1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 107
Текст из файла (страница 107)
с. 329), где 1;г — полный заряд в области, ограниченной поверхностью д. Докажите эту теорему Гаусса. 8. Проверьте следующие равенства, понимаемые в смысле теории обобщенных функций. а) 65Е = 6, если г 1п)х) при хЕК~, — ~х~ г" гг при хбК", п)2. г»" гг — гг 588 ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Ь) (ы + к~)Е = б, если Е(х) = — 4Г-( или если Е(х) = -еа — Г)- и х В Ии. е'ц*~ — ~/с)~) ~Аз~ н~о — фу х а~,а,=<* н'~н~= о — ~р, а > О. б) Используя предыдущие результаты, предъявите решение и уравнения Аи = 1 для соответствующего дифференциального оператора А в виде сверт- ки )' * Е и проверьте, например, в предположении непрерывности функции у, что полученные вами интегралы, зависящие от параметра, действительно удо- влетворяют уравнению Аи = у. 9, Дифференцирование интеграла по жидкому объему. Пространство заполнено перемещающимся веществом (жидкостью) .
Пусть о = о(1, х) и у = р(1, х) — соответственно скорость перемещения и плотность вещества в момент времени 1 в точке х. Будем наблюдать эа перемещением порции вещества, заполняющего в начальный момент область Йо. а) Выразите в виде интеграла массу вещества, заполняющего область Йп полученную из Йо к моменту 1, и запишите закон сохранения массы. Ь) Продифференцировав интеграл Е(1) = ( у(1,х) Жо с переменной обла- стью интегрирования Й, (жидкий объем), покажите, что Е'(1) = ( ф-ейо+ „Ж + (,)'(о, п) с(о, где Йе, дйм йо, е(о, и, о, (, ) — соответственно область, ее опт граница, элемент объема, элемент площади, единичная внешняя нормаль, ско- рость потока в момент 1 в соответствующих точках и скалярное произведение.
с) Покажите, что г"(1) иэ задачи Ъ) можно представить в виде Е'(1) = = ) Я +йн(уо)) А~. п~ с1) Сопоставляя результаты задач а), Ъ), с), получите уравнение неразрыв- ности ВЕ + йч(ро) = О. (См. в этой связи также гл. Х1'Ч, 8 4, п. 2.) д е) Пусть |Й~~ — объем области Йь Покажите, что ~à — — ) Хтисао. 4~ЙИ и, 1) Покажите, что поле и скорости потока несжимаемой жидкости беэди- вергентно (б!и о = О) и что это условие есть математическая запись несжима- емости (сохранения объема) любой порции эволюционирующей среды. я) Поле (р, д) фаэовой скорости гамильтоновой системы классической ме- ханики удовлетворяет уравнениям Гамильтона р = --о †, д = -о-, где Н = дН дН = Н(р, д) — функция Гамильтона системы. Вслед эа Лиувиллем покажите, что гамильтонов поток сохраняет фазовый объем. Проверьте также, что функция Гамильтона Н (энергия) постоянна вдоль линий тока (траекторий).
ГЛАВА Х у'П1 РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 8 1. Основные общие представления, связанные с понятием ряда Фурье' ) 1. Ортогональные системы функций а. Разложение вектора в линейном пространстве. На протяжении всего курса анализа мы неоднократно отмечали, что те или иные классы функций по отношению к стандартным арифметическим операциям образуют линейные пространства.
Таковы, например, основные для анализа классы гладких, непрерывных или интегрируемых на области Х С К" вещественно, комплексно или вообще векторнозначных функций. С точки зрения алгебры равенство 1=о1Л+...+оп~о, гДе 1,,71,..., 1п — -фУнкЦии Данного класса, а сс, — коэффиЦиенты из поля К или С, попросту означает, что вектор у является линейной комбинацией векторов 11,..., 1„рассматриваемого линейного пространства. ОЖ.Б.Ж.Фурье (1768 — 1830) — французский математик.
Его основной труд еАналитическая теория теплотые 11822) содержал выведенное Фурье уравнение теплопроводности и метод разделения переменных 1метод Фурье) его решения (см. стр. 608). Ключом в методе Фурье является разложение функции в тригонометрический ряд (ряд Фурье). Исследованием возможности такого разложения занимались впоследствии многие крупные математики. Это, в частности, привело к созданию теории функций действительного переменного, теории множеств, а также способствовало развитию самого понятия функции. ГЛ. ХЧП1.
РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 588 В анализе, как правило, приходится рассматривать «бесконечные линейные комбинации« вЂ” ряды функций вида Определение суммы ряда требует, чтобы в рассматриваемом линейном пространстве была задана некоторая топология (в частности, метрика),позволяющая судить о стремлении к нулю разности 1 — о'„, и где о'„= ~, ««ь~ь.
я=1 Основным для классического анализа приемом введения метрики на линейном пространстве является определение в этом пространстве той или иной нормы вектора или того или иного скалярного произведения векторов. Обсуждению этих понятий был посвящен 8 1 гл. Х. Сейчас мы будем рассматривать только пространства, наделенные скалярным произведением (которое, как и прежде, будем обозначать символом (, )).
В таких пространствах можно говорить об ортогональных векторах, ортогональных системах векторов и ортогональных базисах, подобно тому, как зто говорилось в знакомом из аналитической геометрии случае трехмерного евклидова пространства. Определение 1. Векторы х, у линейного пространства, наделенного скалярным произведением (, ), называются ортоеональнь«ми (относительно этого скалярного произведения), если (я, у) = О. Определение 2. Система векторов (яь, й Е К) называется ортозональной, если векторы системы, отвечающие различным значениям индекса Й, попарно ортогональны.
Определение 3. Система векторов (еь, й Е К) называется ортпонормированной (аль ортонормальной), если для любых индексов «,у Е Е К выполняется соотношение (е„е ) = йь1, где й,й — символ Кронеке- 1, если «= 1, ра, т.е. о; ( О, если «Фу. Определение 4. Конечная система векторов т1,..., х„называется линейно независимой, если равенство с«1т1+««зла+...+а„х„= О возможно, лишь когда ««1 = ««з = ... = с«„= О (в первом случае Π— нулевой вектор пространства, во втором случае 0 — нуль поля коэффициентов).
5 Е ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 589 Произвольная система векторов линейного пространства называется системой линейно независимых векторов, если линейно независима каждая ее конечная подсистема. Основной вопрос, который нас сейчас будет интересовать, это вопрос о разложении вектора пространства по заданной системе линейно независимых векторов. Имея в виду дальнейшие приложения к пространствам функций (которые могут быть и бесконечномерны), мы должны считаться с тем, что такое разложение может, в частности, привести к ряду типа ряда (1).
Именно в этом и будет состоять элемент анализа при рассмотрении того основного и по существу алгебраического вопроса, который мы поставили. Как известно из курса аналитической геометрии, разложения по ортогональным и ортонормированным системам имеют много технических преимуществ в сравнении с разложениями по произвольным линейно независимым системам (легко вычисляются коэффициенты разложения; по координатам векторов в ортонормированном базисе легко вычисляется скалярное произведение этих векторов и т. д.).
Именно поэтому мы будем в основном интересоваться разложениями по ортогональным системам. В пространствах функций это будут разложения по ортогональным системам функций или ряды Фурье, изучению которых и посвящена эта глава. Ь. Некоторые примеры ортогональных систем функций. Развивая пример 12 из 81 гл. Х, на линейном пространстве 1сз(Х,С) локально интегрируемых на множестве Х С К" функций, имеющих интегрируемый на Х (в собственном или несобственном смысле) квадрат модуля, введем скалярное произведение (2) (1, д):= (1 д)(х) йх.
х Поскольку )~ д) < 2()Дз + (д)г), интеграл в равенстве (2) сходится и, значит, корректно определяет величину (1,д). Если речь будет о вещественнозначных функциях, то в соответствующем вещественном пространстве Яг(Х, И) соотношение (2) сводится ГЛ. ХУП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 590 к равенству (Г,д):= (1 д)(х)г1х. Х Опираясь на свойства интеграла, легко проверить, что все указанные в 9 1 гл. Х аксиомы скалярного произведения в этом случае выполнены, если отождествлять функции, отличающиеся лишь на множествах и-мерной меры нуль.
Всюду дальше в основном тексте параграфа скалярные произведения функций будут пониматься в смысле равенств (2) и (3). Пример 1. Вспомним, что при целых т и и л й гтрк — ы~ . ( О, если т фп, е е ах= 2я, если гп = п; (4) ~г О, если соя тх сов пх Йх = я, если 2я если тФп, т=пфО, т=п=О; (б) соятхятпхйх = О; (6) ( О, если гпмнп, в1п тх вгп пх дх = ~ ( я, если т=пфО. (7) Эти соотношения показывают, что ге'"*;и е Ж) является ортогональной системой векторов пространства Яз(( — я, я], С) относительно скалярного произведения (2), а тригонометрическая система 11,сояпх,я1ппх;п б 14) ортогональна в гсз([ — я,я],К).
Если рассматривать тригонометрическую систему как набор векторов в Яз(] — я, я], С), т. е. допустить линейные комбинации с комплексными коэффициентами, то в силу формул Эйлера е'"* = сояпх + 1вгппх, соепх = 2(е™ + е ™), я1ппх = —,.(ег"* — е ' *) окажется, что рассмотренные системы линейно выражаются друг через друга, т.е. алгебраически эквивалентны.
По этой причине систему экспонент (ег"*;и е Ы) также называют тригонометрической системой или точнее тригонометрической системой е комплексной записи. в 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 591 Соотношения (4) — (7) показывают, что рассмотренные системы ортогонвльны, но не нормированы, а системы ( е'"*;и Е л'1, 1— ~/2~г 3 1 ~/2з 1 1 — сових, — япих;п Е И) уже ортонормированы. Если вместо отрезка [ — я, и] взять произвольный отрезок [ — 1,1] С с К, то заменой переменной можно получить аналогичные системы е'т"; и б Х) и (1, сов Тпх, вш Тпх; п Е М~, ортогональные в пространствах Я2([ — 1,1],С) и 7с2([ — 1,1],й), а также соответствующие ортонормированные системы 1 Я вЂ” е'г"*; п б У, —, — сов — пх, — яп — пх; п Е 1Ч ,/2 ' "* 1 1.2,Л ~,Л Пример 2.
Пусть 1 — промежуток в К, а 1„— промежуток в К", и пусть (11(х)) — ортогональная система функций в Я2(1, К), а (д (у)) — ортогональная система функций в Я2(1ю Й). Тогда, как следует из теоремы Фубини, система функций (иН(х, у):= Л(х)91(у)) ор тогональна в Яг(1 х 1ю К). Пример 3. Заметим, что при а ~ 11 1 1'вш(а — ~3)1 вш(а + )3)1 яп ах яп 13х дх — — ~ а — Д а+Д о 13 1я а1 — а 1я 111 = сова1сов)И. Значит, если величины а и 11 таковы, что ~~~ = ~Еда —, то исходный интеграл равен нулю. Следовательно, если С1 < С2 « ...
4„< ... последовательность корней уравнения 1я(1 = с5, где с †произвольн постоянная, то система функций (в1п((„х); и Е И) ортогональна на отрезке [О, Ц. В частности, при с = О получаем знакомую систему (яп [ 7~их); и Е 1Ч). Пример 4. Рассмотрим уравнение ~2 —. + д(х) и(х) = Ли(х), 1Ь2 ГЛ. ХУП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 592 где д е С(")([а, Ь],)й), а Л вЂ” числовой коэффициент. Предположим, что функции и1, и2,... класса СОО([а, Ь], )й) обращаются в нуль на концах отрезка [а, Ь] и каждая из них удовлетворяет данному уравнению со своим значением Л1, Л2,...
коэффициента Л. Покажем, что если Л, уь Л, то функции им и ортогональны на [а, Ь]. Действительно, интегрируя по частям, находим, что ь ь — 2+0(х) пь(х) цу(х)с(х = и (х) — 2+0(х) из(х) пх. В соответствии с уравнением отсюда получаем, что Л,(и„иу) = Лу(и;,иу) и, поскольку Л, ~ Л, теперь заключаем, что (еь и ) = О. В частности, если о(х) = О на [а, Ь], а [а, Ь] = [О, и], мы вновь получаем ортогональную на [О, и] систему 181п ах; п Е 1ч). Дальнейшие примеры, в том числе и примеры важных для математической физики ортогональных систем, читатель найдет в задачах к этому параграфу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
