1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 99
Текст из файла (страница 99)
утверждение 4 и замечание 1). Остается сослаться на доказанное следствие 1. ~ Следствие 2 (аппроксимационная теорема Вейерштрасса). Каждую непрерывную на отрезке функцию можно равномерно приблизить на этом отрезке алгебраическим многочленом. м Поскольку при линейной замене переменной многочлен переходит в многочлен, а непрерывность и равномерность аппроксимации функций сохраняются, следствие 2 достаточно проверить на любом удобном нам отрезке [а, Ь] С К. Будем поэтому считать, что 0 < а < 6 < 1, и пусть р = ппп(а, 1 — 6). Заданную нам функцию 1 Е С[а, 6] продолжим до непрерывной на Н функции Р, полагая Р(х) = 0 при х Е )к1]0, 1[ и, например, линейно сопрягая 0 с у(а), 1(Ь) с 0 на участках [О, а] и [Ь, 1] соответственно.
Если теперь взять б-образную последовательность функций Ь„,из примера 3, то на основании утверждения 6 уже можно заключить, что Р * )л„.-з 1 = Р[(, ь) на [а, Ь] при и -+ оо. Но при х е [а, 6] с [О, 1] СО 1 Р*~1 (х):= Р(у)л (х — у)ду = Р(у)21 (х — у)ду= — ьь О 1 1 2п = ~ еыи. 0 — ) — ю)')" Ф = ~ е)ы Е мы ') ь = о о 1=0 2п =л, 1е)ю) ЮФ)*'. о Последнее выражение является многочленом Р2 (х) степени 2п, и мы показали, что Р2„~ 1' на [а, 6] при и — 1 оо. ~ Замечание 3. Несколько развив проведенные рассуждения, можно показать, что теорема Вейерштрасса остается в силе, даже если отрезок [а, Ь] заменить произвольным, лежащим в )к компактом.
ГЛ. ХУП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 540 Т„(х) = ~~» аь соя йх+ (»ь я1пйх. Выше использовались лишь»»-образные семейства финитных функций. Следует, однако, иметь в виду, что во многих случаях важную роль играют Б-образные семейства не финитных функций.
Приведем только два примера. ПРимеР б. Семейство фУнкЦий Ьу(х) = — — 5-" — т пРи У вЂ” » +О 1 х +у является 6-образным на К, так как Ьу > О при у > О, (Х» / 1»»х1 гзу(х)»1х = — агс18 Д = 1 я У .=.. и при любом р > О справедливо соотношение Г 2 р Ь (х) дх = — агс18 — -+ 1, и у -Р когда у -+ +О. Если у: Н вЂ” » К вЂ” непрерывная и ограниченная функция, то функция 1'~ Ы)у г д (8) Замечание 4. Нетрудно также проверить, что для любого открытого в К множества С и любой функции у Е С(»(С) существует последовательность (Рь) полиномов такая, что при каждом и е е (О, 1,..., т) Р~' ~ з' ~~"~ на любом компакте К С С, когда й — » оо. Если, кроме того, множество С ограничено и у е С( ) (С), то можно добиться, чтобы Р„=ц у'»") на С при й -+ оо.
Замечание б. Подобно тому, как для доказательства следствия 2 была использована б-образная последовательность примера 3, можно использовать последовательность из примера 4 и доказать, что любая 2я-периодическая функция на К равномерно приближается тригонометрическими полиномами вида 14. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ 541 представляющая собой свертку у * Ья, определена при любых х Е И и у > О. Интеграл (8), называемый интегралом Пуассона длл полуплоскости, как легко проверить (используя мажорантный признак равномерной сходимости), является ограниченной бесконечно дифференцируемой функцией в полуплоскости Ки~ = 1(х,у) Е м~ ~ у > О).
Дифференцируя под знаком интеграла, убеждаемся, что при у > 0 дзи дзи l да да '1 Ьи:= — + — =~*( — + — /Щ=О, :=дх дуг = 1д ду / т.е. и — гармоническая функция. На основании утверждения 5 можно гарантировать также сходимость и(х, у) к ~(х) при у -+ О. Таким образом, интеграл (8) решает задачу построения ограниченной функции, гармонической в полуплос2 кости Кз~ и принимающеи заданные граничные значения ( на дК Пример 6.
Семейство функций Ь| — — ~ е лг является д-образ- 2~/зги ным на М при 1 -+ +О. Действительно, Ь~(х) > 0; ) Ь~(х) = 1, посколь- <Ю ку ) е " де = ~/я (интеграл Эйлера-Пуассона); наконец, при любом р > 0 выполнено соотношение р/2уЯ~ 1 Ы 1 г 2 е ос(х= — / е "сЬ вЂ” >1, когда 1-++О. 2~% ъ/я l — р — р,12ч'Ф Если (' — непрерывная и, например, ограниченная функция на К, то функция и(х,с) = )(~)е «дс, 2у% / представляющая собой свертку ~ * Ь|, очевидно, бесконечно дифференцируема при ~ > О. Дифференцируя под знаком интеграла при 4 > О, получаем, что ди д'и /д д' 1 — — =У*( — — )Ь,=О, д1 дха ~ д~ дх2 ( 542 ГЛ.
ХЧП, ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА т. е. функция и удовлетворяет одномерному уравнению теплопроводности с начальным условием и(х, 0) = Дх). Последнее равенство следует трактовать как предельное соотношение и(х,1) — ~ Дх) при 1 -+ +О, вытекающее из утверждения 5. * 4. Начальные представления о распределениях а. Определение обобщенных функций. В п. 1 настоящего параграфа мы на эвристическом уровне вывели формулу (1), дающую возможность определить отклик линейного преобразователя А на входной сигнал 1' по известной аппаратной функции Е прибора А. При определении аппаратной функции прибора существенно использовалось некоторое интуитивное представление о единичном импульсном воздействии и описывающей его б-функции.
Ясно, однако, что б-функция на самом-то деле не является функцией в классическом понимании этого термина, поскольку она должна обладать следующим противоречивым с классической точки зрения набором свойств: б(х) > 0 на К; б(х) = 0 при х ф 0; ) б(х) йх = 1. в Понятия, связанные с линейными операторами, сверткой, б-функцией и аппаратной функцией прибора приобретают точные математические описания в так называемой теории обобщенных функций или, иначе, теории распределений. Исходные посылки этой теории и начальные сведения о все шире используемом ее аппарате мы собираемся сейчас изложить. Пример Т.
Рассмотрим материальную точку массы тп, способную перемещаться вдоль оси и связанную с началом координат упругой пружиной; к — коэффициент упругости пружины. На покоящуюся в начале координат точку начинает действовать зависящая от времени сила 1(Ф), смещающая точку вдоль оси. В силу закона Ньютона (10) тпх+ Йх = 1, где х(2) — координата точки (смещение от положения равновесия) в момент 1. При указанных условиях функция х(1) однозначно определяется функцией 1 и решение х(Ф) дифференциального уравнения (10), очевидно, линейно зависит от его правой части 1. Таким образом, мы имеем А дело с линейным оператором 1 + х, обратным к дифференциальному 54.
СВЕРТКА ФУНКЦИЙ 543 В Г дг оператору х + у ~В = т — + й1, связывающему х(~) и 1(1) соотношеюй~ вием Вх = у. Поскольку оператор А, очевидно, сохраняет сдвиги по времени,то, чтобы найти отклик х(~) описанной механической системы на функцию у(1), достаточно ввиду формулы (1) знать отклик на единичное импульсное воздействие б,т.е. достаточно знать (так называемое фундаментальное) решение Е уравнения тЕ + кЕ = б. Соотношение (11) не вызвало бы вопроса, если бы б действительно обозначало функцию. Однако пока равенство (11) неясно.
Но формально неясно и фактически неверно — совсем разные ситуации. В нашем случае надо ли|пь уяснить смысл равенства (11). Один путь к такому разъяснению нам уже знаком: б можно понимать как имитирующее б-функцию б-образное семейство классических функций Ь„(~), а Š— как предел, к которому стремятся решения Е ($) уравнения (10') тЕ +йЕ =Ь при соответствующем изменении параметра о. Другой, имеющий свои значительные преимущества, подход к обсуждаемому вопросу состоит в принципиальном расширении представления о функции. Он исходит из того, что вообще объекты наблюдения характеризуются их взаимодействием с другими (епробнымие) объектами. Так и функцию предлагается рассматривать не как набор значений в различных точках, а как объект, способный определенным образом действовать на другие (пробные) функции. Конкретизируем это пока слишком общее высказывание.
Пример 8, Пусть у б С(2,2). В качестве пробных возьмем функции класса Са (непрерывные финитные на К). Функция 1 порождает следующий, действующий на Са функционал (1, ~р):= ((х)1о(х) ах. (12) Используя б-образные семейства финитных функций, легко понять, что (1', у) = О на Се в том и только в том случае, когда 1(х) = О на Н. 544 ГЛ. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Таким образом, каждая функция 1' е С(К„К) порождает в силу (12) линейный функционал А: Са — » К, и, подчеркнем, при этом различным функциям (ы Ь соответствуют различные функционалы Ая, Ау». Значит, формула (12) осуществляет вложение (инъективное отображение) множества С(К,К) функций в множество Е(СсОК) линейных функционалов на Сс и, следовательно, каждую функцию 1 Е С(К„К) можно интерпретировать как некоторый функционал А7 Е х,(Себ К).
Если вместо множества С(К, К) непрерывных функций рассмотреть множество функций, локально интегрируемых на К, то по той же формуле (12) получается отображение указанного множества в пространство «..(Са, 'К). При этом ((~, у») = 0 на Са) с-.» (У(х) = 0 во всех точках непрерывности функции 7" на К„т. е. 1(л) = 0 почти всюду на К). Значит, в рассматриваемом случае получается вложение в ь(Сед К) классов эквивалентных функций, если в один класс отнести локально интегрируемые функции, отличающиеся лишь на множестве меры нуль. Итак, локально интегрируемые на К функции 7 (точнее, классы их эквивалентности) в силу формулы (12) можно интерпретировать как линейные функционалы А7 е х.(Са;К). Осуществляемое по формуле (12) отображение 7' > А7 = (7",.) локально интегрируемых функций в пространство,С(Са; К) не является отображением на все ь(Сед К), поэтому, интерпретируя функции как элементы .С(Са, К) (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
