1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Для интеграла (1) справедливы следующие утверждения. Утверждение 1. Если Х х У вЂ” компакт в Км ™, и Г Е С(Х х У), то Е Е С(У). Утверждение 2. Если У вЂ” область в К, Г б С(Х х У) и; Е дв ду' Е С(Х х У)„то функция Е дифферениируема в У по переменной у', где у = (у' " .
у' ... у™) и дЕ Г дà —.(у) = ~ — (х у) йх. ду' / ду' х (2) Утверждение 3. Если Х и У вЂ” измеримые компакты в К" и К"' В первых двух пунктах этого параграфа будут указаны свойства собственных и несобственных кратных интегралов, зависящих от параметра. Общий итог этих пунктов состоит в том, что основные свойства кратных интегралов, зависящих от параметра, по существу не отличаются от соответствующих свойств подробно рассмотренных выше одномерных интегралов, зависящих от параметра. В третьем пункте мы рассмотрим важный для приложений случай несобственного интеграла, особенность которого сама зависит от параметра.
Наконец, в четвертом пункте будет рассмотрена свертка функций многих переменных и некоторые специфически многомерные вопросы обобщенных функций, тесно связанные с интегралами, зависящими от параметра, и классическими интегральными формулами анализа. ГЛ. ХУП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 562 соотпветственно, а ~ Е С(Х х У), то Г Е С(У) С 1с(У) и Г г'(у) Ну зж Ну у(х,у) дх = дх у(х, у) ду. (3) у Х х у Отметим, что значения функции у могут при этом лежать в любом векторном нормированном пространстве ю.
Важнейшие частные случаи — когда Е есть К, С, К" или С". В этих случаях проверка утверждений 1 — 3, очевидно, сводится к их доказательству при ю = В. Но при л = К доказательства утверждений 1 и 2 дословно повторяют доказательства соответствующих утверждений для одномерного интеграла (см. гл. ХЫ1, 3 1), а утверждение 3 является простым следствием утверждения 1 и теоремы Фубини (гл. Х1, 6 4).
2. Несобственные кратные интегралы, зависящие от параметра. Если в интеграле (1) неограничены множество Х С Ко или функция ~, то он понимается как несобственный кратный интеграл (см. гл. Х1, 36), т.е. как предел собственных интегралов, взятых по множествам соответствующего исчерпания Х. При исследовании кратных несобственных интегралов, зависящих от параметра, как правило, интересуются специальными исчерпаниями, подобными тем, которые мы рассматривали в одномерном случае.
В полном соответствии с одномерным случаем из области интегрирования Х при этом удаляют в-окрестность множества особых точек, находят интеграл по остав- Ц шейся части Х, множества Х и затем находят предел значений интегралов по Х, при в -+ +О.
Если указанный предельный переход является равномерным относительно параметра у Е У,то говорят, что несобственныи интеграл (1) сходится равномерно на У. Пример 1. Интеграл Г(Л) = е ~* +" ) Нхду ПТо есть точек, в любой окрестности которых функция 1 неограннчена. Если и множество Х неограничено, то из Х удаляется также окрестность бесконечности. 563 55. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЭАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА получается предельным переходом Г л(*~+я~) ( 1 .— 11ш -~(г~+г~г с( -г-~о Жг я -~-я <1/г и, как легко проверить, используя полярные координаты, он сходится при Л > О.
Далее, на множестве Ел, = (Л Е К ( Л > Ло > О) он сходится равномерно, поскольку при Л Е Ег, у < .г+„г>г~ г х -~.л )1/г а последний интеграл стремится к нулю, когда 6 -+ 0 (исходный интеграл Р(Л) сходится при Л = Ло > 0). Пример 2. Пусть, как всегда, В(а,г) = 1х Е К" / (х — а! < г)— шар радиуса г с центром а Е К, и пусть у Е К . К". Рассмот им интеграл Р (у1 (1 ! () о (1 (х() в(оц в(од-г) Переходя к полярным координатам в К", убеждаемся, что данный интеграл сходится лишь при сг < 1. Если значение сг < 1 фиксировано, то по параметру у интеграл сходится равномерно на любом компакте У с К", поскольку в этом случае (т — у~ < М(У) е К.
Отметим, что в рассмотренных примерах множество особых точек интеграла не зависело от параметра. Таким образом, если принять указанное выше понимание равномерной сходимости несобственного интеграла с фиксированным множеством особых точек, то ясно, что все основные 'свойства таких кратных несобственных интегралов, зависящих от параметра, получаются из соответствующих свойств собственных кратных интегралов и теорем о предельном переходе для семейств функций, зависящих от параметра. Мы не останавливаемся на переизложении этих в принципе уже знакомых нам фактов, а предпочтем использовать развитый аппарат при рассмотрении следующей весьма важной и часто встречающейся ситуации когда особенность несобственного интеграла (одномерного или кратного) сама зависит от параметра.
ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 564 3. Несобственные интегралы с переменнои особенностью Н имер 3. Как известно потенциал помещенного в точку х б рим р 1 е Кз единичного заряда выражается формулой с1(х, у) = à — —, где у— переменная точка пространства Кз. Если теперь заряд распределен в ограниченной области Х С Кз с ограниченной плотностью д(х) (равной нулю вне Х), то потенциал с1(у) так распределенного заряда (в силу аддитивности потенциала), очевидно, запишется в виде 1 р(х) Их П(у) = П(х, у) р(х) 1х = ~( нз х (4) д(х) 11,(у) = ~ дх, х1в(р, 1 то естественно, как и прежде, считать, что рассматриваемый интеграл (4) с переменной особенностью сходится равномерно на множестве У, если П,(у):2 11(у) на У при е — ~ +О. Мы приняли, что ~р(х)~ < М Е К на Х, поэтому <М =2яМе.
2 )х — у( р(х)сЬ 1х — Ы В1рл1 хов1рл) Эта оценка показывает, что /У(у) — 11,(у)/ < 2тМе при любом у б 2 Е Кз, т.е. в укаэанном смысле интеграл (4) сходится равномерно на множестве У = К . з В частности, если проверить, что функция (1,(у) непрерывна по у, то отсюда уже можно будет из общих соображений сделать вывод о непрерывности потенциала У(у). Но непрерывность функции с1,(у) формально не вытекает из утверждения 1 о непрерывности собственного Роль параметра в последнем интеграле играет переменная точка у е Кэ.
Если точка у лежит вне множества Х, то интеграл (4) собственный, если же у Е Х, то ~х — у~ — ~ О при Х Э х -+ у и точка у оказывается особой для интеграла. С изменением у эта особая точка, таким образом, перемещается. Поскольку с1(у) = 1пп 11,(у), где е — ~+О 55. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 565 интеграла, зависящего от параметра, так как в нашем случае с изменением у меняется область интегрирования Х 1 В(у,е).
Рассмотрим поэтому внимательнее вопрос о непрерывности функции У,(у). Заметим, что при )у — ув~ < е )2(х) с(х д(х) дх х1В(уо,2с) (х)В(ул))Г~В(уо,2с) Первый из этих двух интегралов при условии, что )у — ув) < е, непрерывен по у (как собственный интеграл с фиксированной областью интегрирования). Второй же интеграл по абсолютной величине не превосходит М дх (х — у( В(уо,2с) Значит, при всех значениях у, достаточно близких к ув, будет выполнено неравенство ~П,(у) — с1,(ув)~ < е+ 16у)у'е2, устанавливающее непрерывность с(,(у) в точке уб Е )к . з Таким образом, показано, что потенциал 11(у) является непрерывной функцией во всем пространстве Ф.
Разобранные примеры дают основание принять следующее общее Определение 1. Пусть интеграл (1) является несобственным и как таковой сходится при каждом значении у е У. Пусть Х, — часть множества Х, полученная удалением из Х е-окрестности множества особых точек интеграла1), а Е,(у) = ) 1(х, у) дх. Будем говорить, что х, интеграл (1) сходится равномерно на множестве 1', если Е,(у) '=2 Е(у) на У при е -+ +О. Из этого определения и соображений, аналогичных тем, которые были продемонстрированы в примере 3, немедленно вытекает следующее полезное Утверждение 4.
Если функция )' в интеграле (1) допускает оценку ~~(х,у)) < ) — — (и, где М Е )к, х Е Х С Р', у Е )' С К" и су < и, то интеграл сходится равномерно на множестве У. ПСкс сноску на стр. 552. ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 566 Пример 4. В частности, на основании утверждения 4 заключаем, что интеграл 1 1г(х)(х' — у') Х полученный формальным дифференцированием потенциала (4) по переменной у' (г = 1,2,3), сходится равномерно на множестве У = йз, поскольку Е(-)( — — Р-1 ( „~з -- ~ „~г' Как и в примере 3, отсюда следует непрерывность функции 1Яу) на йз Убедимся теперь в том, что на самом-то деле функция 11(у) — потенциал (4) — имеет частную производную —,.
и что —,(у) = К(у). дП дП ду' ду' Для этого, очевидно, достаточно проверить, что Г 3 1 2 3)11 У( 1 2 3)~ а Но действительно, Ь Ь п(х) (х' — у') а а Х ь ь — 3 х а Х а 11(х) сЬ = (1(у) ~,. Единственное нетривиальное место в этой выкладке — изменение порядка интегрирований. В общем случае для перестановки несобственных интегрирований достаточно иметь абсолютно сходящийся по совокупности переменных кратный интеграл. В нашем случае это условие удовлетворено, поэтому выполненная перестановка законна. Ее, конечно, можно обосновать и непосредственно благодаря простоте рассматриваемой функции.
5 5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 567 Итак, показано, что потенциал 17(у), порожденный распределенным в пространстве Кз зарядом ограниченной плотности, является функцией, непрерывно дифференцируемой во всем пространстве. Использованные в примерах 3 и 4 приемы и рассуждения позволяют вполне аналогично рассмотреть следующую более общую ситуацию. Пусть Е(у) = К(у — р(х)И(х, у) дх, Х (5) и = т, р(х) = х, Ях,у) = р(х), К(г) = ф Нетрудно проверить, что при указанных ограничениях на функцию <р определение 1 равномерной сходимости для интеграла (5) означает, что по любому о > О можно выбрать е > О так, что при любом у Е У будет (6) < се, ~у — р(х)~<е где интеграл берется по множеству1) 1х Е Х ~ ~у — у(х)~ < е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
