1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 106
Текст из файла (страница 106)
Непосредственным дифференцированием возникшего интеграла по параметрам легко проверить, что и(х, 1) — действительно решение уравнения П,и = Г. Пример 18. Аналогично на основе результата примера 15 находим решение 1 (2 р —,л. а н уравнения ~~ — Ьи = Г, например, в предположениях непрерывно- Ж сти и ограниченности функции Г, обеспечивающих существование написанной свертки Г * Е. Отметим, что зти предположения делаются для примера и далеки от обязательных. Так, с точки зрения обобщенных функций можно было бы ставить вопрос о решении уравнения ф — Ьи = Г, допуская в качестве Г(х, 1) обобщенную функцию ~р(х) Б(1), Ж где ~р Е Р(Н"), а Б Е Р'(К). Формальная подстановка такой функции Г под знак интеграла приводит к соотношению Применяя правила дифференцирования интеграла, зависящего от параметра, можно убедиться, что зта функция является решением уравнения ~' — азии = 0 при 1 > О.
Отметим, что и(х,~) -+ ~р(х), когда ~ -+ +О. Это вытекает из результата примера 7, где была установлена б-образность встретившегося здесь семейства функций. Пример 19. Наконец, вспоминая полученное в примере 14 фундаментальное решение оператора Лапласа, в трехмерном случае находим решение ) 1 г~~) 4К нз ГЛ. ХУП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 582 уравнения Пуассона Ьи = -4х1,которое с точностью до обозначений и перенормировки совпадает с рассмотренным нами ранее потенциалом (4) распределенного в пространстве с плотностью 1 заряда. Если в качестве функции 1 взять и(х)бя, где о †кусоч гладкая поверхность в Кз,то формальная подстановка в интеграл приводит к функции являющейся, как мы знаем, потенциалом простого слоя, точнее, потенциалом заряда, распределенного по поверхности о' С Кз с поверхностной плотностью и(х).
Задачи и упражнения 1. а) Рассуждая, как и в примере 3, где была установлена непрерывность объемного потенциала (4), докажите непрерывность потенциала простого слоя (8). Ь) Проведите полное доказательство утверждений 4 и 5. 2. а) Покажите, что для любого множества М С К" и любого е > 0 можно построить функцию 1 класса С~~~ (К", К), удовлетворяющую следующим трем условиям одновременно: Чх Е К" (О < 1(х) < 1); ух Е М (1(х) = 1); ьцрр1 С с М„где М, — е-раздутие (т. е. е-окрестность) множества М.
Ь) Докажите, что для любого замкнутого в К" множества М существует такая неотрицательная функция 1 6 С< ~(К", К), что (1(х) = 0) сь (х 6 М). 3. а) Решите задачи 6 и 7 из 5 4 применительно к случаю пространства К" произвольной размерности. Ь) Покажите,что обобщенная функция бя (простой слой) не является регулярной. 4. Используя свертку, докажите следующие варианты аппроксимационной теоремы Вейерштрасса. а) Любую непрерывную на компактном и-мерном промежутке 1 С К" функцию 1: 1 -+ К можно равномерно приблизить на нем алгебраическим многочленом от и переменных. Ь) Предыдущее утверждение остается в силе, даже если заменить 1 произвольным компактом К С К и считать, что 1 6 С(К, С). с) Для любого открытого в К" множества С С К" и любой функции 1 6 СО'0(С, К) найдется такая последовательность (Рь) алгебраических многочленов от и переменных, что при любом мультииндексе а = (аы,,.,а„) таком, что ~а! < т, на каждом компакте К С С будет Рь~~ =2 ~~ ~ при я — > со.
е 5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 683 д) Если С вЂ” ограниченное открытое подмножество К" и 1 е С( )(С, К), то существует такая последовательность (Рь) алгебраических многочленов от и переменных, что при любом о = (ам...,оо) Р„.=Ф 1 на С, когда (а) (а) я -+ оо. е) Любую периодическую с периодами Тм Тг,..., Т„по переменным х',..., х" функцию 1 Е С(И", К) можно в И" равномерно аппроксимировать тригонометрическими многочленами от п переменных, имеющими те же периоды Т„Тг,..., Т„по соответствующим переменным.
5. Эта задача содержит дальнейшие сведения об усредняющем действии свертки. а) На основе числового неравенства Минковского в свое время при р > 1 мы получили интегральное неравенство Минковского < 1/е 1/е 1Ф / (а(х) + 6(х)(одх < / (а(ь(х) Нх + / (Ь(ь(х) дх х х х Оно в свою очередь позволяет предугадать следующее обобщенное интегральное неравенстпво Минковского: е 1Ф дх < (у('(х, у) дх ду.
х < )' )' с*,ов х г !!У. — ярд < впр!1тьУ вЂ” ярд, (ь(<е Докажите это неравенство, считая что р > 1, что Х, У вЂ” измеримые множества (например, промежутки в К и К" соответственно) и что правая часть неравенства конечна. Ъ) Применив обобщенное неравенство Минковского к свертке у * д, покажите, что при р > 1 имеет место соотношение ((( *д((р < (Л1 ((д((р, где, как х 1/е всегда, ((и)(„= ) (и(е(х) дх) с) Пусть у й Св (К",К), причем О < ~р(х) < 1 на К" и ) ьо(х)дх = 1. Положим ~р,(х):= — (о ( — ) и у,:=,( * ~р, при е > О.
Покажите, что если ( е е )ср(К") (т.е. если существует интеграл ) (у(е(х)дх), то (, е С( )(К",К) и Ше< 11Л . Отметим, что функцию ~, часто называют усреднением функции (" с ядром (о,. с)) Сохраняя предыдущие обозначения, проверьте, что на любом промежутке Т С К" справедливо следующее неравенство: ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 584 к/я где !)и()„г = ((~и("(х)с~х), а тай(х) = у(х — Ь).
е) Покажите, что если 1 б Яр(К"), то 8ть1 — 1'8р г — > О при Ь -+ О. 1) Докажите, что для любой функции (' е Ир(Иь), р ) 1 справедливы соотношения Ц,()р < )Лр и 81, — 18р -+ О при с -+ +О. 8) Пусть Я (С) — векторное с нормой !) ()р,ц пространство абсолютно интегрируемых на открытом множестве С с К" функций. Покажите, что функции класса С1 1(С) П Ер(С) образуют всюду плотное подмножество Ер(С) и что это же верно и для множества Се (С) П Ер(С). ( ) и) Случаю р = оо в предыдущей задаче можно сопоставить следующее утверждение; любую непрерывную на С функцию можно в С равномерно аппроксимировать функциями класса С1 1(С). 1) Если / — Т-периодическая локально абсолютно интегрируемая на И функция, то, полагая 8Дрт = ( Щг(х)дх, будем через Е~~ обозначать а линейное пространство с указанной нормой. Докажите, что Оу, — Л, т -+ О при е -++О.
)) Пользуясь тем, что свертка двух функций, из которых одна периодическая, сама периодична, покажите, что гладкие периодические функции класса С1 '1 всюду плотны в Е~~. 6. а) Сохранял обозначения примера 11 и используя формулу (12), проверьте, что если у б СО1(И" '1 д), то Г аУ1 . ~+ —.((1~)ясова,бя) + ~1 —.) сова бю дал дхб ~ дх'дхб ) дхэ *'), Ь) Покажите, что сумма 2 (1-с1~1 соесн равна скачку (1Я~ нори~5 мальной производной от функции 1 в соответствующей точке х й д, причем этот скачок не зависит от направления нормали и равен сумме ( .-с-+ -~-1 (т) нормальных производных от у, взятых в точке х с обеих сторон поверхности л'. с) Проверьте соотношение 1~ = (Ь|) + 1 — ~ ба+ — (( Г ~) бя), ду'1 д дж) дп где — нормальная производная (т.е.
~ ~--Еу ~:= — ~ Е, ~~]), а (1~)я —— д скачок функции у в точке х б о' в направлении нормали п. о) Используя полученное выражение для Ь1, докажите справедливость з 5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 585 классической формулы Грина (1бод — 'дМ)д*=) '(1 — — К вЂ” ) д Г г" д~р дб 'Г ) 1, дп дп) в предположении, что С вЂ” конечная область в К", ограниченная кусочно гладкой поверхностью д; у уг е СО>(С) пСггг(С), а стоящий слева интеграл существует хотя бы как несобственный.
е) Покажите,что если 6-функция соответствует единичному заряду,помещенному в начале координат О пространства К, и функция — — отвечает » дб дхг диполю с электрическим моментом +1, расположенному в точке О и ориентированному вдоль оси х' (см, задачу 11е) из 54), а функция и(х)6» — простой слой, отвечает распределению зарядов по поверхности д с поверхностной плотностью гг(х), то функция —.~-- (и(х)6я), называемая двойным слоем, отвечает д распределению диполей по поверхности д, ориентированных по нормали и и имеющих поверхностную плотность момента гг(х). 1) Полагая в формуле Грина у = и используя результат примера 14, 1 покажите, что любая гармоническая в области С функция г' класса СОО(С) представляется в виде суммы потенциала простого и двойного слоя, расположенных на границе д области С.
7. а) Функция является потенциалом напряженности А = — — * элек- 1 Гх) ~ ~з трического поля, создаваемого в пространстве К единичным зарядом, помез щенным в начало координат. Нам известно также, что йн — — ) = 4гг6, йн ~ — — ) = 4яо6, йнягаг( ~ — = 4»6. х ),)3) — 1 ~ )х)з) — 1 1 ф) Исходя из этого, объясните, почему надо полагать, что функция 5Г(х) = = ) ~~~) ~~ должна удовлетворять уравнению 65Гг = — 4яр. Проверьте, что она нз действительно удовлетворяет написанному уравнению Пуассона. Ь) Физическое следствие формулы Гаусса — Остроградского, известное в теории электромагнитного поля как гпеорела Гаусса, состоит в том, что поток через замкнутую поверхность д напряженности электрического поля, создаваемого распределенными в пространстве Кз зарядами, равен Я/ео (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
