я,4г] — пространство функций, интегрируемых по Лебегу на промежутке [ — х, и], получаемое метрическим пополнением пространства )с[ — я, и]), а Д. Е. Меньшовз) построил тригонометрический ряд (1), содержащий отличные от нуля коэффициенты и сходящийся к нулю почти всюду (нуль-рлд Меньгнова). Поставленный Н. Н. Лузинымз) вопрос (проблема Лузина) о том, обязан ли ряд Фурье любой функции ,Г Н 1 2[ — я, я] (где 1 2 [ — и, я] — метрическое пополнение пространства )с2[ — и, и]) сходиться почти всюду, был решен, причем утвердительно, только в 1966 г. Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
