1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 109
Текст из файла (страница 109)
Следующее геометрическое наблюдение является ключевым в этом разделе. Лемма (о перпендикуляре). Пусть (1ь) — конечная или счетная система ненулевых взаимно ортогональных векторов пространства Х и пусть ряд Фурье вектора х Е Х по системе (1ь) сходится к некоторому вектору х1 Е Х. Тогда в представлении х = х1+ Ь вектор Ь ортогонален хб более того, Ь ортогонален всему линейному пространству, порожденному системой векторов 11ь), а также его замыканию в Х. < Учитывая свойства скалярного произведения, достаточно проверить, что (Ь, ( ) = 0 для любого вектора 1 Е (1ь).
Нам дано, что Ь = х — х1 = х — ~~> (х,1ь) (1ь Ч Значит, 5 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 599 Неравенство Бесселя Учитывая ортогональность векторов х~ и 6 в разложении х = х~+ Ь, по теореме Пифагора находим, что 9х()~ = '9х~)(~+ )(6)(~ ) !)х~((~ (гипотенуза не меньше катета). Это соотношение, записанное в терминах коэффициентов Фурье, называется неравенством Бесселя. Выпишем его.
По той же теореме Пифагора г ~~~,~~г 1; (х ~ь) (1ь 1ь) (13) Значит, "~, ~ 1(~~ й)~ < ~~ иг (14) Это и есть неравенсп1во Бесселя. Особенно просто оно выглядит для ортонормированной системы векторов (еь): ~~) )(х,еь)) < 9х(( . (15) В терминах самих коэффициентов Фурье аь общее неравенство Бесселя (14) запишется в виде 'С )аь(гЩ)г < 9х!)г, что в случае ортонорь мированной системы сводится к 2 (аь~г < 5х5 . ь Мы поставили знак модуля у коэффициента Фурье, допуская комплексные пространства Х. В этом случае коэффициент Фурье может принимать комплексные значения.
Отметим, что при выводе неравенства Бесселя мы воспользовались предположением о существовании вектора х~ и равенством (13). Но если система 14) конечна, то нет сомнений в существовании вектора х~ (т. е. в сходимости ряда Фурье в Х). Значит, неравенство (14) справедливо для любой конечной подсистемы (1ь), а тогда и для всей системы тоже. Геометрически лемма о перпендикуляре очень прозрачна, и мы ее по существу уже отметили, рассмотрев в разделе 2 а систему из двух ортогональных векторов в трехмерном евклидовом пространстве. На основании этой леммы можно сделать ряд важных общих заключений о свойствах коэффициентов Фурье и рядов Фурье. 600 ГЛ. ХУП1.
РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Пример 8. Для тригонометрической системы (см. формулы (9), (10)) неравенство Бесселя имеет вид ~а (У)~' + ~~~ ~аь(7')~~+ ~6ь(1)(~ ( — / )~(~(х) Их. (16) /с=1 Для системы 1е'"*; Й б .'Ц (см. формулу (11)) неравенство Бесселя записывается особенно изящно: (17) Сходимость рядов Фурье в полном пространстве Пусть ,') х"еь = ~(х, еь)еь — ряд Фурье вектора х е Х по ортонорь ь мированной системе (еь).
В силу неравенства Бесселя (15) ряд ~; ~хьюз сходится. По теореме Пифагора ()х е,„+...+х"е„0 =)х ) +...+(х"(. По критерию Коши сходимости ряда правая часть этого равенства становится меньше любого е > 0 при всех достаточно больших значениях т и и > т. Значит, тогда '6х е +...+х"е 0 (~/е. Следовательно, ряд Фурье ~; хьеь удовлетворяет условиям критерия ь Коши сходимости ряда и сходится, если только исходное пространство Х является полным относительно метрики, индуцированной нормой '6х0 =,,/(х, х). Для упрощения записи мы провели рассуждение для ряда Фурье по ортонормированной системе. По все можно повторить и для ряда Фурье по любой ортогональной системе. Экстремальное свойство коэфФициентов Фурье Покажем, что если ряд Фурье ~х"еь = ~; х" еь вектора х е Х ~еь еы по ортонормированной системе (еь) сходится к вектору х~ б Х, то именно вектор х~ дает наилучшее приближение вектора х среди всех 61.
ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 601 векторов у = ~ аьеь пространства Е, натянутого на (еь), т.е. для Ь=1 любого у Н Х !1х-х111 ( !ах — Ы1, причем равенство здесь возможно только при у = х1. Действительно, по лемме о перпендикуляре и теореме Пифагора '0х — У/! = '0(х — х1) + (х1 — У)0 = '011+ (х1 — У)!) = !!Ц~ + 0х1 — У0~ > '0Ц~ = 'Ох — х10~. Пример 9. Несколько отвлекаясь от нашей основной цели — изучения разложений по ортогональным системам, предположим, что имеется произвольная система линейно независимых векторов х1,...,х„ в Х и ищется наилучшая аппроксимация заданного вектора х Е Х линейными комбинациями ~; аьхь векторов системы.
Поскольку в просЬ=1 транстве Х, порожденном векторами х1,..., х„, процессом ортогонализации можно построить ортонормированную систему е1,..., е„, порождающую пространство Ь, то на основании экстремального свойства коэффициентов Фурье можно заключить, что существует, и притом единственный, вектор х1 Е Ь такой, что 0х — х10 = 1п1'0х — у0. Поуеь скольку вектор 11 = х — х1 ортогонален пространству Ь, из равенства х1 + 11 = х получаем систему уравнений (х1, х1) о1 +... + (х„, х1) а„= (х, х1) (18) (Х1, Хп)01 + ° .. + (Хи, Хп)пв = (Х~ Хв) на коэффициенты а1,..., а„разложения х1 = ~ оьхь искомого вектоЬ=1 ра х1 по векторам системы х1,..., х„.
Существование и единственность решения этой системы вытекают из существования и единственности вектора х1. В силу теоремы Крамера отсюда, в частности, можно сделать заключение о необращении в нуль определителя этой системы. Иными словами, попутно показано, что определитель Грама системы линейно независимых векторов не равен нулю.
Описанная задача аппроксимации и соответствующая ей система уравнений (18), как мы уже отмечали, возникает, например, при обра- ГЛ. ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 002 ботке зкспериментальных данных по методу Гаусса наименьших квадратов (см. также задачу 1). с. Полные ортогональные системы и равенство Парсеввля Определение Ч. Система (х;а б А) векторов нормированного пространства Х называется полной по отпношению к множеству Е С Х (или полной в Е), если любой вектор х Е Е можно сколь угодно точно в смысле нормы пространства Х приблизить конечными линейными комбинациями векторов системы. Если через Цх ) обозначить линейную оболочку в Х векторов системы (т.е. совокупность всех конечных линейных комбинаций векторов системы), то определение 8 можно переформулировать следующим образом: система (х„) полна по отношению к множеству Е С Х, если Е содержится в замыкании Х(ха) линейной оболочки векторов системы.
Пример 10. Если Х = Ез, а е1, ез, ез — базис в Ез, то система (е1, ез, ез) полна в Х, а система (е1, ез) уже не является полной в Х, но является полной по отношению к множеству Е(е1, ез) или любому его подмножеству Е. Пример 11. Последовательность функций 1, х, х2,... рассмотрим как систему (х"; й Е О, 1,2,... ) векторов пространства Ез([а, Ь],К) или Ез([а, Ь], С). Если С[а, Ь] — надпространство непрерывных функций, то эта система полна по отношению к множеству С[а, Ь]. < Действительно, какова бы ни была функция у Е С[а, Ь] и каково бы ни было число е ) О, по теореме Вейерштрасса найдется алгебраический многочлен Р(х) такой, что шах [1(х) — Р(х)] < в. Но тогда хе[а,Ь) < ~/Ь вЂ” а и, значит, линейными комбинациями функций системы можно сколь угодно точно приблизить функцию у в смысле нормы рассматриваемого пространства Ез[а, Ь].
ь Отметим, что, в отличие от ситуации примера 9, в нашем случае не каждая непрерывная на отрезке [а, Ь] функция является конечной ли- 11. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 603 Пример 12. Если из системы функций (1,совгсх,япгсх;Ь Е И) удалить одну из функций, например 1, то оставшаяся система (сов Йх, яви; гс й И) не будет полной в Яг([ — и, и), С) или К~([ — и, и), К). < В самом деле, по лемме 3 наилучшую аппроксимацию функции )'(х) = 1 среди всех конечных линейных комбинаций Т„(х) = ~~ (аь созгсх+ Ь|япгсх) ь=г данной длины и дает тот тригонометрический многочлен Т„(х), в котором аь и Ьь — коэффициенты Фурье функции 1 относительно рассматриваемой ортогональной системы (сов гсх, яп кх; гс Е И).
Но в силу соотношений (5) такой полипом наилучшего приближения должен быть нулевым. Значит, всегда = ~/2~г > О, 1[1 — Т„'0' > [[1[[ = и приблизиться к единице ближе, чем на величину ~/2к линейными ком- бинациями функций системы нельзя. ~ Теорема (условия полноты ортогональной системы). Пусть Х вЂ” линейное пространство со скалярным произведением (, ), а гг, 1я..., 1„,... — конечная или счетная система ненулевых взаимно ортогональных векторов в Х. Тоеда следующие условия эквивалентны: а) система (1ь) полна по отношению к множеству г) Е с Х; Ь) для любого векгпора х Е Е С Х имеет место разложение (в ряд Фурье) (х,1ь) (1ы (ь) (19) в Множестно Е может, в частности, состоять иэ одного, по тем или иным причинам представляющего интерес, вектора.
нейной комбинацией функций взятой системы, а всего лишь приближа- ется такими линейными комбинациями. Итак, С[а, Ь] С Х(х") в смысле нормы пространстваПа[а,Ь~). ГЛ. ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 604 с) для любого вектора х Е Е С Х имеет место равенстео (Парсе- валя П) ~~9 ~;;~! (х, ~ь)!' (20) (4,~.) ' Особенно простой вид равенства (19) и (20) имеют для ортонормированной системы векторов (еь). В этом случае х = ~ (х,еа)еь (19') '8х6 = ~ )(х,еа)) .
(20') ь Таким образом, важное равенство Парсеваля (20) или (20') — это теорема Пифагора, записанная в терминах коэффициентов Фурье. Докажем сформулированную теорему. < а) ~ Ь) в силу экстремального свойства коэффициентов Фурье; Ь) =~ с) по теореме Пифагора; с) ~ а), т. к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
