1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Для интеграла (5) справедливы следующие утверждения. Утверждение 5. Если интеграл (5) с указанными при его описании условиями на функции у, ф, К сходится равномерно на У, то Е е С(У,К). ПЗдесь мы считаем, что само множество Х ограничено в И". В противном случае к неравенству (6) надо еще приписать аналогичное неравенство, в котором интеграл берется по множеству (х Е Х ( )х( > 1/е). где Х вЂ” ограниченная измеримая область в К; параметр у пробегает область У с К ', причем и < т; ~р: Х вЂ” > К"' — гладкое отображение, удовлетворяющее условиям гапб~р'(х) = п, и ()~р'(х)5 > с > О, т.е.
у задает и-мерную параметризованную поверхность, точнее, и — путь в Ко', К е С(К™ '1 О,К), т.е. функция К(х) непрерывна в К'и всюду, кроме точки г = О, около которой она может быть и неограниченной; ф: Х х У вЂ” 1 К вЂ” ограниченная непрерывная функция. Будем считать, что при каждом у Е У интеграл (5) (вообще говоря, несобственный) существует. В рассмотренном нами выше интеграле (4), в частности, было ГЛ. ХУП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 568" Ъ'тверждение 6.
Если про интеграл (5) известно дополнительно, что функция ф не зависит от параметра у (т. е. ф(х, у) = ф(х)), а К е С(П(К '1 О, К), то при условии равномерной сходимости инте- грала | дК вЂ”,(у — ~р(х))ф(х) дх ду' х на множестве у е У, можно утверждать, что функция Е имеет непрерывную частную производную —,, причем Р ду' дЕ ГдК вЂ”.(у) = / —.(у — р(х))4~(х) дх. ду' ./ ду' х (7) Доказательства этих утверждений, как было сказано, вполне аналогичны проведенным в примерах 3 и 4, поэтому мы на них не останавливаемся.
Отметим лишь, что сходимость несобственного интеграла (при произвольном исчерпании) влечет его абсолютную сходимость. В примерах 3, 4 условие абсолютной сходимости использовалось нами в оценках и при перестановке порядка интегрирований. В качестве иллюстрации возможного использования утверждений 5, 6 рассмотрим еще один пример из теории потенциала. Пример 5.
Пусть заряд распределен на гладкой компактной поверхности д С Кз с поверхностной плотностью заряда о(х). Потенциал такого распределения заряда называется потенциалом простого слоя и, очевидно, представляется поверхностным интегралом | о(х) а (х) / )х — у) (8) Пусть о — ограниченная функция; тогда при у ф д этот интеграл собственный и функция ГГ(у) бесконечно дифференцируема вне д. Если же у Е д, то интеграл имеет в точке у интегрируемую особенность. Особенность интегрируема, так как поверхность д гладкая и в окрестности точки у Е о' мало отличается от куска плоскости К, на которой, как мы знаем, особенность типа 1|г интегрируема при о < 2.
Это общее соображение, используя утверждение 5, можно превратить в формальное доказательство, если локально в окрестности $'у точки 15. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 669 у Е Я представить д в виде х = у(1), где 1 Е р~ с К и гап8у' = 2. 2 Тогда Г и(х)йа(х) ~ ь(Р(~)) /д~ дР~1 )х — у),/ )у — ср(й)( ~дй" дь1/ Ъ'р и, применяя утверждение 2, убеждаемся еще и в том, что интеграл (8) представляет функцию У(у), непрерывную во всем пространстве Кз.
Вне носителя заряда, как уже отмечалось, объемный потенциал (4) и потенциал простого слоя (8) бесконечно дифференцируемы. Проводя это дифференцирование под знаком интеграпа, единообразно убеждаемся в том, что вне носителя заряда потенциал, как и функция 1/~х — у~, в Кз удовлетворяет уравнению Лапласа ЬУ = О, т.е. является в указанной области гармонической функцией. *4. Свертка, фундаментальное решение и обобщенные функции в многомерном случае а. Свертка в К" Определение 2. Сеерика и * с определенных на К" вещественно или комплекснозначных функций и, с задается соотношением (9) (и * с)(х):= и(у)п(х — у) пу.
и Пример 6. Сопоставляя формулы (4) и (9), можно заключить, что, например, потенциал У распределенного в пространстве К с плотз постыл р(х) заряда есть свертка (д * Е) функции р и потенциала Е 3 единичного заряда, помещенного в начало координат пространства К . Соотношение (9) есть прямое обобщение рассмотренного в 9 4 определения свертки. По этой причине все разобранные в 94 для случая п = 1 свойства свертки вместе с их выводами остаются в силе, если там всюду заменить К на К". Дельтаобразное семейство в К' определяется так же, как и в К с заменой К на К" и с пониманием У(О) как окрестности в К" точки 0 б К". Понятие равномерной непрерывности функции у: С -+ С на множестве Е С С, а вместе с ним и основное утверждение 5 9 4 о сходимости ГЛ.
ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 570 свертки 1 * Ь к у, тоже со всеми деталями и следствиями переносится на многомерный случай. Отметим лишь, что в примере 3 и доказательстве следствия 1 из 5 4 при определении функций 15„(х) и у(х) соответственно следует заменить х на )х~. Небольшие видоизменения б-образного семейства, приведенного в примере 4 0 4, потребуются для доказательства теоремы Вейерштрасса об аппроксимации периодических функции тригонометрическими полиномами. В этом случае речь идет о приближении функции Дх',..., х"), непрерывной и периодической с периодами Т1, Тз,..., Т„по переменным х', х~,..., х" соответственно.
Утверждение состоит в том, что для любого с > 0 можно предьявить тригонометрический полипом от и переменных с соответствующими периодами Т1, Тз,..., Т„, который равномерно с точностью до е приближает Т' на Ж". Мы ограничимся этими замечаниями. Самостоятельная проверка доказанных в 54 для и = 1 свойств свертки (9) в случае произвольного и Е г) будет для читателя простым, но полезным упражнением, способствующим адекватному пониманию изложенного в 9 4. Ь. Обобщенные функции многих переменных.
Остановимся теперь на некоторых многомерных элементах введенных в 0 4 понятий, связанных с обобщенными функциями. Пусть, как и прежде, С1 )(С) и Со~ )(С) — соответственно обозначения множеств бесконечно дифференцируемых и финитных бесконечно дифференцируемых в области С С ~" функций. Ксли С = ~", то будем применять сокращения С~ ) и Со~ ) соответственно.
Пусть т:= (тм..., т„) — мультииндекс, а дх' ''' дх" В Со (С) вводится сходимость функций; как и в определении 7, 04 ( ) считается, что уь -+ ~р в Со (С) при Й вЂ” ~ со, если носители всех фун( ) кций последовательности ~уь) содержатся в одном и том же лежащем в С компакте и для любого мультииндекса т ~р, ~ ~р~ ) на С при Й вЂ” ~ оо, т.
е. имеет место равномерная сходимость функций и всех их производных. После этого принимается 15. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 571 Определение 3. Линейное пространство С (С) с введенной (сю) сходимостью обозначается через с(С) (при С = К" через с) и называется пространством основных или пробных функций. Линейные непрерывные функционалы на Р(С) называются обобщенными функциями или распределениями.
Они образуют линейное / / пространство обобщенных функций, обозначаемое через Р (С) (или с, если С = К" ). Сходимость в Р'(С), как и в одномерном случае, определяется как слабая (поточечная) сходимость функционалов (см. 5 4, определение 6). Определение регулярной обобщенной функции дословно переносится на многомерный случай. Остается прежним и определение Б-функции и смещенной в точку хв Е С д'-функции, обозначаемой через б(хв) или чаще, но не всегда удачно, через б(х — хо). Рассмотрим теперь некоторые примеры. Пример 7.
Положим 1е12 Ь|(х):= е 4а2с, (2а~/т$)" где а > О, 1 > О, х Е К". Покажем, что зти функции, рассматриваемые как регулярные распределения в К", сходятся в Ю' при 1 -+ +О к б-функции К". Для доказательства достаточно проверить, что семейство функций Ь~ является б-образным в К" при ~ -+ +О.
Используя замену переменной, сведение кратного интеграла к повторному и значение интеграла Эйлера — Пуассона, находим Далее при любом фиксированном значении т > О когда ~ -+ +О. ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 572 Учитывая, наконец, неотрицательность функций Ь~(х), заключаем, что они действительно составляют Б-образное семейство функций в 5Р.
Пример 8, Обобщением Б-функции (отвечающей, например, единичному заряду, помещенному в начало координат пространства К") является следующая обобщенная функция Бя (отвечающая распределению заряда по кусочно гладкой поверхности о' с единичной поверхностной плотностью распределения). Действие Бя на функции у Е Т7 определяется соотношением (Ья, ~р):= 1о(х) йг. Распределение бя, так же как и распределение Б, не является регулярной обобщенной функцией. Умножение распределения на функцию из ь определяется в й" так же, как и в одномерном случае.
Пример 9. Если р Е ь, то рдя есть обобщенная функция, действующая по закону (10) (рбя, 1о) = ~р(х)р(х) йт. Если бы функция д(х) была определена только на поверхности о, то равенство (10) можно было бы рассматривать как определение обобщенной функции рбя. Так вводимая обобщенная функция по естественной аналогии называется простым слоем на поверхности о с плотностью д. Дифференцирование обобщенных функций в многомерном случае определяется по тому же принципу, что и в одномерном, но имеет некоторую специфику. Если Г Е Р'(С) и С с К", то обобщенная функция ~~ определяется дх' соотношением Отсюда следует, что 55.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
