1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 110
Текст из файла (страница 110)
ввиду леммы о перпендикуляре (см. раздел Ь) по теореме Пифагора имеем и и (х~ й) ~ з ~~2 '1~ (х~ й) ~ , (1ь 11) „, (4 4) " !(х ~ )!' (Е„, Е„) Замечание. Отметим, что из равенства Парсеваля вытекает следующее простое необходимое условие для полноты ортогональной системы по отношению к множеству Е с Х: в Е нет ненулевого вектора, ортогонального всем векторам системы. В качестве полезного добавления к теореме и сделанному замечанию докажем следующее общее Утверждение.
Пусть Х вЂ” линейное пространство со скалярным произведением, а х1,хг,... — система линейно независимых векторов в Х. Для того, чтобы система (хь> была полной е Х, ВМ. А. Парсеваль (1755 — 1836) — французский математик, обнаруживший зто соотношение длн тригонометрической системы в 1799 г. 11. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 005 а) необходимо, чтобы в Х не было отличного от нуля вектора, ортогонального всем векторам системы; Ь) в случае, когда Х вЂ” полное (гильбертово) пространство, достаточно, чтобы в Х не было отличного от нуля вектора, ортогонального всем векторам системы.
< а) Если вектор и ортогонален всем векторам системы (хь), то на основании теоремы Пифагора заключаем, что никакая линейная комбинация векторов системы (хь) не может отличаться от 6 меньше, чем на величину бйб. Значит, если система (хь) полная,то Ойб = О. Ь) Процессом ортогонализации получим из системы (хь) ортонормированную систему (еь), линейная оболочка которой Цеь) совпадает с линейной оболочкой Ь(хь) исходной системы. Берем теперь произвольный вектор х Е Х. Ввиду полноты пространства Х ряд Фурье вектора х по системе (еь) сходится к некоторому вектору х, Е Х.
По лемме о перпендикуляре вектор 6 = х — х, ортогонален пространству .Цеь) = Ь(хь). По условию 6 = О. Значит, х = х, и ряд Фурье сходится к самому вектору х. Таким образом, вектор х сколь угодно хорошо приближается конечными линейными комбинациями векторов системы (еь), а следовательно, и конечными линейными комбинациями векторов системы (хь). > Условие полноты пространства в пункте Ь) утверждения является существенным, о чем свидетельствует следующий Пример 13. Рассмотрим пространство 1х (см.
51 гл. Х) вещественных последовательностей а = (а1, а~,... ), для которых 2; (а1)~ ( оо. 1=1 Скалярное произведение векторов а = (а, и~,... ) и 6 = (6~,Ь~,... ) из 1х определим стандартным образом: (и, Ь):= 2 а1Ь1. 1=1 Рассмотрим теперь в 1г ортонормированную систему еь = (О,...,О, ь 1,0,0,... ), к = 1,2,... В нее не входит вектор ео = (1,0,0,...
). К системе (еь, к е г1) добавим еще вектор е = (1, 1/2, 1/2~, 1/25,... ) и рассмотрим линейную оболочку .Це, е1, ег,... ) указанных векторов. Эту линейную оболочку можно рассматривать как линейное пространство Х (подпространство 1г) со скалярным произведением, взятым из 1г. Отметим, что вектор ев = (1,0,0,... ), очевидно, не может быть 606 ГЛ. ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ получен конечной линейной комбинацией векторов системы е, е1, е2,..., поэтому он не лежит в Х. Вместе с тем, он сколь угодно точно может быть приближен в 1з такими линейными комбинациями, поскольку е— ь=1 ~ Значит, мы одновременно установили, что Х не замкнуто в 12 (поэтому Х, в отличие от 12, не полное метрическое пространство), но в то же время замыкание Х в 1з совпадает с 1з, т.
к. система ес, ем е2,... порождает все пространство 12. Теперь заметим, что в Х = Ь(е, еь ез,... ) нет отличного от нуля вектора, ортогонального всем векторам ем е2,... я Действительно, пусть х Е Х, т. е. х = ае+ 2.' чьею и пусть (х, еь) = ь=1 = О, А = 1,2,... Тогда (х,е„~~) = — „„, = О, т.е. о = О. Но тогда аь = (х, еь) = О, Й = 1,..., п. Значит, мы построили нужный пример: ведь ортогональная система ем е2,... не является полной в Х, т.
к. она неполна в замыкании Х, совпадающем с 12. Рассмотренный пример, разумеется, ти- ~ А е е — А ~ Х пично бесконечномерный. На рис. 103 сделана ,т Х попытка изобразить случившееся. ! еФ Отметим, что в бесконечномерном случае ,хе (так характерном для анализа) возможность сколь угодно точно приблизить вектор лиез нейными комбинациями векторов системы и е1 возможность разложить вектор в ряд по век- торам системы, вообще говоря, разные свойРис.
103. ства системы. Обсуждение этого вопроса и заключительный пример 14 прояснят особую роль ортогональных систем и рядов Фурье, для которых эти свойства имеют место одновременно (о чем говорит доказанная выше теорема). Определение 8. Система хм хз,..., х„,... векторов линейного нормированного пространства Х называется базисом пространства Х, если любая конечная ее подсистема состоит из линейно независимых векторов и любой вектор х б Х может быть представлен в виде х = 2.' аьхю где аь — коэффициенты из полЯ констант пРостРанства Х, ь 1 1.
ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 607 а сходимость (в случае бесконечной суммы) понимается по норме про- странства Х. Как соотносятся полнота системы векторов и свойство системы быть базисом? В конечномерном пространстве Х полнота в Х системы векторов, как следует из соображений компактности и непрерывности, очевидно, равносильна тому, что эта система является и базисом в Х.
В бесконечномерном случае это, вообще говоря,не так. Пример 14. Рассмотрим множество С([ — 1, 1], К) непрерывных на отрезке [ — 1, 1] вещественнозначных функций как линейное пространство над полем К со стандартным скалярным произведением, определенным формулой (3). Обозначим это пространство символом Сз([ — 1, 1], К) и рассмотрим в нем систему линейно независимых векторов 1, х, х~,... Эта система полна в пространстве С2([ — 1, 1], К) (см. пример 11), но не является базисом.
~ Покажем сначала, что если ряд 2 , 'аьх~ сходится в С2([ — 1, 1], К), ь=О т. е. в смысле среднего квадратического уклонения на отрезке [ — 1, 1], то он же, рассматриваемый как степенной ряд, сходится поточечно на интервале ] — 1, 1[. Действительно, по необходимому условию сходимости ряда имеем [[аьхь]] -+ О при и — ~ оо. Но рз, 2 ][аьх [[ = / ~аьх ) дх = аь 2й+1 — 1 Значит, [аь[ < ~/2й+ 1 при всех достаточно больших значениях к. В таком случае степенной ряд 2 аьхь заведомо сходится на интервале Ь=О ] — 1, 1[. Обозначим теперь через у сумму этого степенного ряда на интервале ] — 1, Ц. Заметим, что на каждом отрезке [а, Ь] с ] — 1, 1[ степенной ряд сходится к ф[, ~) равномерно, а следовательно, и в смысле среднего квадратического уклонения тоже.
Отсюда следует, что если непрерывная на отрезке [ — 1, Ц функция 1 является суммой этого ряда в смысле сходимости в пространстве Сг([ — 1,1],К), то 1 и у совпадают на] — 1,1[. 608 ГЛ. ХУП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Но функция у бесконечно дифференцируема. Значит, если в пространстве Сз(( — 1, Ц, К) взять любую не бесконечно дифференцируемую на интервале ] — 1, 1( функцию, то ее уже нельзя в этом пространстве разложить в ряд по системе (х~; й = О, 1,... ).
~ Итак, если взять, например, функцию 1(х) = ~х~ и последовательность чисел ) е„= „-; и Е Ы~, то можно построить последовательность 1, (Р„(х);и Е 1Ч) конечных линейных комбинаций Р (х) = ао+а~х+... + + а„х элементов системы (х";й б 14) такую, что Ц вЂ” Р„0 < -„, т.е. Р„+ 1' при и — > оо. Если нужно, то в каждой такой линейной комбинации Р„(х) коэффициенты можно даже считать выбранными единственным наилучшим способом (см.
пример 9). Тем не менее, разложения аьх при этом не возникает по той причине, что при переходе ь ь=о от Р„(х) к Р„~~(х) меняется не только последний коэффициент а„.ьь но, возможно, и все предыдущие ао,..., а„. Если же система ортогональная, то этого не происходит (ао,..., а„ не меняются) в силу экстремального свойства коэффициентов Фурье. Например, можно было бы от системы мономов (х") перейти к системе ортогональных полиномов Лежандра и разложить 1(х) = ~х~ в ряд Фурье по этой системе.
*3. Об одном важном источнике ортогональных систем функций в анализе. Теперь дадим представление о том, как в конкретных задачах появляются те или иные ортогонзльные системы функций и возникают ряды Фурье по этим системам. Пример 15. Метод Фурье. Отрезок [0,1) С К будем считать положением равновесия однородной упругой струны, закрепленной в концах этого отрезка, а в остальном свободной и способной совершать малые поперечные колебания около этого положения равновесия. Пусть и(х,г) — функция, описывающая эти колебания, т.е. в каждый фиксированный момент времени 1 = 10 график функции и(х, 10) над отрезком 0 < х < 1 задает форму струны в момент ~о. Это, в частности, означает, что и(0, г) = и(1, г) = 0 в любой момент 1, поскольку концы струны закреплены.
Известно (см., например, гл. Х1У, 84), что функция и(х,1) удовле- 11. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ б09 творяет уравнению д2и д2и — =а —, дг2 дх2' (21) где положительный коэффициент а зависит от плотности и модуля упругости струны. Одного уравнения (21), конечно, недостаточно для определения функции и(х, 1). Из опыта мы знаем, что движение и(х, 1) однозначно определится, если, например, задать положение и(х, 0) = у(х) струны в какой-то (будем его называть начальным) момент времени ~ = 0 и скорость дТ(х, 0) = ф(х) точек струны в этот момент. Так, если мы, дн оттянув струну, придаем ей форму ~о(х) и отпускаем, то 9 (х) = О. Итак, задача о свободных колебаниях струныц, закрепленной в концах отрезка (О, 1), свелась к отысканию такого решения и(х, 1) уравнения (21), которое удовлетворяет граничным условиям и(0, 1) = и(1, 1) = 0 (22) и начальным условиям и(х, 0) = у(х), — (х, 0) = ф(х).
ди (23) То Я Хн(х) а2Т(ь) Х( ') (24) Ц Отметим, что начало математическому исследованию колебаний струны положил еще Брук Тейлор. Для решения подобных задач существует довольно естественная процедура, называемая в математике методом разделения переменных или методом Фурье. Она состоит в следующем.
Решение и(х, ~) ищется в виде ряда 2,' Х„(х)Т„(ь), члены которого Х(х)Т(т) являются специа=1 ального вида (с разделенными переменными) решениями данного уравнения, удовлетворяющими граничным условиям. В нашем случае, как мы увидим, это равносильно разложению колебания и(х, ~) в сумму простейших гармонических колебаний (точнее, в сумму стоячих волн). Действительно, если функция Х(х)Т(1) удовлетворяет уравнению (21), то Х(х)То(1) = а2Хо(х)ТЯ, т.е. ГЛ. ХУП1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
